D微分考研數(shù)學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)1D微分考研數(shù)學(xué)的微分,定義:

若函數(shù)在點(diǎn)的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共26頁定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點(diǎn)可微,則故在點(diǎn)的可導(dǎo),且在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共26頁定理:函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是在點(diǎn)處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點(diǎn)的可導(dǎo),則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共26頁說明:時(shí),所以時(shí)很小時(shí),有近似公式與是等價(jià)無窮小,當(dāng)故當(dāng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共26頁微分的幾何意義當(dāng)很小時(shí),則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分,記作記機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共26頁例如,基本初等函數(shù)的微分公式(見P115表)又如,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共26頁二、微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共26頁例1.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共26頁例2.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例3.

在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:

上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.第9頁/共26頁數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如注意目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共26頁三、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí),使用原則:得近似等式:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共26頁特別當(dāng)很小時(shí),常用近似公式:很小)證明:令得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共26頁的近似值.解:

設(shè)取則例4.求機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共26頁的近似值.解:例5.計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共26頁例6.有一批半徑為1cm的球

,為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時(shí)體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用銅多少克.估計(jì)一下,每只球需要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共26頁四、微分在估計(jì)誤差中的應(yīng)用某量的精確值為A,其近似值為a,稱為a

的絕對(duì)誤差稱為a

的相對(duì)誤差若稱為測(cè)量

A

的絕對(duì)誤差限稱為測(cè)量

A

的相對(duì)誤差限機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共26頁誤差傳遞公式:已知測(cè)量誤差限為按公式計(jì)算

y

值時(shí)的誤差故y

的絕對(duì)誤差限約為相對(duì)誤差限約為若直接測(cè)量某量得x,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共26頁例7.

設(shè)測(cè)得圓鋼截面的直徑

測(cè)量D的

絕對(duì)誤差限欲利用公式圓鋼截面積,解:計(jì)算A

的絕對(duì)誤差限約為

A

的相對(duì)誤差限約為試估計(jì)面積的誤差.計(jì)算機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(mm)第18頁/共26頁內(nèi)容小結(jié)1.微分概念

微分的定義及幾何意義

可導(dǎo)可微2.微分運(yùn)算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計(jì)算估計(jì)誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共26頁思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標(biāo)出的點(diǎn)處的及并說明其正負(fù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共26頁2.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共26頁5.

設(shè)由方程確定,解:方程兩邊求微分,得當(dāng)時(shí)由上式得求6.設(shè)且則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁/共26頁作業(yè)P1221;3(4),(7),(8),(9),(10);4;5;8(1);

9(2);

12習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共