2021-2022學(xué)年遼寧省錦州市第七中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年遼寧省錦州市第七中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.相交成60°的兩條直線與一個(gè)平面α所成的角都是45°，那么這兩條直線在平面α內(nèi)的射影所成的角是

（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：D略2.若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最小值是（

）A.

B. C.3 D.參考答案：A3.定義算式?：x?y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知中算式?：x?y=x（1﹣y），我們可得不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對(duì)任意x都成立，轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于x的二次不等式恒成立，進(jìn)而根據(jù)二次不等式恒成立的充要條件，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵x?y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）?（x+a）＜1對(duì)任意x都成立，則（x﹣a）?（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立則△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)二次不等式ax2+bx+c＜0恒成立充要條件是a＜0，△＜0構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．4.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若=，則||?||=（）A．2 B．3 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】設(shè)|PF1|=m、|PF2|=n，根據(jù)橢圓的定義得到m+n=4．在△F1PF2中利用余弦定理，得4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，結(jié)合=算出m2+n2=9，兩式聯(lián)解得出mn=，即得||?||的值．【解答】解：橢圓中，a=2，b=，可得c==1，焦距|F1F2|=2．設(shè)|PF1|=m、|PF2|=n，根據(jù)橢圓的定義，可得m+n=2a=4，平方得m2+2mn+n2=16…①．△F1PF2中，根據(jù)余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2，即4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，…②∵=，∴cos∠F1PF2=mncos∠F1PF2=，代入②并整理，可得m2+n2=9…③，用①減去③，可得2mn=7，解得mn=，即||?||=．故選：C5.已知是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．，則

B．，則C．，則

D．，則參考答案：B略6.二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（

）A.60 B.120 C.240 D.480參考答案：C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式得到，可得到結(jié)果.【詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，令項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：C.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求,再將的值代回通項(xiàng)求解,注意的取值范圍().①第m項(xiàng)：此時(shí),直接代入通項(xiàng)；②常數(shù)項(xiàng)：即該項(xiàng)中不含“變?cè)?令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程；③有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.7.化簡(jiǎn)等于（

）A. B. C.3 D.1參考答案：A【分析】根據(jù)將原式化為，根據(jù)兩角和差的正切公式求得結(jié)果.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和差的正切公式化簡(jiǎn)求值的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合兩角和差正切公式的形式.8.設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為012P

那么，當(dāng)在(0,1)內(nèi)增大時(shí),的變化是（）A.減小B.增大C.先減小后增大D.先增大后減小參考答案：B【分析】先求期望，再求方差，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】則是在上的遞增函數(shù)，所以是在上的遞增，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量及其分布列，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.在△ABC中的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則△ABC的形狀為(

) A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形參考答案：C略10.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則＝(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則an=__________.參考答案：

12.描述算法的方法通常有：(1）自然語言；（2）

；（3）偽代碼.參考答案：流程圖13.過橢圓＝１的下焦點(diǎn)，且與圓x2＋y2－3x＋y＋＝0相切的直線的斜率是．參考答案：14.在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，平面OAB的一個(gè)法向量為=（2，﹣2，1），已知點(diǎn)P（﹣1，3，2），則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于

．參考答案：2【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；空間兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】直接利用空間點(diǎn)到平面的距離公式求解即可．【解答】解：平面OAB的一個(gè)法向量為=（2，﹣2，1），已知點(diǎn)P（﹣1，3，2），則點(diǎn)P到平面OAB的距離d===2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)、線、面距離的求法，公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15.定義：稱為n個(gè)正數(shù)p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．參考答案：4n﹣3【考點(diǎn)】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．由題意可得：=，即Sn=2n2﹣n，利用遞推關(guān)系即可得出．【解答】解：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．由題意可得：=，∴Sn=2n2﹣n，∴n=1時(shí)，a1=S1=1；n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣n﹣[2（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=4n﹣3，n=1時(shí)上式也成立，∴an=4n﹣3．故答案為：4n﹣3．16.函數(shù)在時(shí)有極值，那么的值分別為________。參考答案：17.集合中,每?jī)蓚€(gè)相異數(shù)作乘積,將所有這些乘積的和記為,如:;;則

.（寫出計(jì)算結(jié)果）參考答案：322三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)M(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)M1(26,1)，M2(2,1)的距離之比等于5.(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；(Ⅱ)記(Ⅰ)中的軌跡為C，過點(diǎn)M(－2,3)的直線l被C所截得的線段的長(zhǎng)為8，求直線l的方程．

參考答案：解：(Ⅰ)由題意，得＝5.＝5，化簡(jiǎn)，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.即(x－1)2＋(y－1)2＝25.∴點(diǎn)M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，軌跡是以(1,1)為圓心，以5為半徑的圓．(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝－2，此時(shí)所截得的線段的長(zhǎng)為2＝8，∴l(xiāng)：x＝－2符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圓心到l的距離d＝，由題意，得()2＋42＝52，解得k＝.∴直線l的方程為x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.綜上，直線l的方程為x＝－2，或5x－12y＋46＝0.

略19.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．角A，B，C成等差數(shù)列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與三角函數(shù)的綜合．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差數(shù)列可知B=60°，從而可得cosB的值；（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，結(jié)合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB=，根據(jù)余弦定理cosB=可求得a=c，從而可得△ABC為等邊三角形，從而可求得sinAsinC的值．【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，∴cosB=；…6分（Ⅱ）（解法一）由已知b2=ac，根據(jù)正弦定理得sin2B=sinAsinC，又cosB=，∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分（解法二）由已知b2=ac及cosB=，根據(jù)余弦定理cosB=解得a=c，∴B=A=C=60°，∴sinAsinC=…12分【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，著重考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查分析轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．20.如圖所示，已知點(diǎn)M（a，3）是拋物線y2=4x上一定點(diǎn)，直線AM、BM的斜率互為相反數(shù)，且與拋物線另交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)．（1）求點(diǎn)M到其準(zhǔn)線的距離；（2）求證：直線AB的斜率為定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由已知得32=4a，，由此能求出點(diǎn)M到其準(zhǔn)線的距離．（2）設(shè)直線MA的方程為：，聯(lián)立，得，由已知條件推導(dǎo)出，，由此能證明直線AB的斜率為定值．【解答】（1）解：∵M(jìn)（a，3）是拋物線y2=4x上一定點(diǎn)∴32=4a，∵拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=﹣1∴點(diǎn)M到其準(zhǔn)線的距離為：．（2）證明：由題知直線MA、MB的斜率存在且不為0，設(shè)直線MA的方程為：，聯(lián)立，得，∵，∴，∵直線AM、BM的斜率互為相反數(shù)∴直線MA的方程為：y﹣3=﹣k（x﹣），同理可得：，∴====﹣，∴直線AB的斜率為定值﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的求法，考查直線的斜率這定理的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．21.如圖（1），在中，,D是垂足，則,該結(jié)論稱為射影定理.如圖（2），在三棱錐中，平面，平面