上海教育科學(xué)研究院實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析

上海教育科學(xué)研究院實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線y＝x＋b與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()A．|b|＝

B．－1<b<1或b＝－C．－1<b≤1

D．－1<b≤1或b＝－參考答案：D2.圖中建立了集合P中元素與集合M中元素的對(duì)應(yīng)f．其中為映射的對(duì)應(yīng)是（）A．（1）（3） B．（2）（5） C．（3）（4） D．（1）（5）參考答案：B考點(diǎn)： 映射．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)映射的定義，判斷P中任意元素在集合M中是否都有唯一的對(duì)應(yīng)元素，解答： 解：（1）中對(duì)應(yīng)，P中元素﹣3在集合M中無(wú)對(duì)應(yīng)的元素，不滿足映射的定義；（2）中對(duì)應(yīng)，P中任意元素在集合M中都有唯一的對(duì)應(yīng)元素，滿足映射的定義；（3）中對(duì)應(yīng)，P中元素2在集合M中有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的元素，不滿足映射的定義；（4）中對(duì)應(yīng)，P中元素1在集合M中有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的元素，不滿足映射的定義；（5）中對(duì)應(yīng)，P中任意元素在集合M中都有唯一的對(duì)應(yīng)元素，滿足映射的定義；故為映射的對(duì)應(yīng)是（2）（5），故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是映射，熟練掌握并正確理解映射的定義，是解答的關(guān)鍵．3.sin(－1050°)的值為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D故選D

4.為了得到函數(shù)的圖象，只要將y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用左加右減的原則，直接推出平移后的函數(shù)解析式即可．【解答】解：將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：y=sin（x+），再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=sin（2x+）．故選A．5.已知0＜a＜1，則的大小關(guān)系是(A)

(B)(C)

(D)參考答案：A6.已知（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則a，b，c之間的大小關(guān)系是A、

B、

C、

D、參考答案：A因?yàn)?，所以，?故選A.7.設(shè),其中xR,如果AB=B，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：A={0，-4}，又AB=B，所以BA．(i）B=時(shí)，4（a+1）2-4(a2-1)<0，得a<-1；(ii)B={0}或B={-4}時(shí)，0

得a=-1；(iii）B={0，-4}，

解得a=1．綜上所述實(shí)數(shù)a=1或a-1．8.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：DA.是奇函數(shù)，故不滿足題意；B.是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，故不滿足條件；C.是偶函數(shù)但是為減函數(shù)，故得到不滿足條件；D.，是偶函數(shù)且為增函數(shù)，滿足條件。

9.設(shè)全集，，則等于

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.過(guò)點(diǎn)P的直線L與以、為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線L的斜率k的取值范圍是

A．

B．C． D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a5＝16，那么數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6＝________．參考答案：6312.設(shè)函數(shù)則

參考答案：－4∵，∴。答案：

13.化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．

B．C．

D．參考答案：C略14.若直線l的斜率k的變化范圍是，則l的傾斜角的范圍為

．參考答案：[0，]∪[，π）【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【分析】由直線的斜率范圍，得到傾斜角的正切值的范圍，利用正切函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合傾斜角的范圍，最后確定傾斜角的具體范圍．【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為α，則α∈[0，π），由﹣1≤k≤，即﹣1≤tanα≤，當(dāng)0＜tanα≤，時(shí)，α∈[0，]；當(dāng)﹣1≤tanα＜0時(shí)，α∈[，π），∴α∈[0，]∪[，π）；故答案為∈[0，]∪[，π）．15.在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，，，平面ABC，且，則ED=_____．參考答案：【分析】由EC垂直Rt△ABC的兩條直角邊，可知EC⊥面ABC，再根據(jù)D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，可求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求得DE的長(zhǎng)．【詳解】如圖，EC⊥面ABC，而CD?面ABC，∴EC⊥CD，∵AC＝6，BC＝8，EC＝12，△ABC是直角三角形，D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD＝5，ED13．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定和性質(zhì)定理，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知集合，則實(shí)數(shù)的值為

．參考答案：017.對(duì)于曲線（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線，總存在在曲線上一點(diǎn)處的切線，使得∥，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.

參考答案：∵，∴∵,故∵,∴，g′′（x）=2（lnx+1），當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g′′（x）＜0，g′（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，g′′（x）＞0，g′（x）為增函數(shù)；故當(dāng)x=時(shí)，g′（x）取最小值a﹣，即g′（x）∈[a﹣，0）若對(duì)于曲線（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線l1，總存在在曲線上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1∥l2，則[﹣1，0）?[a﹣，0）,即a﹣≤﹣1．解得：a∈.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍；（2）若t=1，且對(duì)任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（3）若對(duì)任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8，求t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】3X：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）若t=1，則f（x）=（x﹣1）2+1，根據(jù)二次函數(shù)在[0，4]上的單調(diào)性可求函數(shù)的值域（2）由題意可得函數(shù)在區(qū)間[a，a+2]上，[f（x）]max≤5，分別討論對(duì)稱軸x=t與區(qū)間[a，a+2]的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，可求最大值，進(jìn)而可求a的范圍（3）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，對(duì)任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8等價(jià)于M﹣m≤8，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求【解答】解：因?yàn)閒（x）=x2﹣2tx+2=（x﹣t）2+2﹣t2，所以f（x）在區(qū)間（﹣∞，t]上單調(diào)減，在區(qū)間[t，+∞）上單調(diào)增，且對(duì)任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t﹣x），（1）若t=1，則f（x）=（x﹣1）2+1．①當(dāng)x∈[0，1]時(shí)．f（x）單調(diào)減，從而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范圍為[1，2]；②當(dāng)x∈[1，4]時(shí)．f（x）單調(diào)增，從而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．所以f（x）的取值范圍為[1，10]；所以f（x）在區(qū)間[0，4]上的取值范圍為[1，10]．

…（2）“對(duì)任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等價(jià)于“在區(qū)間[a，a+2]上，[f（x）]max≤5”．①若t=1，則f（x）=（x﹣1）2+1，所以f（x）在區(qū)間（﹣∞，1]上單調(diào)減，在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)增．②當(dāng)1≤a+1，即a≥0時(shí)，由[f（x）]max=f（a+2）=（a+1）2+1≤5，得﹣3≤a≤1，從而0≤a≤1．③當(dāng)1＞a+1，即a＜0時(shí)，由[f（x）]max=f（a）=（a﹣1）2+1≤5，得﹣1≤a≤3，從而﹣1≤a＜0．綜上，a的取值范圍為區(qū)間[﹣1，1]．

…（3）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為M，最小值為m，所以“對(duì)任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等價(jià)于“M﹣m≤8”．①當(dāng)t≤0時(shí)，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．從而t∈?．②當(dāng)0＜t≤2時(shí)，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得4﹣2≤t≤4+2．從而

4﹣2≤t≤2．③當(dāng)2＜t≤4時(shí)，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2．從而2＜t≤2．④當(dāng)t＞4時(shí)，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．從而t∈?．綜上，t的取值范圍為區(qū)間[4﹣2，2]．

…19.已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)的夾角為θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量與互相垂直，求k的值．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【分析】（Ⅰ）利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的加減運(yùn)算法則，進(jìn)行運(yùn)算．（Ⅱ）把兩個(gè)向量的坐標(biāo)直接代入兩個(gè)向量的夾角公式進(jìn)行運(yùn)算．（Ⅲ）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，它們的數(shù)量積等于0，解方程求得k的值．【解答】解：（Ⅰ）=（1，2）﹣2（﹣3，1）=（1+6，2﹣2）=（7，0）．（Ⅱ）=﹣．（Ⅲ）因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以，（）?（）=0，即因?yàn)?5，，所以，5﹣10k2=0，解得．20.已知A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}，若A∩B=A，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；分類法；集合．【分析】求出B中不等式的解集確定出B，根據(jù)A與B的交集為A，得到A為B的子集，確定出a的范圍即可．【解答】解：∵A={x|a≤x≤2a﹣4}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0}={x|（x﹣6）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜6}，且A∩B=A，∴A?B，當(dāng)A=?時(shí)，則有a＞2a﹣4，即a＜4，滿足題意；當(dāng)A≠?時(shí)，則有，解得：﹣1＜a＜5，綜上，a的范圍是a＜5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．21.若求的值。參考答案：

=

=

==略22.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，A1A=AB=6，D為AC中點(diǎn)．（Ⅰ）求三棱錐C1﹣BCD的體積；（Ⅱ）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求證：直線AB1∥平面BC1D．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）先根據(jù)△ABC為正三角形，D為AC中點(diǎn)，得到BD⊥AC，求出△BCD的面積；再根據(jù)C1C⊥底面ABC即可求出三棱錐C1﹣BCD的體積；（Ⅱ）先根據(jù)A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再結(jié)合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可證：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）連接B1C交BC1于O，連接OD，根據(jù)D為AC中點(diǎn)，O為B1C中點(diǎn)可得OD∥AB1，即可證：直線AB1∥平面BC1D．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）∵△ABC為正三角形，D為AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，由AB=6可知，，∴．又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，∴．

…（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A