大學(xué)數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)實(shí)用

會(huì)計(jì)學(xué)1大學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)實(shí)用◆導(dǎo)數(shù)概念的物理背景——變速直線運(yùn)動(dòng)的即時(shí)速度

極限思想：令t→t0，取平均速度的極限，則可得到在t0時(shí)刻的即時(shí)速度即直觀想法：時(shí)間間隔越小，平均速度越接近即時(shí)速度。

如果質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則任意時(shí)刻的速度也就是平均速度;如果質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，該如何確定某一時(shí)刻的即時(shí)速度呢？

問題：設(shè)某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t),我們可用一段時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的位移除以所花的時(shí)間△t,得到平均速度，即第1頁/共20頁◆導(dǎo)數(shù)概念的幾何背景——曲線的切線問題問題：如右圖所示，已知曲線及曲線上的一點(diǎn)M,如何確定曲線在點(diǎn)M

處的切線？

過點(diǎn)M作曲線的割線MN，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N沿曲線向定點(diǎn)M靠攏時(shí)，割線MN則繞定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT,得到曲線在點(diǎn)M

的切線。MNTMNxyoT切線：割線的極限位置。上述過程可用極限式表示如下：第2頁/共20頁◆導(dǎo)數(shù)Derivative的概念也可記作

若這個(gè)極限不存在，則稱在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x

在x0處取得增量△x(點(diǎn)x0+△x仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y與△x之比當(dāng)△x→0的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處可導(dǎo)(derivable)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0

處的導(dǎo)數(shù)(deriva記為即在引例中有第3頁/共20頁◆導(dǎo)數(shù)定義的不同形式導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的精確描述，從數(shù)量方面刻畫了變化率的本質(zhì)差商解答第4頁/共20頁◆變化率問題設(shè)某個(gè)變量Q隨時(shí)間t的變化而變化，時(shí)刻t取值Q(t),從時(shí)刻t經(jīng)過△t時(shí)間，量Q

的改變量為量Q

的平均變化率為(1)求增量(2)求增量比(3)取極限導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限◆導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義是變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度。第5頁/共20頁◆導(dǎo)數(shù)的幾何意義MxyoT法線是過切點(diǎn)且與切線垂直的直線的切線方程為法線方程為第6頁/共20頁求導(dǎo)數(shù)步驟：(1)求增量(2)算比值(3)求極限例題設(shè)，求解所以如果將式中的定點(diǎn)x=2改為任意點(diǎn)x,則有如下結(jié)果其結(jié)果表示是x的函數(shù)，稱之為導(dǎo)函數(shù)。第7頁/共20頁若函數(shù)y=f(x)

在開區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)y=f(x)

在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，對(duì)于任意x∈I

,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為原來函數(shù)y=f(x)

的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)derivative），記作：把x0

換成x,可得或◆導(dǎo)函數(shù)的概念點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系如上例中第8頁/共20頁

◆利用定義求導(dǎo)數(shù)舉例例1

求常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解所以常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，即例2

求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。所以同理可求得解第9頁/共20頁對(duì)一般的冪函數(shù)有例3

求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解所以第10頁/共20頁例如第11頁/共20頁例4

求對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解所以特別第12頁/共20頁解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率為所以，所求切線方程為所求法線的斜率為所求法線方程為例5求雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出曲線在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。即即第13頁/共20頁◆單側(cè)導(dǎo)數(shù)

左導(dǎo)數(shù)（derivativeontheleft）

右導(dǎo)數(shù)（derivativeontheright）函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，并且相等。第14頁/共20頁例6已知解因?yàn)樗?/p>

，從而第15頁/共20頁◆函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

函數(shù)f(x)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)連續(xù)。證明設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)可導(dǎo)注意:

該定理的逆定理不成立.第16頁/共20頁例7

討論函數(shù)f(x)=|x|

在點(diǎn)x=0的連續(xù)性和可導(dǎo)性。xyO故函數(shù)f(x)=|x|

在點(diǎn)x=0連續(xù)故函數(shù)f(x)=|x|

在點(diǎn)x=0不可導(dǎo)

連續(xù)是可導(dǎo)的必要非充分條件解

函數(shù)f(x)在某點(diǎn)連續(xù)，卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。第17頁/共20頁解例8在x=0處不可導(dǎo)第18頁/共20頁例9

求曲線的通過點(diǎn)（0，－4）的切線方程解