上海市虹口區(qū)第三中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

上海市虹口區(qū)第三中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知命題p：?x∈R，sinx≤1．則￢p是（）A．?x∈R，sinx≥1 B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1 D．?x∈R，sinx＞1參考答案：B【考點(diǎn)】特稱命題；命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得命題的否定為?x∈R，使得sinx＞1．【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得，命題p：?x∈R，sinx≤1的否定是?x∈R，使得sinx＞1故選B．2.已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，則A∩B=（）A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2） D．（1，2]參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；其他不等式的解法．【分析】求出集合A中其他不等式的解集，確定出A，找出A與B的公共部分即可求出交集．【解答】解：由A中的不等式變形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故選D3.設(shè)隨機(jī)變量X~N（0，1），已知，則（）A．0.025

B．0.050

C．0.950

D．0.975參考答案：C略4.如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖均為全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A考點(diǎn)：三視圖和立體圖形的轉(zhuǎn)化；三棱錐的體積.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件，然后執(zhí)行循環(huán)語句，一旦滿足條件就退出循環(huán)，輸出結(jié)果．【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得：k=1，s=1，第1次執(zhí)行循環(huán)體，s=1，不滿足條件s＞15，第2次執(zhí)行循環(huán)體，k=2，s=2，不滿足條件s＞15，第3次執(zhí)行循環(huán)體，k=3，s=6，不滿足條件s＞15，第4次執(zhí)行循環(huán)體，k=4；s=15，不滿足條件s＞15，第5次執(zhí)行循環(huán)體，k=5；s=31，滿足條件s＞31，退出循環(huán)，此時(shí)k=5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題給出程序框圖，要我們求出最后輸出值，著重考查了算法語句的理解和循環(huán)結(jié)構(gòu)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6.若橢圓的弦被點(diǎn)（2，1）平分，則此弦所在的直線方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+13y﹣14=0 D．x+2y﹣8=0參考答案：A【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】設(shè)直線交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2），把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得斜率，然后求解直線方程．【解答】解：設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，再設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意得，兩式相減，得（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0，即=﹣，∵點(diǎn)M（2，1）是AB的中點(diǎn)，∴kAB=﹣=﹣1，則所求直線方程為y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0；故選：A．7.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略8.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，且，則（

）A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.1參考答案：C【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得，有，再由對(duì)立事件概率關(guān)系即可求解.【詳解】，，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性、對(duì)立事件概率關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A.

B.2

C.

D.4參考答案：D略10.對(duì)“a、b、c至少有一個(gè)是正數(shù)”的反設(shè)是（）A．a(chǎn)、b、c至少有一個(gè)是負(fù)數(shù) B．a(chǎn)、b、c至少有一個(gè)是非正數(shù)C．a(chǎn)、b、c都是非正數(shù) D．a(chǎn)、b、c都是正數(shù)參考答案：C【考點(diǎn)】R9：反證法與放縮法．【分析】找出題中的題設(shè)，然后根據(jù)反證法的定義對(duì)其進(jìn)行否定．【解答】解：∵命題“a、b、c至少有一個(gè)是正數(shù)”可得題設(shè)為，“a、b、c至少有一個(gè)是正數(shù)”，∴反設(shè)的內(nèi)容是：a、b、c都是非正數(shù)；故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若集合，，則_____________參考答案：12.過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是

參考答案：設(shè)與直線平行的直線方程為，把點(diǎn)（0，3）代入可得0-3+c=0，c=3，故所求的直線的方程為，考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用待定系數(shù)法求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．13.右圖的矩形，長(zhǎng)為5m，寬為2m，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積為

；參考答案：

14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若，則的面積的最大值是______.參考答案：【分析】求出拋物線方程，聯(lián)立拋物線方程和直線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，得出面積表達(dá)式，利用基本不等式求出最值?！驹斀狻繏佄锞€焦點(diǎn)為拋物線的方程為聯(lián)立拋物線方程和直線方程得因?yàn)橛謨山稽c(diǎn)，即所以恒成立。設(shè)點(diǎn)，則，到直線的距離當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的面積的最大值為?！军c(diǎn)睛】此題考查直線和拋物線交點(diǎn)弦問題，一般思路將直線和拋物線聯(lián)立起來，弦長(zhǎng)可通過兩點(diǎn)間距離公式和韋達(dá)定理求解，三角形面積底邊長(zhǎng)即為弦長(zhǎng)，高為點(diǎn)到直線距離，屬于一般性題目。15.一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4個(gè)人坐，要求3個(gè)空位中，恰有2個(gè)空位相鄰，共有種不同的坐法．（用數(shù)字作答）參考答案：480【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：可先讓4人全排列坐在4個(gè)位置上，再把“兩個(gè)相鄰的空位”與“單獨(dú)的空位”視為兩個(gè)元素，將其插入4個(gè)人形成的5個(gè)“空當(dāng)”之間，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、先讓4人全排列，坐在4個(gè)位置上，有A44種排法，②、將3個(gè)空位看成2個(gè)元素，一個(gè)是“兩個(gè)相鄰空位”，另一個(gè)“單獨(dú)的空位”再將2個(gè)元素插入4個(gè)人形成的5個(gè)“空當(dāng)”之間，有A52種插法，所以所求的坐法數(shù)為A44?A52=480；故答案為：480．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意人與人之間是不同的，但空位是相同的．16.已知為平面的一條斜線，B為斜足，，為垂足，為內(nèi)的一條直線，，，則斜線和平面所成的角為____________。參考答案：略17.若函數(shù)f（x）=在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：（]【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過分段函數(shù)利用單調(diào)性列出不等式求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=，令g（x）=x﹣lnx，則g′（x）=1﹣，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）單增，g（x）≥g（1）=1．由題意得，，解得m．故答案為：（]．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).

（1）求的值；（2）判斷在R上的單調(diào)性并用定義證明；（3）若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.參考答案：(1)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)∴f(0)=0

得a=1

∴

分

(2)∵

設(shè)x1<x2,則

∴即

∴f(x)在R上是增函數(shù)。

(3)由(2)知，f(x)在[-1,2]上是增函數(shù)∴f(x)在[-1,2]上的最小值為f(-1)=-

對(duì)恒成立

∴

即

得

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[,1]

19.(本小題滿分12分)已知橢圓的離心率，且橢圓C上的點(diǎn)E與左焦點(diǎn)F1的最小距離為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線與該橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB恰被點(diǎn)P所平分，求直線的方程．參考答案：解：（1）∵，∴設(shè)，，

又∵橢圓上的動(dòng)點(diǎn)E與距離的最小值為，∴，∴，即，，∴，∴橢圓的方程為；（2）設(shè)，的中點(diǎn)為，∴∵，代入上式得∴的方程為即為．

20.已知拋物線y=ax2+bx+c通過點(diǎn)（1，1），且在點(diǎn)（2，﹣1）處與直線y=x﹣3相切，求a、b、c的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先求函數(shù)y=ax2+bx+c的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再由題意知函數(shù)過點(diǎn)（1，1），（2，﹣1），且在點(diǎn)（2，﹣1）處的切線的斜率為1，即f′（2）=1，分別將三個(gè)條件代入函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)，解方程即可【解答】解：∵f（1）=1，∴a+b+c=1．又f′（x）=2ax+b，∵f′（2）=1，∴4a+b=1．又切點(diǎn)（2，﹣1），∴4a+2b+c=﹣1．把①②③聯(lián)立得方程組解得即a=3，b=﹣11，c=9．21.某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試解答下