彈塑性斷裂力學

會計學1彈塑性斷裂力學第一節(jié)彈塑性斷裂力學概述

1）線彈性斷裂力學的適用范圍（1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、巖石，及高強度鋼等材料。（2）小范圍屈服的金屬材料，可用小范圍屈服的塑性修正斷裂準則來計算。

2）實際中的問題（1）大范圍屈服：對中、低強度構件，其塑性區(qū)尺寸超過了裂紋尺寸。（低溫、厚截面和高應變速率下除外）（2）全面屈服：焊接件等由于局部應力和殘余應力的作用，使局部地區(qū)的應力超過屈服應力。第1頁/共73頁

3）彈塑性斷裂力學的提出（1）解決如何通過小試樣在全面屈服條件下斷裂韌度的測試去確定中、低強度重型構件的平面應變斷裂韌度KIC。因為用線彈性斷裂力學方法測定中、低強度鋼的斷裂韌度KIC

，不僅需用大型試件和大噸位的試驗機，而且還由于大鍛件不同部位的KIC差別很大，用大試樣所測得的KIC只是一個平均值，得不出各個具體部位的KIC值。（2）在大范圍屈服條件下，確定出能定量描述裂紋尖端區(qū)域彈塑性應力、應變場強度的參量，以便既能用理論建立起這些參量與裂紋幾何特征、外加載荷之間的關系，又易于通過實驗來測定它們，并最后建立便于工程應用的斷裂準則。第2頁/共73頁第二節(jié)COD理論1）COD定義

1961年Wells提出COD理論。COD是英文（CrackOpeningDisplaement）的縮寫，其意是“裂紋張開位移”。指裂紋體受載后，裂紋尖端垂直于裂紋方向上產生的張開量，就稱主裂紋（尖端）張開位移，通常用δ表示。但是由于裂紋尖端的鈍化，很難確切地指出原裂紋尖端的位置，因而亦難確定裂紋尖端的張開位移。第3頁/共73頁

目前，有人用2AB作為理解紋張開位移（從變形后的裂紋頂端測量）；有人用2CD作為裂紋張開位移（在D點測量，D為線彈性的直線與非線性的曲線的交點）；有人用2EF作為裂紋張開位移（從裂紋尖端作450線與裂紋面相交處F的分離的大?。?/p>

裂紋張開位移的定義

第4頁/共73頁

2）COD判據(jù)

Wells認為；當裂紋張開位移δ達到材料的臨界值δC時，裂紋即發(fā)生失穩(wěn)擴展，這就是彈塑性斷裂的COD準則，表示為：

δ=δC（1）

δC是材料彈塑性斷裂的韌性指標，是一個不隨試件尺寸改變的材料常數(shù)。對于COD準則，要解決三個方面的問題：（a）找出裂紋尖端張開位移δ與裂紋幾何尺寸、外加載荷之間的關系式，即δ的計算公式。（2）實驗測定材料的裂紋張開位移的臨界值δC

。（3）COD準則的工程應用。第5頁/共73頁3）Irwin小范圍屈服條件下的COD

在討論小范圍屈服的塑性區(qū)修正時，曾引入有效裂紋長度的概念，這意味著為考慮塑性區(qū)的影響假想地把原裂紋O移至O’，。這樣一來當以假想的有效裂紋尖端點作為“裂尖”時，原裂紋點O發(fā)生了張開位移，這個位移就是張開位移，簡稱為COD，簡寫為δ

。

第6頁/共73頁

由平面應力條件下的位移公式并代入推演得：當以O’點為裂尖時，O點處(即，)，沿y方向的張開位移則為：此即為Irwin提出的小范圍屈服下的COD計算公式。式中σs為材料的屈服極限，GI為裂紋擴展能量釋放率。（2）（3）第7頁/共73頁

4）D-B帶狀塑性區(qū)模型的COD

Dugdale通過拉伸試驗，提出裂紋尖端塑性區(qū)呈現(xiàn)尖劈帶狀特征的假設，從而得到一個類似于Barrenblett的模型。該模型稱為D-B模型，這是一個對小范屈服和大范圍屈服都適用的模型，可以用來處理含中心穿透裂紋的無限大薄板在均勻拉伸應力作用下的彈塑性斷裂問題。

（1）D-B模型假設：裂紋尖端的塑性區(qū)沿裂紋線兩邊延伸呈尖劈帶狀；塑性區(qū)的材料為理想塑性狀態(tài)，整個裂紋和塑性區(qū)周圍仍為廣大的彈性區(qū)所包圍；塑性區(qū)與彈性區(qū)交界面上作用有均勻分布的屈服應力σs

。

第8頁/共73頁

于是，可以認為模型在遠場均勻拉應力σ作用下裂紋長度從2a延長到2c，塑性區(qū)尺寸R=c-a，當以帶狀塑性區(qū)尖端點c為“裂尖”點時，原裂紋（2a）的端點的張開量就是裂紋尖端張開位移。第9頁/共73頁

（2）帶狀塑性區(qū)的大小R

假想地把塑性區(qū)挖去，在彈性區(qū)與塑性區(qū)界面上加上均勻拉應力σs

，于是得到如圖2b所示的裂紋長度為2c，在遠場應力σ和界面應力σs作用下的線彈性問題。此時裂紋尖端點c的應力強度因子應由兩部分組成：一是由遠場均勻拉應力σ產生的，另一個是由塑性區(qū)部位的“裂紋表面”所作用的均勻應力σs所產生的：從而有：（4）第10頁/共73頁

由于c點是塑性區(qū)的端點，應無奇性，故其=0，于是代入式（4）得由于塑性區(qū)尺寸R=c-a

，將式（5）代入并化簡得若將按級數(shù)展開，則當較小時，（5）（6）第11頁/共73頁

代入式（6），得R的近似表達式為：考慮到無限大平板有中心穿透裂紋時，，有：將式（8）與Irwin小范圍屈服下平面應力的塑性區(qū)尺寸比較，可見D-B模型的塑性區(qū)尺寸稍大一些。（7）（8）第12頁/共73頁

（3）δ的計算公式經計算可得：由式（9）可見，D-B模型不適用于全面屈服（即σ=σs

）的情況。有限元計算表明，對小范圍屈服或大范圍屈服，當σ/σs≤0.6時，按式（9）所作的預測是令人滿意的。

D-B模型是一個無限大板含中心穿透裂紋的平面應力模型。由于它消除了裂紋尖端點的奇異性，實質上是一個線彈性化的模型。因此，當塑性區(qū)較小時，COD參量δ與線彈性參量K之間存在一致性。由式（9），將函數(shù)展開為冪級數(shù)得：（9）第13頁/共73頁

當σ/σs

＜＜0.6，即小范圍屈服時，可只取首項，故有因為，所以有：式（11）表示在小范圍屈服條件下裂尖張開位移δ與KI、GI之間的關系。該結果與Irwin有效裂紋模型所得的結果式（3）比較，可見它們的形式相同，只是系數(shù)稍有差別。**適用條件：(1)針對平面應力情況下的無限大平板含中心穿透裂紋進行討論的；(2)引入了“彈性”化假設后，使計算分析比較簡單，適用于σ/σs≤0.6的情況；（3）在塑性區(qū)內假設材料為理想塑性，實際上一般金屬材料存在加工硬化，硬化材料的塑性區(qū)形狀可能不是窄條形的。（11）（10）第14頁/共73頁

4)全面屈服條件下的COD

在工程結構或壓力容器中，一些管道或焊接部件的高應力集中區(qū)及殘余應力區(qū)中往往發(fā)生短裂紋。由于這些區(qū)域內的應力達到甚至超過材料的屈服點，故使裂紋處于塑性區(qū)包圍之中，這就是所謂的全面屈服。對于全面屈服情況，載荷的微小變化都會引起應變和COD的很大變化，故在大應變情況下，已不宜用應力作用斷裂分析的依據(jù)，而需要尋求裂尖張開位移δ與應變e、裂紋幾何和材料性能之間的關系，即引入應變這一物理量。由含中心穿透裂紋的寬板拉伸試驗，可繪出無量鋼COD即與標稱應變之間的關系曲線。第15頁/共73頁

其中es是相應于材料屈服點σs的屈服應變，a是裂紋尺寸，標稱應變e是指一標長下的平均應變，通常兩個標點取在通過裂紋中心而與裂紋垂直的線上。由圖可以看出，實驗數(shù)據(jù)構成一個較寬的分散帶。實際應用時，為偏于安全，曾提出如下經驗設計曲線作為裂紋容限和合理選材的計算依據(jù)。第16頁/共73頁

Wells（12）

Burdekin

（13）

JWES2805標準：或（14）第17頁/共73頁

1984年，我國壓力容器缺陷評定規(guī)范編制組制定了壓力容器缺陷評定規(guī)范（CVDA）：

下圖畫出了幾種設計曲線的比較圖形。由圖可見，CVDA曲線在0≤e/es≤0.5范圍內與Burdekn曲線相同；在0≤e/es≤1.5范圍內比Burdekn曲線偏于保守，有較高的安全裕度；而在1.5<e/es<8.76范圍內則比JWES2805設計曲線偏于保守，但比其余的設計曲線可有較小的安全裕度。（15）第18頁/共73頁第19頁/共73頁

5）COD準則的工程應用

COD準則主要用于韌性較好的中、低強度鋼，特別是壓力容器和管道。考慮到壓力容器壁中的“鼓脹效應”及容器多為表面裂紋和深埋裂紋，故將平板穿透裂紋的斷裂力學公式用于壓力容器和管道時，還需進行一些修正。（a）“鼓脹效應”壓力容器曲面上的穿透裂紋，由于器壁受有內壓力，將使裂紋向外鼓脹，而在裂紋端部產生附加彎矩。附加彎矩的附加應力與原工作應力迭加，使有效作用增大，故按平板公式進行δ計算時，應在工作應力中引入鼓脹系數(shù)M，用Mσ代替σ

。第20頁/共73頁

M系數(shù)與裂紋長度2a、容器半徑R和壁厚t有關：

（16）其中β為1.61（圓筒軸向裂紋）；0.32（圓筒徑向裂紋）；1.93（球形容器裂紋）。（b）裂紋長度修正壓力容器上的表面裂紋或深埋裂紋應換算為等效穿透裂紋。非貫穿裂紋：KI=α

σ(πa*)1/2=σ[π(αa*)2]1/2

，其中α為裂紋形狀因子。無限大板中心穿透裂紋：KI=σ（πa*）1/2

按等效原則，令非貫穿裂紋的等于無限大板中心穿透裂紋的，則等效穿透裂紋長度為：a*=α2a

（17）第21頁/共73頁

（c）材料加工硬化修正考慮材料的加工硬化修正，可用流變應力σf代替屈服點，對于σs=200~400MPa的低碳鋼，一般?。?/p>

σf=0.5（σs+σb）(18)

式中σb為材料的抗拉強度。綜上所述修正，D-B模型的δ計算公式（10）變?yōu)椋?/p>

(19)

6）臨界的實驗測定裂紋張開位移COD的臨界值δc是COD準則的一個重要參量。它和KIC一樣，是材料韌性好壞的量度，可以通過試驗測定。第22頁/共73頁

COD試驗方法適用于線彈性斷裂力學失敗的延性斷裂情況，可以認為是KIC試驗的延伸。因此，試驗的許多具體方法沿用了KIC試驗的有關規(guī)定。譬如利用同樣的夾式引伸儀和載荷傳感器來獲得載荷-位移曲線。但由于COD試驗又具有本身的一些特點。

(1)試樣尺寸

實踐表明，δc可以用小型三點彎曲試樣在全面屈服下通過間接方法測出。由于COD不要求試樣滿足平面應變的條件，因此，規(guī)定試樣的厚度B一般等于被測材料的厚度（即所謂全厚度），寬度W及裂紋長度a有如下規(guī)定:第23頁/共73頁

W=B，a=(0.25~0.35)W

W=1.2B，a=(0.35~0.45)W

W=2B，a=(0.45~0.55)W

S=4W第24頁/共73頁

(2)δ的表達式由實驗直接準確地測量出裂紋尖端張開位移是困難的，目前均利用三點彎曲試樣的變形幾何關系，由測得的裂紋嘴的張開位移V去推算求出裂紋尖端的張開位移δ

。為此必須建立δ與V之間關系式。第25頁/共73頁

三點彎曲試樣受力彎曲時，滑移線場理論分析表明，裂紋尖端塑性變形引起的滑移線對稱平分缺口夾角2θ的平面，試樣的變形可視為繞某中心的剛體轉動。該中心點（圖中的C點）到裂紋尖端的距離為r（W-a），r為轉動因子。利用相似三角形的比例關系容易寫出：

故（20）式中，z為刃口的厚度。

對彈塑性情況，δ可由彈性的δe和塑性的δp兩部分組成，即：第26頁/共73頁

式中，δe為對應于載荷P的裂紋尖端彈性張開位移，其計算公式參見式（20）為：

δp是韌帶塑性變形所產生的裂紋尖端性張開位移，由式（29）有：將式（22）、（24）代入式（21）得平面應變狀態(tài)下δ的計算公式：（21）

（平面應力）（22）

（平面應變）（23）

（24）第27頁/共73頁

式中，轉動因子r在韌帶屈服后，一般取為0.45，也可由實驗標定。Vp為位移的塑性分量。KI為對應于載荷P的應力強度因子：（34）

其中第28頁/共73頁

（3）臨界點的確定實驗得到的P-V曲線大致分為三類：（a）第一類P~V曲線：位移V隨載荷P增大而增大，直到發(fā)生失穩(wěn)斷裂（圖a），發(fā)生斷裂前沒有明顯的亞臨界擴展，快速失穩(wěn)斷裂點即為臨界點，此時，最大載荷Pmax即為臨界載荷Pc，相應的臨界位移為Vc。將Pc及Vc的塑性分量Vcp代入式（34）就可算出臨界值δc

。（b）第二類P~V曲線：試驗過程中，P~V曲線由于裂紋“突進”而出現(xiàn)平臺，之后又逐漸上升，直至斷裂（圖b）。這時取“突進”點作為臨界點，由“突進”點的載荷Pc和Vc位移的塑性分量計算δc值。（c）第三類P~V曲線：載荷通過最高點后連續(xù)下降而位移不斷增大，或載荷達到最大值后一直保持恒定而出現(xiàn)相當長的平臺（圖c）。這兩種情況都由于裂紋產生亞臨界擴展，而不能從P~V圖直接判定臨界點。

第29頁/共73頁

由于臨界點應該是啟裂點，需要借助電位法、電阻法、聲發(fā)射法或氧化發(fā)藍等方法來確定啟裂點，然后，由啟裂點所對應的載荷Pi及Vi和位移的塑性分量Vp來計算δc值。第30頁/共73頁

**電位法：在試樣兩端加一恒值穩(wěn)定電流I，并在裂紋兩側焊上電位測頭。試驗時，用夾式引伸儀測量試樣施力點位移△。同時測量裂紋兩側電位E的變化，用X-Y函數(shù)記錄儀自動測繪E-△曲線，當裂紋擴展時，電位差迅速增大，故根據(jù)E~△曲線的突變，可確定啟裂點。**電阻法：測定啟裂點的原理與電位法相似，只是它測量的是裂紋兩側電阻R的變化。**聲發(fā)射法：試樣裂紋啟裂時發(fā)出的聲發(fā)射信號經探頭感受后，由前置放大器再經聲發(fā)射測度儀主體放大和選樣，將聲發(fā)射率S輸入X-Y記錄儀，同時輸入施力點位移△信號，從而可繪出S-△曲線。因聲發(fā)射率峰值較多，一般采用聲發(fā)射法與電位法聯(lián)合確定啟裂點。第31頁/共73頁用電位法確定啟裂點第32頁/共73頁第33頁/共73頁

**氧化發(fā)藍法：可用來確定加載到P~△曲線不同位置時裂紋的擴展量，從而確定啟裂點。當加載到P~△曲線上某點處卸載取下試樣，在空氣介質中加熱氧化到呈藍色，然后冷卻。壓斷試樣后，斷口如上圖所示。由于預制疲勞裂紋的表面光滑，氧化膜顏色較淺，而試驗中，裂紋擴展的表面比較粗糙，氧化膜顏色較深，故通過金相顯微鏡觀察很容易測出裂紋的擴展量。當觀察到的裂紋擴展量似乎為零或由不同的擴展量外推到零點對應于啟裂點。第34頁/共73頁第三節(jié)J積分理論

COD參量的測定方法簡單，但用它所得到的一些經驗公式能有效地解決工程實際問題，在中、低強度鋼焊接結構和壓力容器斷裂分析中得到廣泛的應用，但它不是一個直接而嚴密的裂紋尖端彈塑性應力應變場的表征參量。因此，Rice于1968年提出了J積分的概念。J積分是一個定義明確，理論嚴密的應力應變場，又容易通過實驗來測定。

J積分的概念已用于發(fā)電工業(yè)，特別是核動力裝置中材料的斷裂準則。第35頁/共73頁

（1）J積分的回路積分定義及其守恒性

(a)J積分的回路積分定義對二維問題，Rice提出J積分的回路積分由下述表達式來定義：式中，Γ為圍繞裂紋尖端任一反時針回路，起始端位于裂紋下表面，末端終于裂紋上表面；W為回路上任一點（x，y）的應變能密度；Ti為回路上任一點（x，y）處的應力分量；ui為回路上任一點（x，y）處的位移分量；ds為回路上Γ的弧元。

J積分是一個與積分回路無關的常數(shù)，即具有守恒性，即J積分像線彈性問題中的K因子一樣，反映了裂紋尖端的某種力學特性或應力應變場強度。（1）

第36頁/共73頁第37頁/共73頁（b）J積分的守恒性設分別有兩個積分回路Γ和?！琂積分的守恒性就意味著有下列恒等式：如果取任一閉合回路c，它由Γ、?！约傲鸭y自由表面組成（即回路ABDECA），又注意到在裂紋面BD和CA上，Ti=0和dxz=0，以及DEC與Γ’的方向相反，閉合回路內無裂紋或小孔，則式（2）恒等式可改寫為：（2）

（3）

第38頁/共73頁

設n1，n2為弧元ds的外法線的方向余弦，即：

Γ上微弧元的三角形體元的力的平衡條件：**式（3）左端第二項積分為：利用格林公式：（5）

（4）

（6）

（7）

第39頁/共73頁

將式（7）的圍線積分化為面積分，整理后得：平面問題不計體力時，有平衡微分方程：又，代入式（8），則其右端積分號內的前兩項為零，于是：（8）

（9）

第40頁/共73頁

小應變條件下的幾何關系為：代入式（10）得：（10）

（11）

（12）

第41頁/共73頁

**式（3）左端的第一項積分，同樣應用Green積分變換則可得：

式中，應變能密度，在全量理論單調加載下：

于是式（13）變?yōu)椋菏剑?2）與式（15）相等，即證明了在滿足不計體力式（9），小應變式（11）以及單調加載式（14）條件時，J積分的路徑無關性得到了嚴格的證明，即J積分的回路積分具有守恒性。（14）

（13）

（15）

第42頁/共73頁

（2）J積分與裂紋尖端的應力應變場在線彈性情況下，裂紋尖端區(qū)域應力應變的漸近表達式為：式中，，分別應力分量和應變分量的角因子。由式（16）可見，裂紋尖端區(qū)域的應力應變場由KI唯一確定，在裂紋尖端應力、應變都具有的奇異性，KI正是這種奇異性強弱的反映。在彈塑性情況下，Rice、Rosengren、Hutchinson對冪硬化材料根據(jù)塑性全量理論，證明了J積分決定著裂尖彈塑性應力應變場的強度，也具有奇導性，是描述裂尖彈塑性應力應變場的有效參量。應力應變的漸近表達式為：（16）

第43頁/共73頁

式中，A為材料有關的常數(shù)，N是材料的冪硬指數(shù)，In是N的函數(shù)（），當0<N<1時，其誤差小于2%，與為角因子，是θ和N的無量綱函數(shù)?？梢钥闯鍪剑?7）與（16）在形式上十分一致，其中J與KI相當。這表明在彈塑性狀態(tài)下，可以用J作為參量建立斷裂準則：其中，JIC是平面應變條件下J積分的臨界值。由于J積分的守恒性只在簡單加載條件下才能成立，不允許有卸載，因此，不允許裂紋發(fā)生亞臨界擴展，斷裂準則為啟裂準則。（17）

（18）

第44頁/共73頁

**HRR奇異性

取裂紋尖端為圓心，半徑為r的圓周作為積分回路Γ，則，，，代入式（1）得：由于J積分的守恒性（J=常量），上式在不同的r值下均能成立。故r

→0，上式左邊有1/r的奇異性，因而右邊也必須有這種奇異性。但在右邊被積函數(shù)的所有項都是的齊次型，因而應具有下述特性：

因此，我們有理由取和的奇異性主項為：（21）

（19）

（20）

→當r

→0

時，

第45頁/共73頁

代入式（20），比較r的冪次后得：

對冪硬化材料有下述應力應變關系：

式中，為等效應力，為等效塑性應變，A為材料常數(shù)，N為硬化指數(shù)。將式（21）代入式（23），并比較r的冪次有：

聯(lián)立求解式（23）、（24）得：

這就有明應力具有，應變具有的奇異性。當材料服從用下表示的純冪乘應力-應變關系時：（24）

（25）

（22）

（23）

第46頁/共73頁

式中，和分別表示材料的屈服應變和屈服應力，n為材料的冪硬指數(shù)（n=1/N），α為材料的冪硬系數(shù)。則式（17）可寫成更一般的形式：（26）

第47頁/共73頁

（3）J積分與能量釋放率G的關系對于線彈體，J積分守恒成立的幾個前提條件（不計體力，小應變，單調加載）都是自然具備的。用J積分描述的應力應變奇異性（HRR奇異性），當n=1（即線彈性體）時也均反映為。因此，J積分理論可以用來分析線彈性平面裂紋問題。由J積分的回路分定義式（1），線彈性平面應變條件下，應變能密度：將I型裂紋尖端區(qū)域的應力分量代入并化簡后得：（27）

第48頁/共73頁*若取裂紋尖端為中心，r為半徑的圓周作為積分回路Γ，并考慮式（27），則可求出式（1）的第一項積分為：**由（5）式及I型裂紋的位移表達式：（28）

第49頁/共73頁

代入到式（1）的第二項積分，并應用坐標變換的微分關系：，經化簡后得：將式（28）及式（29）代入式（1）可得：平面應力狀態(tài)下E’=E。

式（30）表示在線彈性狀態(tài)下，J積分與應力強度因子KI以及裂紋擴展能量釋放率GI之間的關系?？梢?，在線彈性狀態(tài)下，J=JIC仍然適用，而且與K準則，G準則完全等效。

（29）

（30）

第50頁/共73頁

（4）J積分與COD的關系（a）小范圍屈服在平面應力條件下，Irwin提出的小范圍屈服下的COD計算公式為：由（30）式：于是得：（b）D-B帶狀塑性區(qū)模型

D-B模型是一個彈性化的模型，帶狀塑性區(qū)為廣大彈性區(qū)所包圍，滿足了積分守恒的諸條件。

（32）

（31）

或第51頁/共73頁

若取帶狀塑性區(qū)邊界ABD作為積分回路Γ，由于路徑AB和BD均平行于x1軸，故dx2=0，而ds=dx1。作用于路徑上的Ti

，在AB上為T2=σs，在BD上為T2=-σs

。路徑上的位移分量ui，只有方向x2的v，代入式（1）得：

如果考慮材料在塑性區(qū)內的加工硬化，其中的流變應力比σs要大，再考慮裂紋前緣并非處于理想的平面應力狀態(tài)，一般應對應（33）加以修正（33）

（34）

第52頁/共73頁

式中，k稱為COD減小因子，其值與試樣塑性變形的程度以及裂紋前緣的應力狀態(tài)有關，一般取k=1.1~2.0。第53頁/共73頁(c)按HRR奇異場解導出J與δ的關系

Rice建議用下圖所示兩條從裂紋頂端發(fā)射的45°線定義與裂紋表面交點處的張開位移定義為δt。第54頁/共73頁

由式（26）的HRR解，取u1=ux，u2=uy

，令θ=π有:

由變形后的情況及δt的定義:

將式（35）代入式（36），并記；

（35）

（36）

第55頁/共73頁

求得:

將上述r代入式（35）的uy中，其中得:

上式中:

式（38）、（39）適用于平面應力與平面應變兩種情況，但其相應的dn值不同。

（38）

（39）

（37）

第56頁/共73頁(5)J積分的形變功率定義由式（30），在線彈性范圍內，J=GI，即:

式中，Π為單位厚度試樣的位能；U為單位厚度試樣的應變能。式（40）表明積分與試樣加載過程中具有的位能變化率有關，這直接把積分與外加載荷及施力點位移聯(lián)系起來。

Rice經過繁瑣的分析指出，對于非線性彈性體二維試樣，式（40）仍然成立。（40）

第57頁/共73頁

但應用于彈塑性體時必須注意兩個問題：（a）塑性變性是不可逆的，裂紋擴展將意味著局部卸載，故不能理解為裂紋擴展的能量釋放率，而是具相同幾何外形，在相同外載和邊界約束下，具有裂紋長度為a和a+da的兩個試樣單位厚度的位能差率。（b）必須限于單調加載和小應變條件。其證明如下：對彈性（線性或非線性）二維物體，其單位厚度的總位能:（41）

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式中，U是單位厚度應變能，W是應變能密度，C是物體的邊界，D是物體的面積。下圖的兩個二維彈性體，它們的差別只是裂紋長度相差Δa。為便于分析，先研究帶圓弧切口的二維彈性體，顯然，當切口圓弧半徑趨于零時，彈性體就成為二維裂紋體了。由圖可見，物體圖b比物體圖a少了塊長度為ΔD的陰影面，相應的切口頂端邊界記為Γt

。于是a、b兩物體單位厚度應變能之差為:

ΔU=Ub-Ua

其中，D為物體b的面積，為物體a中任意一點的應變能密度。,為物體b中任一點的應變能密度，為物體b中相應于物體a中同一點處應變分量的增量，于是:第59頁/共73頁第60頁/共73頁

因為ΔD=Δx2*Δa

，又Δa很小，可以認為ΔD在中W沿x1方向無變化，從而從（42）右端的第二項可表示為:

為證明(40)式,取將(43)式代入(42),再代入(44)中得:（42）

（43）

（44）

（45）

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上式右端的第二項積分，因為在Γt上，Ti=0，故可改寫為:

式（45）右端的第一項積分，因為彈性體有，由式（12），并且da沿dx1方向，故有:

將式（47）、（46）代入式（45）得:（46）

（47）

→第62頁/共73頁(a)恒載荷情況兩個裂紋長相差da的物體下端作用有恒力P。裂紋長為a的物體其施力點位移為Δ1，而裂紋長為a+da的物體則有位移Δ2

。單調加載過程中畫出P~Δ曲線如圖a所示。外力功W=P

Δ，應變能，即P~Δ曲線下的面積；位能，U*為P~Δ曲線與縱軸所圍成的面積，稱為余能。因此，裂紋長度a和a+da的兩條P~Δ曲線所圍成的面積OABO就應該反映它們的位能差率，于是有：（48）

第63頁/共73頁第64頁/共73頁(b)恒位移情況裂紋體在外力作用下產生位移Δ后，固定兩端形成恒位移條件。由于裂紋長度不同，a和a+da的兩物體產生相同的位移Δ所需要的力也不同，分別為P1和P2

。此時外力功為W=0，故位能Π等于應變能U

。兩物體的位能差率仍由面積OABO所決定。從而有：當物體的厚度B≠1時，有：恒載荷下：恒位移下：實驗中，式（51）常被用來計算J積分。式中U是應變能或稱形變功，它是P~Δ曲線下的面積。（49）

（51）

（50）

第65頁/共73頁6）J積分臨界值JIC的測定