2022江西省宜春市高安第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022江西省宜春市高安第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是純虛數(shù)，則的虛部為(

) A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：A考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)的基本概念．專題：計算題．分析：由已知中復(fù)數(shù)z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是純虛數(shù)，根據(jù)其虛部不為0，實部為0，可以構(gòu)造關(guān)于a的方程組，解方程求出a值，進(jìn)而可得，再由復(fù)數(shù)除法的運算法則，將復(fù)數(shù)化為a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到的虛部．解答： 解：∵復(fù)數(shù)z=a2﹣1+（a+1）i（a∈R）是純虛數(shù)，∴a2﹣1=0，且a+1≠0故a=1則Z=2i∴==﹣i故的虛部為故選A點評：本題考查的知識點是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，復(fù)數(shù)的基本概念，其中根據(jù)已知條件，構(gòu)造關(guān)于a的方程組，解方程求出a值，進(jìn)而可得，是解答本題的關(guān)鍵．2.已知雙曲線（）的右焦點與拋物線的焦點相同，則此雙曲線的離心率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C3.在△AOB中，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在線段OB上任取一點C，△AOC為鈍角三角形的概率是（

）A.0.2

B.

0.4

C.

0.6

D.

0.8參考答案：B4.如果直線與直線平行，則(

)A.

B.

C.或

D.或參考答案：D略5.某校高二年級航模興趣小組共有10人，其中有女生3人，現(xiàn)從這10人中任意選派2人去參加一項航模比賽，則有女生參加此項比賽的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A“恰有一名女生當(dāng)選”為事件A，“恰有兩名女生當(dāng)選”為事件B，顯然A、B為互斥事件．從10名同學(xué)中任選2人共有10×9÷2=45種選法（即45個基本事件），而事件A包括3×7個基本事件，事件B包括3×2÷2=3個基本事件，故P=P（A）+P（B）=+==故選：A．

6.若橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的倍，則這個橢圓的離心率為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.極坐標(biāo)方程表示的圖形是（

）A．兩個圓

B．一個圓和一條直線

C．一個圓和一條射線D．一條直線和一條射線參考答案：C8.設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，則M∩N為（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，1）參考答案：D【考點】交集及其運算；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由f（x）與g（x）解析式，根據(jù)M與N中的不等式分別求出x的范圍，確定出M與N，找出兩集合的交集即可．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，∴M={x|g（x）＞3或g（x）＜1}={x|3x﹣2＞3或3x﹣2＜1}={x|x＞log35或x＜1}，N={x|3x﹣2＜2}={x|3x＜4}={x|x＜log34}，∴M∩N={x|x＞log35或x＜1}∩{x|x＜log34}={x|x＜1}．故選：D．9.下列的判斷錯誤的是(

)A、歸納推理和類比推理是數(shù)學(xué)中常用的合情推理；B、把所有情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則叫做完全歸納推理；C、“”類推出“”D、“如果”是一個正確命題。參考答案：D10.為了從甲乙兩人中選一人參加數(shù)學(xué)競賽，老師將兩人最近的6次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計，甲乙兩人的得分情況如莖葉圖所示，若甲乙兩人的平均成績分別是，，則下列說法正確的是(

)A．，乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加比賽B．，甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)該選甲參加比賽C．，甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)該選甲參加比賽D．，乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)該選乙參加比賽參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定直線上有三點A，B，C，，，。動圓O恒與相切于點B，則過A、C且都與⊙O相切的直線、的交點P的軌跡是________。參考答案：去掉兩個頂點的雙曲線12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓上有且只有四個點到直線的距離為，則實數(shù)的取值范圍是________．參考答案：

13.已知A、B、C三點在球心為O，半徑為3的球面上，且?guī)缀误wO—ABC為正三棱錐，若A、B兩點的球面距離為，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的余弦值為_____________參考答案：略14.已知f（x）=﹣（x﹣1）2+m，g（x）=xex，若?x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實數(shù)m的取值范圍是．參考答案：[﹣，+∞）【考點】函數(shù)最值的應(yīng)用．【分析】?x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，等價于f（x）max≥g（x）min，分別求出最值，即可得出結(jié)論．【解答】解：?x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，等價于f（x）max≥g（x）min，∵g（x）=xex，∴g′（x）=（1+x）ex，x＜﹣1時，g′（x）＜0，x＞﹣1時，g′（x）＞0，∴x=﹣1時，g（x）min=﹣，∵f（x）=﹣（x﹣1）2+m，∴f（x）max=m，∴m≥﹣，∴實數(shù)m的取值范圍是[﹣，+∞）．故答案為：[﹣，+∞）．【點評】本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，：?x1，x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，轉(zhuǎn)化為f（x）max≥g（x）min，是關(guān)鍵．15.已知偶函數(shù)的定義域為R,滿足，若時，，則

參考答案：3略16.已知,,若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為__________.參考答案：(0,4]17.在正六邊形的6個頂點中隨機選取4個頂點，則構(gòu)成的四邊形是梯形的概率為_______________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè){an}是一個公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項和S10＝110且a1，a2，a4成等比數(shù)列．(1)證明a1＝d；(2)求公差d的值和數(shù)列{an}的通項公式.參考答案：解析：(1)證明：因a1，a2，a4成等比數(shù)列，故＝a1a4，而{an}是等差數(shù)列，有a2＝a1＋d，a4＝a1＋3d，于是(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即＋2a1d＋d2＝＋3a1d．d≠0，化簡得a1＝d．(2)由條件S10＝110和S10＝10a1＋，得到10a1＋45d＝110，由(1)，a1＝d，代入上式得55d＝110，故d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n．因此，數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n(n＝1，2，3，…)．19.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)）．（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=，試求實數(shù)m的值．參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=，圓心到直線的距離d==，即可求實數(shù)m的值．【解答】解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，所以ρ2=4ρcosθ，它的直角坐標(biāo)方程是：x2+y2=4x，即：（x﹣2）2+y2=4，…直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)），直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x﹣m…（2）由題意，圓心到直線的距離d==，∴=，∴m=1或m=3…20.已知函數(shù)，且曲線在點處的切線與直線平行.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）.【分析】（1）根據(jù)切線的斜率可求出,得，求導(dǎo)后解不等式即可求出單調(diào)區(qū)間.（2）原不等式可化為恒成立，令，求導(dǎo)后可得函數(shù)的最小值，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，又曲線在點處的切線與直線平行所以，即，由且，得，即的單調(diào)遞減區(qū)間是由得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知不等式恒成立可化為恒成立即恒成立令當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以時，函數(shù)有最小值由恒成立得，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值，恒成立問題，屬于中檔題.21.閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

…①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ

…②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ

…③令α+β=A，α﹣β=B有α=，β=代入③得sinA+sinB=2sincos．（1）利用上述結(jié)論，試求sin15°+sin75°的值．（2）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA+cosB=2cos?cos．（3）求函數(shù)y=cos2x?cos（2x+）x∈的最大值．參考答案：【考點】F3：類比推理；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)．【分析】（1）由sinA+sinB=2sincos，令A(yù)=15°，B=75°，代和可得sin15°+sin75°的值．（2）由cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ兩式相加得：cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，令α+β=A，α﹣β=B有α=，β=，可得結(jié)論；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，將A=2x，B=2x+，代入化簡函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)x∈，求出相位角，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到函數(shù)y=cos2x?cos（2x+）x∈的最大值．【解答】解：（1）∵sinA+sinB=2sincos∴sin15°+cos75°==2sin45°?cos（﹣30°）=…3（2）因為cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②…5①+②得cos（α+β）+cos（α﹣β）=2cosαcosβ，③令α+β=A，α﹣β=B有α=，β=，…6代入③得：．…7（3）由（2）知，…8∵，∴，…..9故函