chapter定積分的幾何應(yīng)用實(shí)用

會計(jì)學(xué)1chapter定積分的幾何應(yīng)用實(shí)用第1頁/共46頁回顧曲邊梯形求面積的問題abxyo一、問題的提出與微元法第2頁/共46頁面積表示為定積分的步驟如下:第3頁/共46頁abxyo提示面積元素1.思考方法:(1)求總體量,先求部分量(以不變代變).(2)對部分量求和取極限.第4頁/共46頁2.所求量U須滿足的條件(1)U是與一個變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量.(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性,就是說,如果把區(qū)間

[a,b]分成許多部分區(qū)間,則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.這樣,就可考慮用定積分來表達(dá)這個量U.第5頁/共46頁3.微元法的一般步驟：根據(jù)問題的具體情況,選取一個變量(如x)為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b].(2)設(shè)想把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間,取其中任一小區(qū)間并記為[x,x+dx],求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量U

的近似值.如果U能近似地表示為[a,b]上的一個連續(xù)函數(shù)在x處的值f(x)與dx的乘積,就把f(x)dx稱為量U的微元,且記為dU.這個方法通常叫做微元法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積;體積;平面曲線的弧長;功;水壓力;引力和平均值等.第6頁/共46頁曲邊梯形的面積圍成圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形二、平面圖形的面積第7頁/共46頁圍成圖形的面積為:第8頁/共46頁Solution.兩曲線的交點(diǎn)選擇x為積分變量,面積元素第9頁/共46頁Solution.兩曲線的交點(diǎn)選x為積分變量,第10頁/共46頁Solution.曲線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有:問題:積分變量只能選x嗎?第11頁/共46頁Solution.兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量第12頁/共46頁如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積2.參數(shù)方程情形此時(shí)要注意曲邊是有正方向的!從而確定出起點(diǎn)和終點(diǎn).當(dāng)你沿曲邊朝著這方向前進(jìn)時(shí)曲邊梯形將在你的右邊.第13頁/共46頁Solution.橢圓的參數(shù)方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．第14頁/共46頁面積元素曲邊扇形的面積3.極坐標(biāo)情形第15頁/共46頁Solution.由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積第16頁/共46頁Solution.利用對稱性知第17頁/共46頁Solution.由極坐標(biāo)計(jì)算公式得:第18頁/共46頁1.平行截面面積為已知的立體的體積

如果一個立體，我們知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計(jì)算.立體體積三、立體體積第19頁/共46頁Solution.取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第20頁/共46頁Solution.取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第21頁/共46頁注意:若立體垂直于y軸的截面面積為B(y),則第22頁/共46頁

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺2.旋轉(zhuǎn)體的體積第23頁/共46頁旋轉(zhuǎn)體的體積為xyo第24頁/共46頁Solution.直線方程為第25頁/共46頁Solution.第26頁/共46頁第27頁/共46頁第28頁/共46頁第29頁/共46頁第30頁/共46頁Solution.(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí),選x為積分變量,(2)繞y軸旋轉(zhuǎn)時(shí),第31頁/共46頁Solution.如圖所示,選x為積分變量,第32頁/共46頁Solution.第33頁/共46頁第34頁/共46頁補(bǔ)充利用這個公式，可知上例中第35頁/共46頁Solution.體積元素為第36頁/共46頁四、平面曲線弧長的概念第37頁/共46頁弧長元素弧長1.直角坐標(biāo)情形第38頁/共46頁Solution.所求弧長為第39頁/共46頁Solution.第40頁/共46頁曲線弧為弧長2.參數(shù)方程情形第41頁/共46頁Solution.星形線的參數(shù)方