高等數(shù)學(xué) 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性課件

第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念二、函數(shù)的間斷點三、連續(xù)函數(shù)的四則運算四、反函數(shù)的連續(xù)性五、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性六.初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的概念極限形式增量形式1、連續(xù)性概念的增量形式在某過程中,變量u的終值u2與它的初值u1的差u2u1,稱為變量u在u1處的增量,記為u=u2－u1.定義u是一個整體記號,它可以取正值、負(fù)值或零.有時我們也稱u為變量u在u1處的差分.連續(xù)性概念的增量形式則稱f(x)在點x0處連續(xù).設(shè)f

(x)在U(x0)內(nèi)有定義.若定義自變量的增量趨于零時,函數(shù)的增量也趨于零.設(shè)f

(x)在U(x0)內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f

(x)在點x0處是連續(xù)的.2、函數(shù)連續(xù)性的定義(極限形式)函數(shù)的連續(xù)性是一個局部性的概念,是逐點定義的.定義是整個鄰域函數(shù)f

(x)在點x0處連續(xù),應(yīng)該滿足以下三點：(1)f(x)在U(x0)內(nèi)有定義；(包括在點x0處有定義)(極限值等于函數(shù)在點x0處的函數(shù)值)3.函數(shù)的左、右連續(xù)性設(shè)函數(shù)f

(x)在[x0,x0+)內(nèi)有定義.若則稱f

(x)在x0點處右連續(xù).設(shè)函數(shù)f(x)在(x0–,x0]內(nèi)有定義.若則稱f

(x)在x0點處左連續(xù).其中,為任意常數(shù).定義函數(shù)在點x0

連續(xù),等價于它在點x0

既左連續(xù)又右連續(xù).定理討論y=|x|,x()在點x=0處

y=|x|在點x=0處連續(xù).xyy=|x|O的連續(xù)性.例2解4.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性設(shè)函數(shù)f

(x)在開區(qū)間(a,

b)內(nèi)有定義.若x0(a,

b),f(x)在點x0處連續(xù),則稱f

(x)在開區(qū)間(a,

b)內(nèi)連續(xù),記為f(x)C((a,b)).定義若f(x)C((a,b)),且f(x)在x=a處右連續(xù),在端點x=b處左連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),記為f(x)C([a,b]).對半開閉區(qū)間和無窮區(qū)間可類似定義連續(xù)性定義一般地,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),則記為f(x)C(I).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.二、函數(shù)的間斷點

通常將函數(shù)的不連續(xù)點叫做函數(shù)的間斷點.函數(shù)f

(x)在點x0處連續(xù),應(yīng)該滿足以下三點：(1)f(x)在U(x0)內(nèi)有定義；(包括在點x0處有定義)(極限值等于函數(shù)在點x0處的函數(shù)值)(1)f

(x)在x0處無定義.若函數(shù)在點滿足下述三個條件中的任何一個,則稱函數(shù)在點處間斷,點稱為函數(shù)f

(x)的一個間斷點：定義2.函數(shù)間斷點的分類函數(shù)的間斷點第一類間斷點第二類間斷點跳躍可去無窮振蕩其它(1)第一類間斷點若x0為函數(shù)f

(x)的一個間斷點,且f

(x)的第一類間斷點.則稱x0為函數(shù)定義討論函數(shù)f

(x)=x+1 x

>0sinx

x

<0在x=0處的連續(xù)性.yxO1y=sinxy＝x+1由圖可知,函數(shù)在點x0處間斷.例4討論函數(shù)在x=1無定義,故x=1為函數(shù)的第一類間斷點.x=1為函數(shù)的間斷點.yxO11P(1,2)y＝x+1進一步分析該間斷點的特點.例5解補充定義則函數(shù)f*(x)

在x=1連續(xù).f*

(x)

=2x=1即定義分析這種間斷點稱為可去間斷點.處函數(shù)值后,可得到一個新的連續(xù)函數(shù),故將在且相等,即極限存在,經(jīng)過補充定義間斷點這個間斷點的特點是該處的左、右極限存補充定義f*

(x)

=,x=x0(2)第二類間斷點凡不屬于第一類的間斷點,稱為函數(shù)的第二類間斷點.這算定義嗎？定義即左右極限至少有一個不存在的點.討論函數(shù)xyO在x

=0無定義,x

=0為函數(shù)的間斷點,故

x

=0為函數(shù)的第二類間斷點.所以稱它為無窮間斷點.由于例6解在x

=0處無定義,又不存在,故x=0為函數(shù)的第二類間斷點.看看該函數(shù)的圖形.例7解O11xy無窮型間斷點其它間斷點第二類間斷點左右極限至少有一個不存在左右極限至少有一個為無窮振蕩型間斷點左右極限至少有一個振蕩回憶函數(shù)極限的四則運算則三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)的四則運算設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),fi(x)在點x0處連續(xù),則即

有限個在點x0

處連續(xù)函數(shù)的和仍是一個在點x0處連續(xù)的函數(shù).即(2)有限個在點x0處連續(xù)的函數(shù)之積仍是一個在點x0處的連續(xù)函數(shù).即(3)兩個在點x0處連續(xù)函數(shù)的商,當(dāng)分母不為零時,仍是一個在點x0處連續(xù)函數(shù).即2、反函數(shù)的連續(xù)性

y

=f

－1(x)的圖形只是y=f

(x)的圖形繞直線y=x

翻轉(zhuǎn)180o而成,故單調(diào)性、連續(xù)性仍保持.從幾何上看:x=f

－1(y)與y=f

(x)的圖形相同,連續(xù)性保持.從而,單調(diào)性、設(shè)函數(shù)y=f

(x)在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)且連續(xù),則其反函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間I*={y|y=f(x),xI}上嚴(yán)格單調(diào)增加

(減少)且連續(xù).定理3(反函數(shù)連續(xù)性定理)xy11Oxy11O例8設(shè)函數(shù)u=(x)在點x0處連續(xù),且u0

=

(x0),函數(shù)y=f(u)在u0處連續(xù).若復(fù)合函數(shù)y=f((x))在U(x0)內(nèi)則y=f((x))在x0點處連續(xù).有定義,這個條件有必要嗎？定理(復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理)3、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性如果

y=f(u)在u0處連續(xù),則

,當(dāng)|uu0|<時,有|f(u)

f

(u0)|<再假設(shè)u=(x),且在x0處連續(xù),即亦即證明:|u

u0|=|(x)

(x0)|<

故對上面的,,當(dāng)|x

x0|<時,有則

,當(dāng)|x

x0|<

時,|u

u0|=|(x)

(x0)|<

且有（假設(shè)可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)）|f(u)

f(u0)|＝|f((x))f((x0))|<u=cosx1是在定義域內(nèi)的定義域是一個孤立點集D={x|x=2k,kZ}從而,函數(shù)在其定義域內(nèi)的但由它們構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)連續(xù)的函數(shù),每一點均不連續(xù).例9在上述定理的條件下,在上述定理的條件下,極限符號可與連續(xù)函數(shù)符號交換順序.推論1設(shè)函數(shù)u=(x)的極限存在：函數(shù)y=f

(u)在點u=a處連續(xù).復(fù)合函數(shù)f

((x))當(dāng)xx0

時的極限存在,且若復(fù)合函數(shù)f

((x))在內(nèi)有定義,則推論2求例10解利用復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性推論求極限求y

=lnu

在其定義域內(nèi)連續(xù),故（y

=lnu

在u=1處連續(xù)）例11解4.初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的.初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù).注意兩者的區(qū)別！利用初等函數(shù)和反函數(shù)連續(xù)性求極限求連續(xù)性給極限運算帶來很大方便.例12解例14例13故