D對面積曲面積分新

會計學(xué)1D對面積曲面積分新定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對做任意分割和局部區(qū)域任意取點,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對面積函數(shù),

叫做積分曲面.第1頁/共28頁則對面積的曲面積分存在.?對積分域的可加性.則有?線性性質(zhì).在光滑曲面

上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似.?積分的存在性.若是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面第2頁/共28頁定理:

設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對面積的曲面積分的計算法

則曲面積分證明:由定義知第3頁/共28頁而(光滑)第4頁/共28頁1)這就是把對面積的曲面積分化為二重積分的計算公式簡述為：一代、二換、三投影代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換面積元投影：將曲面投影到坐標(biāo)面得投影區(qū)域說明:2)如果曲面方程為公式如何寫？選學(xué)不要求3)若曲面為參數(shù)方程,公式又當(dāng)如何寫？第5頁/共28頁只要求出在參數(shù)意義下dS的表達式,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的第6頁/共28頁例1.

計算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:第7頁/共28頁思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下兩部分,則第8頁/共28頁例2.

計算其中

是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與

原式=分別表示

在平面第9頁/共28頁例3.

設(shè)計算解:

錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xOy面上的投影域為則第10頁/共28頁思考:

若例3中被積函數(shù)改為計算結(jié)果如何?第11頁/共28頁例4.

求半徑為R

的均勻半球殼

的重心.解:

設(shè)的方程為利用對稱性可知重心的坐標(biāo)而用球面坐標(biāo)思考題:

例3是否可用球面坐標(biāo)計算

?第12頁/共28頁例5.計算解:取球面坐標(biāo)系,則第13頁/共28頁例6.計算其中

是球面利用對稱性可知解:

顯然球心為半徑為利用重心公式第14頁/共28頁例7.計算其中

是介于平面之間的圓柱面分析:

若將曲面分為前后(或左右)則解:

取曲面面積元素兩片,則計算較繁.第15頁/共28頁例8.

求橢圓柱面位于xOy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的側(cè)面積S.解:取第16頁/共28頁例9.

設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度

h=36000

km,運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解:建立坐標(biāo)系如圖,記覆蓋曲面的半頂角為

,利用球面坐標(biāo)系,則衛(wèi)星覆蓋面積為第17頁/共28頁故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球以上的面積,故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說明:

此題也可用二重積分求A

.第18頁/共28頁內(nèi)容小結(jié)1.定義:2.計算:設(shè)則(曲面的其他兩種情況類似)

注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、質(zhì)心公式簡化計算的技巧.第19頁/共28頁思考與練習(xí)P158題1；3；4(1);7解答提示:P158題1.P158題3.

設(shè)則P184題2第20頁/共28頁P158題4(1).

在

xOy

面上的投影域為這是

的面積!第21頁/共28頁P158題7.

如圖所示,有第22頁/共28頁P184題2.

限中的部分,則有().(2000考研)第23頁/共28頁作業(yè)

P1584(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五節(jié)第24頁/共28頁備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z=1以上部分的的面密度質(zhì)量M.解: