2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版【簡介】概率與統計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點.主要依托點是統計圖表，正確認識和使用這些圖表是解決問題的關鍵.復習時要在這些圖表上下工夫，把這些統計圖表的含義弄清楚，在此基礎上掌握好樣本特征數的計數方法、各類概率的計算方法及數學均值與方差的運算【3年高考試題比較】全國課標卷概率統計必有一道解答題，而且題型相對固定，一般是第19題，有時也在第18題，難度中等，課標I比課標II、課標III難度略大.概率統計解答題主要涉及生產活動的如質檢(一等品、二等品次數期望等大檢驗費用、疾病治療和實驗等；電路的通斷概率；體育競技賽事勝負概率問題(包括球類、棋類等)；保險費用問題；樣本估計總體(常利用頻率分布直方圖、頻率、頻數表、莖葉圖、條形圖、扇形圖等)問題；線性回歸方程的求解及應用其進行預報(偏重數據處理能力，2015年那題也可以說是非線性)；獨立性檢驗問題；以及考查互斥事件、對立事件、獨立事件等概率及條件概率(較少涉及)的問題；n次獨立重復試驗的分布列和數學期望、超幾何分布的分布列和數學期望等等。這些考題充分體現了概率統計是研究隨機現象統計規(guī)律的重要特征，為相關部門的決策提供幫助和技術支持。當然這些知識點也常常與函數(包括分段函數)的最值問題、不等式(特別是基本不等式)有機結合.【必備基礎知識融合】.計算古典概型概率的步驟⑴算出基本事件的總個數n.(2)求出事件A所包含的基本事件個數m.⑶代入公式求出概率P(A).解題時可根據需要靈活選擇列舉法、列表法或樹形圖法.與面積有關的平面圖形的幾何概型的解題的關鍵對所求的事件A構成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算是關鍵，基本方法是數形結合..條件概率的求法⑴利用定義,分別求P(A)和P(AB),得 ，這是求條件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A),再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件網引司=數n(AB),得 ■：'1.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法⑴利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計算較復雜(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時,可從其對立事件入手計算..利用獨立重復試驗概率公式時要注意檢查該概率模型是否滿足公式P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k的三個條件:n⑴在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數p.(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗而且各次試驗的結果是相互獨立的.⑶該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率..二項分布在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則P(X=k)=Cp(1—p)Ek=0,1,2,…，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X?B(n,p)，并稱p為成功概率..超幾何分布的特征(1)考查對象分兩類.(2)已知各類對象的個數.2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版⑶從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型..眾數、中位數、平均數與直方圖的關系⑴眾數為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標.(2)中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標⑶平均數等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之積的和.離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2x.1xnPp1P2PiPnn⑴均值：稱E(X)=^1均土x2p'...+%上..+32為隨機變量X的均值或數學期望.(2)方差：稱D(X)=￡(x-E(X))2pi為隨機變量X的方差，其算術平方根\D"丁為隨機變量X的標準差.i=1.均值與方差的性質.E(aX+b)=aE(X)+b..D(aX+b)=a2D(X)(a,b為常數)..兩點分布與二項分布的均值、方差均值力差變量X服從兩點分布E(X)=pD(X)=p(1-p)X?B(n,p)E(X)=npD(X)=np(1—p).正態(tài)分布X—〃2.正態(tài)曲線；函數中…(x尸美京￡—2o2，x￡(一<?,+<?),其中〃和o為參數(內0,〃￡R).我們稱函數為…(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線..正態(tài)曲線的性質①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關于直線三對稱；③曲線在曰處達到峰值忐；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當。一定時，曲線的位置由〃確定，曲線隨著工的變化而沿x軸平移，如圖10-9-1甲所示；⑥當〃一定時，曲線的形狀由。確定，。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示.2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版甲 乙.正態(tài)分布的定義及表示；如果對于任何實癡，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X<b)=/帥舉，，%)d%，則稱隨a機變量X服從正態(tài)分布，記作X?N(〃，⑼..正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率值①Pa—o<X0+。)=0.6826；②Pa—2o<X0+2o)=0.9544；③Pa—3o<X0+3o)=0.9974..必會結論；(1)均值與方差的關系D(X)=E(X2)—E2(X).nM(2)超幾何分布的均值；若X服從參數為N,M,n的超幾何分布，則E(X)=nM..必知方法；求離散型隨機變量均值與方差的基本方法⑴已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解.(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數7=aX+b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性質求解.⑶如果所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，利用它們的均值、方差公式求解..歸分析⑴定義：對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關關系的數據(%],匕)，(%2,y2),…，(xn，yn)中，(7,7)稱為樣本點的中心.⑶相關系數￡(%,一x)(yi—y)①尸尸，_ ， _￡(%—x)2￡⑴—y)2￡xiy.—nx y=±、￡xiy.—nx y=±x2i—nx2)(￡y2i—ny2)i=1②當丫>0時，表明兩個變量正相關:當r<0時，表明兩個變量負相關:當r=0時，表明兩個變量線性不相關.2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版r的絕對值越接近于1,表明兩個變量之間的線性相關程度越高.r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間的線性相關程度越低.立性檢驗設A,B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A/A2=Ap變量B：B1,B2=B1；2X2列聯表：BAB1B2總計A1aba+bA2cdc+d總計a+cb+dn=a十b十c十d構造一個隨機變量/2=（-「二；v二、三二八（a十b）（c十d）（a十c）（b十d）利用隨機變量/2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗.當x2W2.706時，沒有充分的證據判定變量A,B有關聯，可以認為變量A,B沒有關聯的；當x2>2.706時，有90%的把握判定變量A,B有關聯；當x2>3.841時，有95%的把握判定變量A,B有關聯；當x2>6.635時，有99%的把握判定變量A,B有關聯.【解題方法規(guī)律技巧】典例1：奧運會組委會從大學生中招收志愿者,被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學生的成績分組:第1組［75,80），第2組［80,85），第3組［85,90），第4組分0,95），第5組分5,100］,得到的頻率分布直方圖如圖所示：⑴分別求出成績在第3,4,5組的人數.⑵現決定在筆試成績較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6人進行面試.①已知甲和乙的成績均在第3組,求甲或乙進入面試的概率.②若從這6名學生中隨機抽取2名學生接受考官D的面試,設第4組中有X名學生被考官D面試,求X的分布列和數學期望.2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版【解析】（"由頻率分布直方圖知：第3組的人數為5X0.05X40=12.第4組的人數為5X0.04X40=0.第5組的人數為5X0.02X40=4.⑵利用分層抽樣,在第3組、第4組、第5蛆中分別抽取—①設'『甲或乙進入面試”為事件4則FQ1）=1一爭=且.所以甲或乙進入面試的概率為端②X的所有可能取值為51,4卜）丹|,P-卜等力聆勺噌咕所以區(qū)的分布列為E(Xl=0x-+lx—'E(Xl=0x-+lx—',5 151515X012P25815115【規(guī)律總結】求解隨機變量分布列問題的兩個關鍵點⑴求離散型隨機變量分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類概率公式求概率.⑵求隨機變量增值與方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列.若隨機變量服從二項分布,則可直接使用公式法求解.nM（3）超幾何分布的均值；若X服從參數為N，M，n的超幾何分布，則 ^

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版 ....一一.一,、，.一，，,一,、一 .2_3 、_一典例2：某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產品成功的概率分別為2和5.現安排甲組研發(fā)新產品A，乙組研發(fā)新產品A設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立.(1)求至少有一種新產品研發(fā)成功的概率.(2)若新產品A研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產品B研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤100萬元.求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數學期望.TOC\o"1-5"\h\z【解配甲組研發(fā)新產品成功3尸二￡乙組研發(fā)新產品成功).由題設如產效=|,尸?斗曬=|,理向冷且事件區(qū)與國總與瓦云與巴另與同湘互獨立.- — — — 199［11記H=｛至少有一種新產品的愛成功則月二區(qū)尸，于是&H)二巴網尸)二‘每二百,故所求的概率一 ? 13為尸(司=1一尸［此=］一行=五 17?設企業(yè)可獲利潤為Y萬元，則X的可靛限值為0,10?！?022G因為30尸nEF尸二廣迫- 133Pg100)=P［即=君二若』- 224Pg120尸P3尸尸轉二本叩U皿二巴期話冬g故所求的分布列為215321531S615色_色_300+480+1320_21002 3 4=140覺學期望為切均=0'記+lOOx—+120x—+220x=140【規(guī)律總結】求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法.利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解..正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.典例3:甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束.除第五局甲隊獲勝的概率是2外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是2.假設各局比賽結果相互獨立.(1)分別求甲隊以3：0,3：1,3：2勝利的概率；(2)若比賽結果為3：0或3：1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3：2,則勝利方得2分，對方得1分，求乙隊得分X的分布列及均值.222 8【解】⑴設“甲隊以3：0,3：1,3：2勝利”分別為事件A,B,C,則P(A)=2冷3=多2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版PB尸C2PB尸C2(2)2X(1-2)2X3827P(C尸C4(1)2x(1一|)2X427.(2)X的可能的取值為0,1,2,3.一 . 16則P(X=0)=P(A)+P(B)=27,4P(X=1)=P(C)=^巴42）=/。一次（|卜（1一步:產（￥=3）=⑨+的分布列為產（￥=3）=⑨+的分布列為1一g

-

1-3

X

2-3

XX0123P274274271916 4 4 17「上⑴=0嘮+1售+2玲+%苦【規(guī)律總結】獨立重復試驗滿足的三個條件獨立重復試驗是相互獨立事件的特例.二口-可簡化概率的計算，但要注意檢查概率模型是否滿足三個條件：①在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數p；②n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；③該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.范圍為115,651分鐘.典例4:繼共享單車之后，又一種新型的出行方式"——“共享汽車”也開始亮相北上廣深等十余大中城市，一款叫“一度用車”的共享汽車在廣州提供的車型是“奇瑞eQ”，每次租車收費按行駛里程加用車時間,標準是“1元/公里+0.1元/分鐘”，李先生家離上班地點10公里，每天租用共享汽車上下班，由于堵車因素，每次路上開車花費的時間是一個隨機變量，根據一段時間統計范圍為115,651分鐘.時間（分鐘）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55閹次數814882以各時間段發(fā)生的頻率視為概率，假設每次路上開車花費的時間視為用車時間,

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版（I）若李先生上.下班時租用一次共享汽車路上開車不超過45分鐘，便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇，設己是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數，求己的分布列和期望.（II）若李先生每天上下班使用共享汽車2次，一個月（以20天計算）平均用車費用大約是多少（同一時段，用該區(qū)間的中點值作代表）.【答案】（I）見解析；（II）542元.【解析】【試題分析】（1）運用二項分布建立隨機變量的概率分布列，再運用數學期望公式進行求解J（2）運用加權平均數的計算公式分析求解o3（I）李先生一次租用共享汽車，為最優(yōu)選擇的概率p=吧404依題意岑?月4-，。的值可能為0,1,213；4尸(J=O)=C25612256F（"2）《既54尸(J=O)=C25612256F（"2）《既54256108256Bl256分布列自01234P1256122565425610825681256TOC\o"1-5"\h\z12c 54c108 , 81 0 ―廠 ,3cE5=1x +2義+3* +4* =3 或E5=4義一=3256 256 256 256 48 14 8 8 2 —(II)每次用車路上平均花的時間t=20x一+30x+40x一+50x一+60x—=35.5(分鐘)40 40 40 40 40每次租車的費用約為10+35.5X0.1=13.55元.

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版一個月的平均用車費用約為542元.典例5:某市在對高三學生的4月理科數學調研測試的數據統計顯示，全市10000名學生的成績服從正態(tài)分布X?N（110,144），現從甲校100分以上（含100分）的200份試卷中用系統抽樣的方法抽取了20份試卷來分析，統計如下:試描編號1is1■打叫是7叫flin試卷得分1091譚L12114I2K127124126120試卷編號叼L件-由叫5叫$上3%%*n2n_試卷得分1351州135137IS5139142144148I5Q（注：表中試卷編號n<n2<28<n4<n§<?,<n20）甲校ftJ2345甲校ftJ2345T1*elk-ILTOC\o"1-5"\h\z2 4 31 592 6 7 K <12 4 5 7 9\o"CurrentDocument"2 3 3 7（1）列出表中試卷得分為126分的試卷編號（寫出具體數據）；（2）該市又從乙校中也用系統抽樣的方法抽取了20份試卷，將甲乙兩校這40份試卷的得分制作了莖葉圖（如圖6），試通過莖葉圖比較兩校學生成績的平均分及分散程度（均不要求計算出具體值，給出結論即可）（3）在第（2）問的前提下，從甲乙兩校這40名學生中，從成績在140分以上（含140分）的學生中任意抽取3人，該3人在全市前15名的人數記為己，求己的分布列和期望.（附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（上。2），則P（從—0<X<N+o）=68.3%，P（從一2o<X<從+2o）=95.4%，P（從一3o<X<從+3o）=99.7%）【答案】（1）126分的試卷編號分別為48,88;（2）見解析；（3）見解析.E解析】試題分析：⑴對應查表即可求得；（2）根據莖葉圖的特征即得甲校學生成績的平均分高于乙校學生成績的平均分，甲校學生成績比莪集中,Z校學生成績比較分散；W分析條件可得這40人中成績在14S分以上（含Lg分）的有3人,而成績在140分以上（含140分）的有自大，利用超幾何分布可以求得.2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版試題解析：? 分的試卷編言分別為458S.通過莖葉圖可知：甲校學生成績的平均分高于乙校學生成績的平均分，甲校學生成績比較集中,乙校學生成績比較分散.（3）■.1-^-=0.0015,根據正態(tài)分布可知：F（74<X<U6）=99.7%,100001-997%.1.P（jr>146）=——=0.001S即前15名的成績全都在1始分以上（含L茹分）.根據莖葉圖可知這40人中成績在14S分以上（含1姐分）的有3人，而成績在140分以上（含L40分）的有日大.???自的取值為0,1,2,3.P(1=0)=P(1=0)=C3 288“二D=“二D=CCC3815—,2815—,56P(P(m=3)=C3二C38 ,56因此E(1因此E(1)=05115c15x—+1x—+2x—28 28 5601+3x=56自0123P51515128285656【規(guī)律總結】由典例4和典例5總結：二項分布與超幾何分布的區(qū)別選取容易出錯：有放回抽樣時，每次抽樣時的總體沒有改變，因而每次抽到的某物的概率都是相同的，可以看成是獨立重復試驗，此種抽樣是二項分布模型，而不放回抽樣時，取出一個則總體就少一個，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型，因此，二項分布模型和超幾何模型最

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣.超幾何分布和二項分布都是離散型分布，超幾何分布和二項分布的區(qū)別是：（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；（2）超幾何分布是不放回抽取，而二項分布是放回抽取（獨立重復）；（3）當總體的容量非常大時，超幾何分布近似于二項分布，經常用二項分布來解題典例6:某鮮奶店每天以每瓶3元的價格從牧場購進若干瓶鮮牛奶，然后以每瓶7元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的鮮牛奶作垃圾處理.（1）若鮮奶店一天購進30瓶鮮牛奶，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：瓶，neN）的函數解析式；（2）鮮奶店記錄了100天鮮牛奶的日需求量（單位：瓶），繪制出如下的柱形圖（例如：日需求量為25瓶時，頻數為5）：31前2731前27以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（i）若該鮮奶店一天購進30瓶鮮奶，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列及數學期望;（ii）若該鮮奶店計劃一天購進29瓶或30瓶鮮牛奶，你認為應購進29瓶還是30瓶？請說明理由.7n—90(n<29)/元（ii）應購進30瓶.【答案】(1)y={120(n>30)(neN)(2)(i)E(X元（ii）應購進30瓶.【解析】試題分析:<1）討論篦之和門029時兩種情況即可jB（i）彳的可能取值為旦h%眄gU3.120,分別求得概率，即可得分布列,利用期望公式可得期望值3

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版oOi)購進四瓶時，計算當天利潤的數學期望,與11L95比校大小下結論即可.試題解析：7售一90(篦W29)12。7售一90(篦W29)12。5之30)當網V29時y=0—節(jié)用一式3口一可=7科一州.故尸={⑵(L)天的可能取■值為?5,風刑106,113,120,產(萬=85)=口一。5,尸(X=92)=0]，產N=99)=0LJ3^=106)=005,產(X=113)=04，P(Ar=120)=0.6.x的分布列為XS5[)299106113120P0.050J0.10.0.10.6E(X)=(85+106)x0.05+(92+99+113)x0.1+120x0.6=111.95元.(ii)購進29瓶時，當天利潤的數學期望為t=(25x4-4x3)x0.05+(26x4-3x3)x0.1+(27x4-2x3)x0.1+(28x4-1x3)x0.05+29x4x0.7=110.75，因為111.95>110.75，所以應購進30瓶.【規(guī)律總結】概率統計是研究隨機現象統計規(guī)律的重要特征，為相關部門的決策提供幫助和技術支持，解決這類試題的關鍵是認真讀題，理解題意，對于利用概率統計的思想作出決策的問題，往往是通過計算隨機變量的期望和方差來進行比較，通常可以利用期望比較出來的一般就可以直接下結論了，但是當期望相同時，可以進一步研究方差的大小，從而得到滿足題意的方案.典例7：2017年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關鍵一年，有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數據，其頻率分布直方圖如圖所示：2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版(I)估計該組數據的中位數、眾數；(II)由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布N(u,210),u近似為這1000人得分的平均值(同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求P(50.5<Z<94)；(III)在(II)的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：⑴得分不低于u可獲贈2次隨機話費，得分低于u則只有1次；(ii)每次贈送的隨機話費和對應概率如下：贈送話費(單元：元)102031概率—44現有一位市民要參加此次問卷調查，記X(單位：元)為該市民參加.問卷調查獲贈的話費，求X的分布列和數學期望.附：<210=14.5,若2N(g,o2),則UP(g-G<Z<g+o)=0.6826,P(g-2G<Z<g+2o)=0.9544. ’、 …75【答案】(1)65,65(2)0.8185(3)EX二一4【解析】試題分析二(I)由C0,0025-H?.0050-KJ.Q100-K).0150+a+0.0226+0.0260)X10=1 3=0.0200,謾中位數為由申OQ25+0.0150+)X10+(e-60)XQ.Q25O=0.5000；解得H二65,由頻率分布直方圖可知眾數為65.(II)從這10g人問卷調查得到的平均值k為乩二35X0.025+45X0.15+55X0.20-^5X0.25+75X0.225-H85XO.1+95X0.05=65,因為由于得分芷服從正態(tài)分布?佃5,21。)n所以p(50.5<Z<94)=P(60-14.5<Z<60+14.5X2)=竺色殳也肛史即得解；2(III)設得分不低于H分的概率為口，則P3號乩)=由題意得各概率即可得分布列和期望.2試題解析：(I)由(0.0025-+O.0050-K).010Q-K).0150+a+0.0225+0.0250)X10=1；得a=0.0200,i殳中位數為X,由+0.0150+)X1Q+(k-6Q)XQ.Q25Q=0.5000；解得』=65,由頻率分布直方圖可知眾救為65.(I)從這1000人問卷調查得到的平均值u為u=35X0.025+45X0.15+55X0.20+65X0.25+75X0.225+85X0.1+95X0.05=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65因為由于得分Z服從正態(tài)分布N(65,210),2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版、/ 、0.6826+0.9544所以P(50.5<Z<94)=P(60-14.5<Z<60+14.5X2)= =0.8185.2an)設得分不低于u分的概率為p,則p(znu):1,X的取值為10,20,30,40,P(X=10)P(X―20P(X=10)P(X―20)=11133—X—+—X—X——242441332P(X=30)——,

16P(X=40)=111 1—X—X———24432所以X的分布列為:X10203040P31332A75TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"— -3-13—3 …175\o"CurrentDocument"所以EX=10X—+20x +30x一+40x =\o"CurrentDocument"8 32 16 32【規(guī)律總結】眾數、中位數、平均數與直方圖的關系⑴眾數為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標.⑵中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標⑶平均數等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之積的和典例8：一盒中裝有9張各寫有一個數字的卡片，其中4張卡片上的數字是1,3張卡片上的數字是2,2張卡片上的數字是3,從盒中任取3張卡片.(I)求所取3張卡片上的數字完全相同的概率；(II)X表示所取3張卡片上的數字的中位數，求X的分布列與數學期望.(注：若三個數a,b,c滿足a<b<c,則稱b為這三個數的中位數).【答案】(I)P=-5(II)見解析84

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版【解析】試題分析:（I）先算出基本事件的總數和所研究的事件包含的基本事件個額，然后代入古曲概型概率計算公式即可；（ID應先根據題意求出隨機變量丫的所有可能值，再計算出每個隨機變量所對應事件的概率,最后將分布列以表格形式呈現，從而求出數學期望.試題解析：（I）由古曲概型中的概率計算公式知斫求概率為尸=盤里=2G84(II)元的所有可能值為1,2,(II)元的所有可能值為1,2,鄉(xiāng)，旦尸（工=1）=盤瀘=￡，產口4=東鴻+宇+穹屈,^=3）=^=1.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"G84 q12故X的分布列為X123P174243841124728TOC\o"1-5"\h\z[r ao 14728從而E(X)=1x17+2義絲+3義—42 84 12【規(guī)律總結】求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概率公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布 ，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式（二「二沖）求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.典例9：菜農定期使用低害殺蟲農藥對蔬菜進行噴灑，以防止害蟲的危害，但蔬菜上市時蔬菜仍存有少量的殘留農藥，食用時需要用清水清洗干凈，下表是用清水x（單位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農藥y（單位：微克）的統計表:x12345y5854392910（1）在下面的坐標系中，描出散點圖，并判斷變量x與y是正相關還是負相關；（2）若用解析式9=ex2+d作為蔬菜農藥殘量y與用水量x的回歸方程，令攻=x2，計算平均值刃與y，完成

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版以下表格（填在答題卡中），求出9與x的回歸方程.（C,d保留兩位有效數字）;w149162595854392910w-wy.-y（3）對于某種殘留在蔬菜上的農藥，當它的殘留量低于20微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜，請評估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精確到0.1，參考數據石氏2.236）（附：對于一組數據QjvJQ2，vJ……,”,vn）,其回歸直線v=a+Pu的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：p=Z4u-u）（v-v）,底?°識）乙n（u-u）2i=1i【答案】（1）負相關（2）9=-2.0x2+60（3）需要4.5千克的清水【解析】試題分析：3描出散點圖根據圖像可得到負相關i 根據公式得到回歸方程5（3）當（父20時，-2.（*+60（20,力25*4兄故可得到結果口解析：（1）負相關.（含散點圖）（2）歷=11,9=38w1491625y5854392910w-w-10-7-2514y,-y20161-9-28

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版-10x20+(-7)x16+(-2)x1+5x(-9)+14x(-28)耳緘2.0374d=y-cw=38-f-衛(wèi)［I374)義11工60,y=-耳緘2.0374d=y-cw=38-f-衛(wèi)［I374)義11工60,y=-2.0w+60=-2.0x2+60.（3）當y<20時，-2.0x2+60；20,x\2<5=4.5???為了放心食用該蔬菜，估計需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.【規(guī)律總結】（1）回歸直線丫=匕乂+&必過樣本點的中心（乂，y）.⑵正確運用計算b,a的公式和準確的計算，是求線性回歸方程的關鍵.⑶分析兩變量的相關關系，可由散點圖作出判斷，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程估計和預測變量的值.（4）分析兩個變量的線性相關性，可通過計算相關系數r來確定，r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關性越強，r的絕對值越接近于0,表明兩變量線性相關性越弱.典例10：“雙十一”已經成為網民們的網購狂歡節(jié)，某電子商務平臺對某市的網民在今年“雙十一”的網購情況進行摸底調查，用隨機抽樣的方法抽取了100人，其消費金額t（百元）的頻率分布直方圖如圖所示：⑴求網民消費金額t的中位數t；0⑵把下表中空格里的數填上，能否有90%的把握認為網購消費與性別有關；（3）將⑵中的頻率當作概率，電子商務平臺從該市網民中隨機抽取10人贈送電子禮金，求這10人中女性的人數X的數學期望.*典蚓物距￡06 004■—L…!! 仆.Q30r-02 I-1-i.「h-- i0 5 1015如25M海得金旗“百元）男女合計t>t0t<t030合計45

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版附表:P(K2>k0)0.150.100.05k02.0722.7063.841n(ad-bc>一(a工b兒工d兀［而d).【答案】（1）10；（2）答案見解析；（3）5.5.【解析】試題分析：⑴根據頻率分布直方圖小長方形面積等于對應區(qū)間概率,求出第一組，第二組的頻率，再根據頻率之和為0.5確定中位數（2）根據條件對應填數據,再代入到卡方公式,最后比較參考數據,確定可靠性（的先求概率,再根據二項分布得數學期望試題解析二⑴直方圖中第一史，第二紀的頻率之和為。一04吊5+096x5=65,，，的中位數4=3.⑵男女t>t0252550t<t02030504555100n(ad—bc1 100(25*30—25義201——氏1.01<2,706.99——氏1.01<2,706.99(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 45義55*50*50沒有90%的把握認為網購消費與性別有關.（3）網購的網民中，女性的頻率為黑—0.55,100???抽取10人中女性人數X?B（10,0.55）,E（X）—10x0.55—5.5.【規(guī)律總結】獨立性檢驗的方法①構造2X2列聯表；②計算K2；③查表確定有多大的把握判定兩個變量有關聯.2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版注意：查表時不是查最大允許值，而是先根據題目要求的百分比找到第一行對應的數值，再將該數值對應的卜值與求得的K2相比較.另外，表中第一行數據表示兩個變量沒有關聯的可能性p,所以其有關聯的可能性為1p.【歸納常用萬能模板】【引例】(2016?全國I卷)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數的頻率代替1臺機器更換的易損零件數發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數.⑴求X的分布列；(2)若要求P(XWn)三0.5,確定n的最小值；⑶以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據，在n=19與n=20之中選其一，應選用哪個？,蟒、第3｝問得分點說明：■亞商寫出易損零件數對應概率存1分1商正附求出兩個概率蛤1分 ■,規(guī)范解答(1)每臺機器更換的易損零件數為8,9,10,11,記事件A,為第一臺機器3年內換掉，+7個零件(i=1,2,3,4),記事件凡為第二臺機器3年內換掉i+7個零件(i=1,2,3,4),由題知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2,P(A2)=P(B2)=0.4.1分|得分點①設2臺機器共需更換的易損零件數的隨機變量為X，則X的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22,2分|得分點②P(X=16)=P(A1)P(BJ=0.2X0.2=0.04,P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.2X0.4+0.4X0.2=0.16,P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.2X0.2+0.4X0.4+0.2X0.2=0.24,P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.2X0.2+0.4X0.2+0.2X0.4+0.2X0.2=0.24,2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.4X0.2+0.2X0.2+0.2X0.4=0.2,P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.2X0.2+0.2X0.2=0.08.P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.2X0.2=0.04.5分|得分點③所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.046分|得分點④|批注 .<! 第㈠)間舁分點說明：□求出h=2()時期埴住各得2分：a>出結論】分，(2)要令P(XWn)三0.5,因為0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24三0.5,］則n的最小值為19.8分|得分點⑤⑶購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，當n=19時，費用的期望為19X200+500X0.2+1000X0.08+1500X0.04=4040,當n=20時，費用的期望為20X200+500X0.08+1000X0.04=4080.所以應選用n=19.12分|得分點⑥高考狀元滿分心得.正確閱讀理解，弄清題意：與概率統計有關的應用問題經常以實際生活為背景，且?？汲Ｐ?，而解決問題的關鍵是理解題意，弄清本質，將問題轉化為離散型隨機變量分布列求解問題，如本題第1)問就是求解離散型隨機變量的分布列，其關鍵是準確寫出隨機變量X的取值及正確求其概率..注意利用第(1)問的結果：在題設條件下，如果第(1)問的結果第(2)問能用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問的結果甚至無法解決，如本題即是在第(1)問的基礎上利用分布列求概率之和來求解..注意將概率求對：與離散型隨機變量有關的問題，準確求出隨機變量取值的概率是關鍵本題第(1)問，要做到：一是隨機變量取值要準，二是要明確隨機變量取每個值的意義，同時也要注意事件的獨立性在(1),(3)問中概率、期望值要寫出求解過程，不能直接寫出數值.解題程序第一步：設出基本事件，明確事件間的關系及含義.第二步：求出各個事件發(fā)生的概率.第三步：列出隨機變量X的分布列.第四步：解關于n的不等式，求出n的最小值.第五步：討論n=19與n=20時的費用期望，做出判斷決策.

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版第六步：檢驗反思，明確步驟規(guī)范.【易錯易混溫馨提醒】一、二項分布和超幾何分布模型的選擇容易搞混易錯1：在一次體能測試中，某研究院對該地區(qū)甲、乙兩學校做抽樣調查，所得學生的測試成績如下表所示:甲6772737967R2X.R工07090乙697375X069K]&9S2719]（1）將甲、乙兩學校學生的成績整理在所給的莖葉圖中，并分別計算其平均數;（2）若在乙學校被抽取的10名學生中任選3人檢測肺活量，求被抽到的3人中，至少2人成績超過80分的概率;（3）以甲學校的體能測試情況估計該地區(qū)所有學生的體能情況，則若從該地區(qū)隨機抽取4名學生，記測試成績在80分以上（含80分）的人數為X，求X的分布列及期望.【答案】（1）見解析；（2）3；（3）見解析.【解析】【試題分析】（1）根據莖葉圖的知識和數據填寫好,并分別求兩校測試成績的平均數/⑶至少2人有兩種情況：2人或3人,利用超幾何分布的計算公式可求得至少2人成績超付8口的概率.臼）8。分以.上的概率為|,利用二項分布的計算公式可求得X的分布列及期望.【試題解析】（1）莖葉圖如下所示:甲77025甲77025。02&6

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Kg9?]J501291故甲學校學生成績的平均數為^(67+67+70+72+75+79+80+82+88+90)=77,乙學校學生成績的平均教為^-(69+69+71+73+75+80+81+E2+89+91)=78TOC\o"1-5"\h\zC2C1C3 1(2)記至少2人成績超過80分為事件A，則P{A)==+=-；C3 C3310 10

2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版一（.2、（3）依題意，X的可能取值為0，1，2,3,4,則X?B4,-I5）P(X=0)=P(XP(X=0)=P(X=2)=C24P(X=4)=81625P(X=1)=C14216625P(X=3)=C341662521662596625易錯2：為了檢驗訓練情況，武警某支隊于近期舉辦了一場展示活動，其中男隊員12人，女隊員18人，測試結果如莖葉圖所示（單位：分）.若成績不低于175分者授予“優(yōu)秀警員”稱號，其他隊員則給予“優(yōu)秀陪練員”稱號.（1）若用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀警員”和“優(yōu)秀陪練員”中共提取10人，然后再從這10人中選4人，那么至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是多少？（2）若所有“優(yōu)秀警員”中選3名代表，用??表示所選女“優(yōu)秀警員”的人數，試求的分布列和數學期望.【答案】（1） （2）見解析2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版【解析】試題分析，（1訐U用題意和對立事件公式可求得至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是當Q）題中的分布列屬于超幾何分布，據此求得分布列和數學期望阿=工即可一試題解析：解：（口根據莖葉圖：有“優(yōu)秀警員"建人』“優(yōu)秀陪練員打&人用分層抽樣的方法,每個人被抽中的概率是非二，■I-Ud-所以選中的“優(yōu)秀警員”有4人優(yōu)秀陪練員”有E人.用事件A表示“至少有1名“優(yōu)秀警員”被選中，則25）=1—孚=1--=-.寸口 14因此J至少有1人是"優(yōu)秀警員”的概率是普12Iw12(2)依題意，4的取值為口，I2,3.* 14 扇28-0)--一一一 —1)一一v-一C?.55iJcA5512 ， S ,C混12 烯1-2)-—--- -3)----一55 ?、」需555 ， l12 ，因此，〈的分布列如下：0123P1455285512而1551428I■,■ =0x—\1x—\x—13x—=1口口 口口 0J 口口二、求解離散型隨機變量的概率時容易忽略情況導致出錯如圖，小華和小明兩個小伙伴在一起做游戲，他們通過劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰首先登上第個臺階，他們規(guī)定從平地開始，每次劃拳贏的一方登上一級臺階，輸的一方原地不動，平局時兩個人都上一級臺階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級臺階的獎勵，除非已經登上第3個臺階，當有任何一方登上第3個臺階時，游戲結束，記此時兩個小伙伴劃拳的次數為X.2019屆高三理科數學概率與統計解題方法規(guī)律技巧詳細總結版(1)求游戲結束時小華在第2個臺階的概率；(2)求X的分布列和數學期望.【答案】(1)察(2)E(X)=251243 81E解析】試題分析；⑴根據等可能性知每次贏、平.輸的概率皆為再分兩種情況分別計數:一種是小華在第1個臺階，并且小明在第2個臺階』最后一次劃拳小華平J另一種是小華在第2個臺階，并且小明也在第2個臺階，最后一次劃奉小華輸，逆推確定事件數及對應劃拳的次數，最后利用互月事件概率加法公式求概率，(2)先確定隨機變量取法,再分別利用蛆合求對應概率,列表可得分布列,