數(shù)學(xué)歸納法測(cè)試卷-高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

1.5數(shù)學(xué)歸納法測(cè)試卷一、單選題1．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需利用假設(shè)再證（）A．時(shí)不等式成立 B．時(shí)不等式成立C．時(shí)不等式成立 D．時(shí)不等式成立2．已知是關(guān)于正整數(shù)n的命題．小明證明了命題，，均成立，并對(duì)任意的正整數(shù)k，在假設(shè)成立的前提下，證明了成立，其中m為某個(gè)固定的整數(shù)，若要用上述證明說(shuō)明對(duì)一切正整數(shù)n均成立，則m的最大值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．43．用數(shù)學(xué)歸納法證明（，n為正整數(shù)）的過(guò)程中，從遞推到時(shí)，不等式左邊為（

）．A．． B．．C．． D．．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由到，左邊需要添加的項(xiàng)數(shù)為（

）A．1 B．k C． D．5．如果命題對(duì)成立，那么它對(duì)也成立.設(shè)對(duì)成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對(duì)所有的正整數(shù)成立； B．對(duì)所有的正奇數(shù)成立；C．對(duì)所有的正偶數(shù)成立； D．對(duì)所有大于1的正整數(shù)成立.6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列（

）A．既有最大值，也有最小值 B．僅有最大值，而無(wú)最小值C．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值 D．僅有最小值，而無(wú)最大值7．函數(shù)，，…，，…，則函數(shù)是（

）．A．奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B．偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)8．已知經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的個(gè)平面，任意三個(gè)平面不經(jīng)過(guò)同一條直線，若這n個(gè)平面將空間分成個(gè)部分．現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明這一命題，證明過(guò)程中由到時(shí)，應(yīng)證明增加的空間個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是（

）A．B．C．D．10．對(duì)于不等式，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程如下：①當(dāng)時(shí)，，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，不等式成立.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．過(guò)程全部正確 B．的驗(yàn)證不正確C．的歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確11．已知一個(gè)命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時(shí)，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時(shí)也成立，則下列判斷中正確的是（

）A．p(k)對(duì)k＝528成立B．p(k)對(duì)每一個(gè)自然數(shù)k都成立C．p(k)對(duì)每一個(gè)正偶數(shù)k都成立D．p(k)對(duì)某些偶數(shù)可能不成立12．小明和小童兩位同學(xué)玩構(gòu)造數(shù)列小游戲,規(guī)則是:首先給出兩個(gè)數(shù)字1,10,然后小明把兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到第一個(gè)新數(shù)列1,10,10,再然后小童把每相鄰兩項(xiàng)的積插入此兩項(xiàng)之間,得到第二個(gè)新數(shù)列1,10,10,100,10,如此下去,不斷得到新數(shù)列．假設(shè)第n個(gè)新數(shù)列是:記:,則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．記，在用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意正整數(shù)，的過(guò)程中，從到時(shí)，不等式左邊的比增加了______項(xiàng).14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，當(dāng)時(shí)，應(yīng)證明的等式為______．15．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被3整除”的第二步中，時(shí)，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將變形為______，從而可以用歸納假設(shè)去證明．16．觀察下列數(shù)表：13

57

9

11

1315

17

19

21

23

25

27

29…

…

…設(shè)1025是該表第m行的第n個(gè)數(shù)，則________.四、解答題17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：可以被7整除.18．先猜想下列算式的和，并用數(shù)學(xué)歸納法證明：．19．請(qǐng)觀察下列三個(gè)式子：①；②；③．歸納出一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．20．觀察下面等式：寫出由這些等式歸納的一般規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明．21．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．22．考查下列各式2＝2×13×4＝4×1×34×5×6＝8×1×3×55×6×7×8＝16×1×3×5×7你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？參考答案1．B【分析】利用已知及其數(shù)學(xué)歸納法的定義即可得出．【詳解】若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還需要證明成立．故選：B．2．C【分析】由歸納法的步驟知，我們由在假設(shè)成立的前提下，證明了成立，由此推得，對(duì)的任意整數(shù)均成立，結(jié)合小明證明了命題，，均成立，由此不難得到m的最大值．【詳解】由題意可知，對(duì)都成立，假設(shè)成立的前提下，證明了成立，由此推得，對(duì)的任意整數(shù)均成立，因此m的最大值可以為：3．故選C．3．C【分析】根據(jù)的式子，即可比較求解.【詳解】由，則，因此故選：C4．D【分析】寫出時(shí)和時(shí)等式左邊式子，比較即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，等式左端為，當(dāng)時(shí)，等式左端為，所以共增加了項(xiàng).故選：D.5．C【分析】根據(jù)題意可得，當(dāng)命題成立，可推出均成立．【詳解】由于若命題對(duì)成立，則它對(duì)也成立．又已知命題成立，可推出均成立，即對(duì)所有正偶數(shù)都成立故選：C．6．B【分析】特殊值代入驗(yàn)證，利用歸納法進(jìn)行簡(jiǎn)單證明.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，有，假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，那么當(dāng)時(shí)，，時(shí)，都有，即

，又

，且n趨近無(wú)窮大時(shí)，趨近0，數(shù)列有最大值，無(wú)最小值．故選：B7．A【分析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可得也是奇函數(shù)，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的

，有

是奇函數(shù).【詳解】易知是奇函數(shù)，，，，滿足，所以也是奇函數(shù)，假設(shè)

是奇函數(shù)，則

，即也是奇函數(shù)，因此對(duì)任意的

，有

是奇函數(shù)，故：也是奇函數(shù).故選：A8．A【分析】由數(shù)學(xué)歸納法的概念求解【詳解】當(dāng)時(shí)，這三個(gè)平面將空間分成了8部分，若時(shí)，平面將空間分成個(gè)部分，則再添加1個(gè)面時(shí)，與其他個(gè)面共有條交線，此條交線過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，將該平面分成個(gè)部分，每一部分將所在的空間一分為二，故．故選：A9．BC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義可得出結(jié)論.【詳解】數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，由此可知BC能用數(shù)學(xué)歸納法證明.故選：BC.10．ABC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過(guò)程可得出結(jié)論.【詳解】在時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用時(shí)的假設(shè)，即從到的推理不正確.故選：ABC.11．AD【分析】直接根據(jù)已知條件判斷每一個(gè)選項(xiàng)的正確錯(cuò)誤.【詳解】由題意知p(k)對(duì)k＝2，4，6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時(shí)不能確定p(k)是否成立，故選AD.故選：AD12．ABC【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義,寫出前4項(xiàng),即可判斷選項(xiàng)AD的正誤,再根據(jù)新定義找到項(xiàng)數(shù),,與第幾個(gè)數(shù)列之間的關(guān)系,利用數(shù)學(xué)歸納法即可判斷選項(xiàng)B的正誤,根據(jù)和之間的聯(lián)系即可得到選項(xiàng)C的正誤.【詳解】解:由題可知:第一個(gè)新數(shù)列為:1,10,10,項(xiàng)數(shù)為:3,,第二個(gè)新數(shù)列1,10,10,100,10,由于第二個(gè)新數(shù)列的得到是第一個(gè)數(shù)列的基礎(chǔ)上,相鄰兩項(xiàng)積插入,故項(xiàng)數(shù)為:,,第三個(gè)新數(shù)列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故項(xiàng)數(shù)為:,,第四個(gè)新數(shù)列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故項(xiàng)數(shù)為:,,故選項(xiàng)A正確;不妨記第個(gè)數(shù)列時(shí)，為,當(dāng)時(shí),即第一個(gè)數(shù)列時(shí),滿足,不妨假設(shè)當(dāng)時(shí),即第個(gè)數(shù)列時(shí)滿足,且數(shù)列有項(xiàng),則當(dāng)時(shí),即第個(gè)數(shù)列時(shí),數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有項(xiàng),此時(shí),滿足,故選項(xiàng)B正確;由于新數(shù)列是將兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到,且,故在中比多出來(lái)的部分需要乘2次,需要乘一次,再加上乘以,故有,即,故選項(xiàng)C正確;由選項(xiàng)A中可知:,,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:ABC13．3【分析】根據(jù)給定條件，分析從到時(shí)式子的變化即可作答.【詳解】因?yàn)椋?，所以不等式左邊的比增加了，?項(xiàng).故答案為：314．【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學(xué)歸納法的定義及證明命題的方法步驟直接寫出結(jié)論作答.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，應(yīng)證明的等式為：.故答案為：15．或(寫出其中一個(gè)即可)【分析】使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，需要用到時(shí)的結(jié)論，即，故應(yīng)將變形為含有的等式.【詳解】假設(shè)時(shí)命題成立，即：能被3整除；當(dāng)時(shí)，；或.故答案為：或.(寫出其中一個(gè)即可)16．12【分析】根據(jù)上面數(shù)表的數(shù)的排列規(guī)律，1、3、5、7、9…都是連續(xù)奇數(shù)，第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行4個(gè)數(shù)，第四行8個(gè)數(shù)，…第十行有29個(gè)數(shù)，分別求出左起第一個(gè)數(shù)的規(guī)律，按照此規(guī)律，即可求出答案.【詳解】根據(jù)上面數(shù)表的數(shù)的排列規(guī)律，1、3、5、7、9…都是連續(xù)奇數(shù)，第一行1個(gè)數(shù)，第二行2=21個(gè)數(shù)，且第1個(gè)數(shù)是3=22﹣1第三行4=22個(gè)數(shù)，且第1個(gè)數(shù)是7=23﹣1第四行8=23個(gè)數(shù)，且第1個(gè)數(shù)是15=24﹣1

…第10行有29個(gè)數(shù)，且第1個(gè)數(shù)是210﹣1=1023，第2個(gè)數(shù)為1025，所以1025是第10行的第2個(gè)數(shù)，所以m=10，n=2，所以m+n=12；故答案為：1217．證明見解析．【分析】用數(shù)學(xué)歸納法證明．【詳解】證明：（1）時(shí)，，能被7整除，（2）假設(shè)時(shí)，命題成立，即能被7整除，設(shè)（是正整數(shù)），則時(shí)，，是正整數(shù)，所以能被7整除，所以時(shí)，命題成立，綜上，原命題成立，（是正整數(shù)）可以被7整除．18．，證明見解析【分析】根據(jù)時(shí)計(jì)算其值，觀察歸納規(guī)律，即可得到猜想，然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此猜想．證明：①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)（且）時(shí)，猜想成立，即，那么時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，猜想也成立．由①②知，猜想都成立．19．，證明見解析【分析】觀察各個(gè)式子左右兩邊的關(guān)系以及與正整數(shù)的關(guān)系，歸納出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．【詳解】．證明：①當(dāng)時(shí)，左邊＝3，右邊＝3，所以左邊＝右邊．②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即；則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)命題立，由①②知，命題成立．20．一般規(guī)律：；證明見解析．【分析】總結(jié)規(guī)律后由數(shù)學(xué)歸納法證明【詳解】一般規(guī)律：，證明：（1）時(shí)，左=右，等式成立；（2）假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，等式也成立，由（1）（2）得當(dāng)時(shí)等式都成立．21．見解析【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，右邊；假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即有，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)等式也成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可知等式對(duì)于任意都成立.22．猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，證明見解析【分析】由題設(shè)中的式子可以歸納得到(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2，整理即可得證【詳解】由題意得，2＝2×1，3×4＝4×1×3，4×5×6＝8×1×3×5，5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)