EMF靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題

會(huì)計(jì)學(xué)1EMF靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題靜態(tài)場(chǎng)：靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)等不隨時(shí)間變化的場(chǎng)場(chǎng)計(jì)算的兩大類問(wèn)題已知場(chǎng)量分布求與之相應(yīng)的場(chǎng)源分布已知場(chǎng)源分布求該源產(chǎn)生的場(chǎng)量分布1靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題的基本概念第1頁(yè)/共26頁(yè)

靜態(tài)場(chǎng)計(jì)算方法第2頁(yè)/共26頁(yè)在工程上常遇場(chǎng)源分布常較復(fù)雜，而且場(chǎng)域往往是由某種邊界條件限制的、形狀不一定規(guī)則的有限區(qū)域。為此，在場(chǎng)論中引入了輔助計(jì)算量—位函數(shù)。內(nèi)已知外未知邊界場(chǎng)已知數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。靜電場(chǎng)的場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解場(chǎng)域的場(chǎng)（一定邊界條件下微分方程的解）的問(wèn)題，稱為邊值問(wèn)題。第3頁(yè)/共26頁(yè)邊值問(wèn)題第4頁(yè)/共26頁(yè)邊值問(wèn)題求解方法第5頁(yè)/共26頁(yè)AnalysisofBoundary-ValueProblems第6頁(yè)/共26頁(yè)

自然邊界條件（無(wú)界空間）

周期邊界條件

銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如第7頁(yè)/共26頁(yè)靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題可以歸結(jié)為求解滿足三類邊值的泊松方程（或拉普拉斯方程）的所謂邊值問(wèn)題，它們分別稱為狄里赫利問(wèn)題，紐曼問(wèn)題和混合問(wèn)題。第一類邊值：已知場(chǎng)域邊界上位函數(shù)第二類邊值：已知場(chǎng)域邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù)（對(duì)于靜電場(chǎng)，相當(dāng)于給出了電荷在導(dǎo)體表面的面電荷分布密度。）第三類邊值：已知場(chǎng)域一部分邊界上的位函數(shù)和其余部分邊界上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)為什么說(shuō)靜電場(chǎng)第二類邊界條件與導(dǎo)體上給定電荷分布的條件是等價(jià)的？?jī)?nèi)已知第8頁(yè)/共26頁(yè)例：（第一類邊值問(wèn)題）（第三類邊值問(wèn)題）例：第9頁(yè)/共26頁(yè)對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問(wèn)題。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化。解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。靜電場(chǎng)是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無(wú)疑。由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的。第10頁(yè)/共26頁(yè)【唯一性定理】如果給定V中的電荷分布、邊界S上的電位值或其方向?qū)?shù)值或S中一部分面上給定電位值，其余部分給定電位法向?qū)?shù)值，則V中的電位唯一確定。證明：設(shè)場(chǎng)中任意一點(diǎn)有兩組解，都滿足Possion方程則電位差滿足Laplace方程電位差滿足齊次邊界條件（第一類）（第二類）（第三類）第11頁(yè)/共26頁(yè)應(yīng)用Green第一定理令：則顯然，在給定三類邊界條件中任何一類的情況下，上式的右邊都為零。左邊第一項(xiàng)也為零，得若為第一類邊界條件，在既滿足場(chǎng)域，又滿足邊界條件的情況下，C＝0。若為第二類邊界條件，當(dāng)選擇相同的電位參考點(diǎn)時(shí)，C＝0.對(duì)第三類混合邊值問(wèn)題，只要將閉合面積分寫成各部分表面的面積分之和，對(duì)每一部分采用上述的方法處理，結(jié)論相同。第12頁(yè)/共26頁(yè)唯一性定理給出了定解的充分必要條件，雖然沒(méi)有給出具體的求解方法，但對(duì)于求解有著重要的指導(dǎo)意義：【唯一性定理的指導(dǎo)意義】

一方面，我們?cè)跇?gòu)造求解方程時(shí)，可以依據(jù)唯一性定理設(shè)置必要的邊界條件；另一方面，如果我們利用某種方法獲得了解，則可以肯定解是唯一的。即使采用不同的方法獲得了不同形式的解，也可以肯定這些解是等價(jià)的。第13頁(yè)/共26頁(yè)2.鏡像法

實(shí)質(zhì):是以一個(gè)或幾個(gè)等效電荷（或電流）代替邊界的影響，將原來(lái)具有邊界的非均勻空間變成無(wú)限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過(guò)程大為簡(jiǎn)化。

依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷（或電流）的引入必須維持原來(lái)的邊界條件不變，從而保證原來(lái)區(qū)域中靜態(tài)場(chǎng)沒(méi)有改變，這是確定等效電荷（或電流）的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷（電流）通常處于鏡像位置（待求場(chǎng)域之外），因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小及其位置。

局限性：僅僅對(duì)于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷（或電流）才有可能確定其鏡像電荷。第14頁(yè)/共26頁(yè)（1）點(diǎn)電荷與無(wú)限大的導(dǎo)體平面。

介質(zhì)導(dǎo)體qrP

介質(zhì)qrPhh

介質(zhì)

以一個(gè)處于鏡像位置的點(diǎn)電荷代替邊界的影響，使整個(gè)空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即考慮到無(wú)限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得第15頁(yè)/共26頁(yè)邊值問(wèn)題：（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（S為包圍

q的閉合面）

平面導(dǎo)體的鏡像上半場(chǎng)域邊值問(wèn)題：（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）

（導(dǎo)板及無(wú)窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）第16頁(yè)/共26頁(yè)電場(chǎng)線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。由此可見(jiàn)，電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。電場(chǎng)線等位線z第17頁(yè)/共26頁(yè)電荷守恒：當(dāng)點(diǎn)電荷q

位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場(chǎng)取決于原先的點(diǎn)電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢?jiàn)，上述鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)異性的鏡像點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場(chǎng)強(qiáng)度或電位的關(guān)系證明這個(gè)結(jié)論。半空間等效：上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。第18頁(yè)/共26頁(yè)（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為【例19.1】

求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點(diǎn)電荷離地面高度為h，則

點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布第19頁(yè)/共26頁(yè)q僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角α=180°/n(n為整數(shù)）時(shí)，才可求出其鏡像電荷，鏡像電荷為2n-1個(gè)。分布在半徑為r0的圓上（r0為點(diǎn)電荷到角頂點(diǎn)的距離）。鏡像的角度為2mα±θ,m=1,2,…電荷量為±q，θ為點(diǎn)電荷與劈的一平面的夾角。/3/3q

連續(xù)分布的線電荷位于無(wú)限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。（2）導(dǎo)體劈的鏡像法第20頁(yè)/共26頁(yè)abqabqab-qab-qabq直角形導(dǎo)體平面鏡像r1r2r3r4第21頁(yè)/共26頁(yè)qq-q-qq-q鏡像電荷加在區(qū)域外只用于求區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)第22頁(yè)/共26頁(yè)（3）電介質(zhì)分界面的鏡像邊值問(wèn)題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)

點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)分界面的鏡像和第23頁(yè)/共26頁(yè)

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中的電場(chǎng)是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即點(diǎn)電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場(chǎng)圖

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