專題圓周運動臨界

第四章專題：圓周運動的臨界問題水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題水平面內(nèi)圓周運動的臨界極值問題通常有兩類，一類是與摩擦力有關(guān)的臨界問題，一類是與彈力有關(guān)的臨界問題。與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達到最大靜摩擦力，如果只是摩擦mv2力提供向心力，則有Fm=―廠，靜摩擦力的方向一定指向圓心；如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連物體，其中一個在水平面上做圓周運動時，存在一個恰不向內(nèi)滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。例題1、如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，當物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直(繩上張力為零).物塊和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是其正壓力的n倍.求：當轉(zhuǎn)盤的角速度氣":號時，細繩的拉力F1；當轉(zhuǎn)盤的角速度""萼時，細繩的拉力匕?3’【鞏固訓練】1如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的圓盤上，沿半徑方向放置以細線相連的質(zhì)量均為m的A、B兩個小物塊，A離軸心r1=20cm,B離軸心匕=30cm,A、B與盤面間相互作用的最大靜摩擦力為其重力的0.4倍.求：若細線上沒有張力，圓盤轉(zhuǎn)動的角速度刃應滿足什么條件？欲使A、B與盤面間不發(fā)生相對滑動，則盤轉(zhuǎn)動的 |I-最大角速度多大？當圓盤轉(zhuǎn)速達到A、B剛好不滑動時，燒斷細繩， ，一一一/則A、B將怎樣運動？(g取10m/s2)與彈力有關(guān)的臨界極值問題壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零；繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。例題2、如圖所示，在光滑的圓錐體頂端用長為l的細線懸掛一質(zhì)量為m的小球.圓錐體固定在水平面上不動，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為30.小球以速度v繞圓錐體軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運動.當七二上(?時，求線對小球的拉力；當匕二\考時，求線對小球的拉力.【鞏固訓練】2.鐵軌轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的.彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)、外軌高度差h的設計不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上的行駛速率.下表是鐵路設計人員技術(shù)手冊中彎道半徑r及與之對應的軌道的高度差h.已知h?二33。鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內(nèi)、外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國鐵路內(nèi)、外軌的間距設計值為l=1435mm，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，算出我國火車的轉(zhuǎn)彎速率v(以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)；路軌傾角很小時，正弦值按正切值處理)；(2)隨著人們生活節(jié)奏加快，對交通運輸?shù)目旖萏岢隽烁叩囊?為了提高運輸能力，國家對鐵路不斷進行提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高.請根據(jù)上述計算原理和上述表格分析提速時應采取怎樣的有效措施.二豎直平面內(nèi)圓周運動的“輕繩、輕桿”模型1.“輕繩”模型和“輕桿”模型不同的原因在于“輕繩”只能對小球產(chǎn)生拉力，而“輕桿”既可對小球產(chǎn)生拉力也可對小球產(chǎn)生支持力。2有關(guān)臨界問題出現(xiàn)在變速圓周運動中，豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速圓周運動，一般情況下，只討論最高點和最低點的情況。見資料。例題3、現(xiàn)有一根長L=1m的輕繩，其一端固定于O點，另一端系著質(zhì)量m=0.5kg的小球(可視為質(zhì)點)，將小球提至O點正上方的A點處，此時繩剛好伸直且無張力，如圖所示.不計空氣阻力，g取10m/s2，則：(1)為保證小球能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動，在A點至少應施加給小球多大的水平速度？⑵在小球以速度v1=4m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多少？在小球以速度v2=1m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大??；若無張力，試求繩子再次伸直時所經(jīng)歷的時間.

【鞏固訓練】3如圖所示，橋面為圓弧形的立交橋AB,橫跨在水平路面上，橋高h,長為L=10h.可以認為橋的兩端A、B與水平路面的連接處是平滑的.一輛質(zhì)量為m的小汽車沖上圓弧形的立交橋，到達橋頂時的速度為十導.重力加速度為g。試計算：小汽車在橋頂處對橋面的壓力的大??；_若小車在橋頂處的速度為*'頑<v公商時，小車過項后將如何運動？訓練題1.(多選)如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用細線相連的質(zhì)量均為m的兩個物體A和B,它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為RA=r,RB=2r，與盤間的動摩擦因數(shù)《相同，當圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是()A此時繩子張力為3?mgB.此時圓盤的角速度為C.此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外

D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運動2.如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度刃轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體［二?..與盤面間的動摩擦因數(shù)為乎（設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），盤面/3站與水平面的夾角為30°,g取10m/s2。則刃的最大值是（）A.-、'5rad/s Ba;3rad/sC.1.0rad/s D.0.5rad/s.如圖所示，兩個半徑均為R的甲、乙大環(huán)，都在豎直平面內(nèi)，甲環(huán)是粗糙的，乙環(huán)是光滑的，兩個大環(huán)上套有相同的小環(huán)，讓甲環(huán)繞圓心0在豎直平面內(nèi)做沿逆時針方向的勻速圓周運動，甲環(huán)與小環(huán)的動摩擦因數(shù)為心小環(huán)相對大環(huán)靜止的位置與大環(huán)圓心的連線與過圓心豎直線成一定角度；現(xiàn)讓乙環(huán)繞過圓心的豎直軸做勻速圓周運動，結(jié)果小環(huán)相對大環(huán)靜止的位置與圓心的連線與豎直軸所成角度與甲環(huán)中小環(huán)的情況相同，則乙環(huán)轉(zhuǎn)動的角速度為 （）.用一根細線一端系一可視為質(zhì)點的小球，另一端固定在一光滑錐頂上，如圖所示,設小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動的角速度為啊線的張力為F,則F隨⑦2變化的圖象是下圖中的（）V2BV2B?大于《2gD.等于2R第四章專題：圓周運動的臨界問

題.（多選）半徑為R的圓桶固定在小車上，有一光滑小球靜止在圓桶的最低點，如圖所示，小車以速度v向右勻速運動，當小車遇到障礙物突然停止時，小球在圓桶中上升的高度可能是（）V2A.等于廠2g例題1、解析：設角速度為饑時，物塊所受靜摩擦力為最大靜摩擦力，有?mg二m/2「得偵*祟外故繩未拉緊，此時靜摩擦力未達到最大值，F(xiàn)得偵*祟外故繩未拉緊，此時靜摩擦力未達到最大值，F(xiàn)1=0.⑵由于氣二\y~2T>%故繩被拉緊，由F2+?mg=m嚀1得F2=2?mg.【鞏固訓練】1解析：(1)當物塊B所需向心力九瓦時，細線上張力為零，隨著角速度的增大，當F=f時，有kmg二m/2匚，得kg 0.4x10 40氣二匚頑二^=3.6(rad/s).當rn<rnQ=3.6rad/s時，細線上不會有張力.當A、B所受靜摩擦力均達到最大靜摩擦力時，圓盤的角速度達到最大值刃皿，超過氣時，A、B將相對圓盤滑動.(設細線中張力為FAB.) '對A有kmg-FAB次m?r1，解得刃m對B有kmg+F=m^m-r2解得刃m2kg ，2x0.4x10r1+r^ 0.20+0.30=4'0(rad/s)'燒斷細線時，A做圓周運動所需向心力FA=m^2r1=3.2m，最大靜摩擦力為4m，A物體隨盤一起轉(zhuǎn)動.B此時所需向心力為FB=m/2[=4.8m，大于它的最大靜摩擦力4m，因此B物體將沿一條曲線運動，離圓心越來越遠.例題2、解析:如圖甲所示，小球在錐面上運動，當支持力Fn=0時，小球只受重力mg和線的拉力Ft的作用，其合力F應沿水平面指向軸線，由幾何關(guān)系知TOC\o"1-5"\h\zF二mgtan30° ①\o"CurrentDocument"V2 V2⑴因為v1<v0,所以小球與錐面接觸并產(chǎn)生支持力Fn，mv⑴因為v1<v0,所以小球與錐面接觸并產(chǎn)生支持力Fn，mv2 1—lsin30°此時小球受力如圖乙所示.根據(jù)③牛頓第二定律有FTsin30°-FNcos30°=④mg~1.03mgFTcos30°+FNsin30④mg~1.03mg1+3、.;'3由③④兩式解得F= 廠T 6⑵因為v2>v。，所以小球與錐面脫離并不接觸，設此時線與豎直方向的夾角為a，小球mv2 _受力如圖丙所示.則FTsina=j—"a ⑤Fcosa-mg=0 ⑥由⑤⑥兩式解得FT=2mg【鞏固訓練】2.【解析】(1) ■.轉(zhuǎn)彎中，當內(nèi)、外軌對車輪沒有側(cè)向壓力時，火車的受力情.Li

V2況如圖所示.由牛頓第二定律得mgtanO=mr因為6彳艮小，有tan%sin9=j得v=W半代入數(shù)據(jù)得v=15m/s=54km/h.（2）有效措施有：①適當增大內(nèi)外軌的高度差h;②適當增大鐵路彎道的軌道半徑r.例題3、解析（1）小球做圓周運動的臨界條件為重力剛好提供最高點時小球做圓周運動的向心力，即mg二mf，解得V。二寸頁二寸10m/s. 洛蘆弋.一TOC\o"1-5"\h\z_. V2 \⑵因為vi>vo，故繩中有張力.根據(jù)牛頓第二定律有FT+mg=m[， \代入數(shù)據(jù)得繩中張力Ft=3N. X--\-（3）因為v2<vo，故繩中無張力，小球?qū)⒆銎綊佭\動，其運動軌跡如圖 ‘_ 1中實線所示，有L2=（y-L）2+x2，x=v2t，y^gt2，代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解 ..一二…:得t=0.6s.【鞏固訓練】3解析：⑴設圓弧半徑為R，由幾何關(guān)系得R2=[-12+（R-h）2......（2分）12）解得R=】3h（1分）小汽車通過橋頂時做圓周運動，豎直方向受重力mg，支持力N的作用，V2根據(jù)牛頓第二定律，有mg―N=m—......（2分）R,,8mg,,8mg解得N=~Tf（1