第四章沖量與角動量

質(zhì)點動力學(xué)---沖量、動量與角impulseMomentumandAngular本章研究力在時間上的累積力在時間上的累積平動沖量，改變轉(zhuǎn)動沖量矩，改變角

航空航天大1質(zhì)點動力學(xué)---沖量、動量與角impulseMomentumandAngular本本部分三、質(zhì)點系動量守恒六、變質(zhì)量動力學(xué)

航空航天大總 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa1、質(zhì)點沖量(impulse)定義:作用在質(zhì)點上的外力dIdIF元沖量t1—t2時間內(nèi),外力作用在質(zhì)點上的沖量為 tIt

F航空航天大 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa2

tIt

F矢量性:沖量是一矢量,其方向和力方向相同,對應(yīng)性:沖量和力是對應(yīng)的沖量的計算航空航天大 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa當(dāng)力為恒力

I

rttrt當(dāng)力為變力,用分量算當(dāng)力作用時間很短,用中值定理有航空航天大 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofarrr3、質(zhì)點動量(momentum)定義4、討

Pm矢量性:動量是矢量,方向與速度相同動量是動力學(xué)狀態(tài)量:動量與速度對應(yīng)動量的計算：用分量算航空航天大 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofarr推

由牛

dF mvd

ddIdIFdtrrr---動量定理(微分形式rrItrFdtPPmvrrrr212mv1---動量定理(積分形式航空航天大學(xué) 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa t

討

It

FdtP2P1mv2mv矢量性和I~P計算: 定理是矢量式,沖量方向與Ixmvx2Iymvy2Izmvz2mvz1

注:沖量與動量的增量對應(yīng),

航空航天大例例一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa I~P計算:常用動量定理計算

Imv2I~P計算:動量定理方便于算平均沖 ，跳t2等F平均沖力F

F tt2t 不僅適用于宏觀物體的機械運且適用于分子原子及其它微觀粒子例航空航天大例

例 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa動量的相對性與 t

m It

FdtP2

v2mv問:質(zhì)點動量定理是否因慣性系選擇不同而不同或動量定理是否在任何慣性系都成立答：不會！這可從以下兩點來說明間接說明:因力是客觀的,不因坐標(biāo)系選擇不同而不同,時間是絕對時空觀,故左邊航空航天大 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa直接說明

tIt

Fdt1

mv mv說明:速度的相對性因兩矢量相加而消掉,故動量的改變量不因坐標(biāo)系選擇不同而不同,與坐標(biāo)選擇無關(guān),故動量定理在任何慣性系中都成但要求物理量在同一慣性參照系中跳應(yīng)航空航天跳應(yīng) 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa例1：臺高y0小球質(zhì)量,人以/行走,人同一方向0/水平拋出,球落地后重新跳起,到最大高度y0/時,相對地水平v0/2,求:球與地碰撞過程,小球所受的垂直沖量。答：選球(質(zhì)量不變)為對象,如圖選航空航天大 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa注:速度量必須相對同一參照系,若同時取相對人的速度,結(jié)果一樣(負(fù)號表示Ix和v0或x反向航空航天大 返 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa例2、小球以v在環(huán)內(nèi)作勻速圓周運動,已知R、m,環(huán)固定在光滑水平面內(nèi),求:小球從A點運動解：法一：用沖量定義QvRdRdt 航空航天大 一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa法二：用質(zhì)點動量定理

航空航天大學(xué)返返返返一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa例3：已知:籃球質(zhì)量m=0.58kg,從h=2.0m高度下落,到達地面后,以同樣速率反彈,觸地時間=0.019s,求:地面所受到的平均沖力。解：籃球到達地面的速率為

沖力方向籃球觸地前后動量改變大小 P 地對

返守返航空航返守返一、沖量、動量和質(zhì)點動量定(impulse,Momentumandtheoremofmomentumofa動量定理的應(yīng)用逆風(fēng)行舟原理首航空航天大首 二、質(zhì)點系動量定r(theoremofmometumofasystemofr1對質(zhì)點系Fi為第i個質(zhì)點受,第j個質(zhì)點的內(nèi)力r對第i個質(zhì)點

(Fifij)dtd j 對質(zhì)點系

(Fifij)dtd由牛三

fij ji

j 0(fij)dt j航空航天大學(xué) 二、質(zhì)點系動量定(theoremofmometumofasystemof 令：FiFPir r IrF外dtrP或rFd則得──質(zhì)點系動量定理(微分形式 t2 積分得：I外t F外dtP2P1──質(zhì)點系動量定理(積分形式航空航天大學(xué) 二、質(zhì)點系動量定(theoremofmometumofasystemof t

2

I外

F外dt

P1P含義:系統(tǒng)所受合外力總沖量系統(tǒng)總動量的增量,質(zhì)點系動量定理處理問題可避開內(nèi)力,較方便。矢量性和I~P計算質(zhì)點系動量定理是矢量式,計算可用分:動量的相對性與質(zhì)點系動量定理的不變航空航天大

二、質(zhì)點系動量定(theoremofmometumofasystemof例4、料斗以每秒2噸流量為運動車箱裝砂,若不計其它阻力,欲使車箱保持速度v=10m/s不變,求:需加多大外力F?解:選砂+車箱為系統(tǒng),t時刻:車質(zhì)量M(含砂),速度v,動量Mv;t+t時刻:由質(zhì)點系動量定 IFt(MM)vMvMvr

r210

10r

210

r0(N t

航空航天大 二、質(zhì)點系動量定(theoremofmometumofasystemof例5:如圖,光滑水平面上的三個質(zhì)點用的柔軟輕繩相連并拉直,沿m2m3方向的沖量Im1m2m3系統(tǒng)由動量定理分量式1Im11cosm22cos 10m11sinm22

繩不可伸長:2cos 2cos()聯(lián)立解得

Im2m2(m1m2m3)m1m3sin2首航空航天大首例-5-動量定 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles1、推

t

I外

F外dt

P2P1P由質(zhì)點系動量定理:在一過程中,若質(zhì)點系所受合外 I0則P2P1或P常矢----質(zhì)點系的動量守恒航空航天大 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles t 2

I外

F外dt

P2動量守恒條件:當(dāng)系統(tǒng)合外力=零時(不是合外力沖量=0),系統(tǒng)總動量守恒,因動量守恒是對整個過程,影響系統(tǒng)總動量的改變僅僅是外力內(nèi)力只影響構(gòu)成系統(tǒng)的各個質(zhì)點的動量分配動量定理及動量守恒定律只適用于航空航天大 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles守恒方程是矢量式若系統(tǒng)總動量不守恒,系統(tǒng)某方向上合外力=零,則該方向上分動量守恒在一些實際問題中,當(dāng)外力<<內(nèi)力,它在宏微觀領(lǐng)域、低高速范圍均適用,是關(guān)于

航空航天大

例 例 例 例 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles桌面上運動,A動量為PA=P0-bt(P0,b為常數(shù)),求:(1)解：因A+B系統(tǒng)在水平面內(nèi)無外力,故水平方向動量守恒：PA+PB=t=0時 PB0= PA0=P0-b*0=故有PBPA0-PAP0-(P0-btb PA0=P0+b*0=故有PBPAP0+b航空航天大 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles例7、船質(zhì)量M,長L,一量m,起初人和船都靜止,當(dāng)人由船尾走到船頭時,求:人和船分別相解：人+船系統(tǒng),水平方向外水平方向動量守恒:0mv人地Mv船m(v'人船v船地Mv船地航空航天大 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticlesv船地 v'人 t dtt

t t 船

mMt x

m mM

行走方向 x人地L人船x船地 M返航空航天大返 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles例8、物塊A質(zhì)量M,放于光滑斜面C上,C固定,A由靜止從頂點下滑L距離到達B點時,有一,質(zhì)量m,以水平速度v0射入A物塊并陷入其中,求:射入物塊后兩者解：第一過程:由頂點B第二過程 與物A相碰,對m+M系統(tǒng)航空航天大 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles實際是斜面方向的返航空航天大返 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles花板上,m=10克,以速度v0=500m/s,水平射穿物體,穿出時速度大小v=30m/s,設(shè)時間極短,求:(1)剛穿出時繩中張力,(2)在過程中所受沖量解:(1)對m+M系統(tǒng),在x方向合外力=0,水平方向動量守恒mv00mvmMvm(vv)3.13(m/ 航空航天大 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles( 時間極短),選M對象，用牛vMQTMgMM MLM 26.5(NL) ImFtmvmimv0i4.7i負(fù)號表示Im和v0

航空航天大 三、質(zhì)點系動量守恒(lawofconservationofmomentumofasystemofparticles平動(translation):質(zhì)點動量定理及動量守恒定律---基于力的時間累積力的沖量)研究:相同兩球組成的質(zhì)點系,兩說明僅用動量描述物體機械運動是不夠的,轉(zhuǎn)動(Rotation):質(zhì)點角動量(定理)及角動量守恒定律---基于力矩的時間累積效應(yīng)(力矩的沖量,即沖量矩)。航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa1、有心力圓周 解決方法：牛頓運動定律(瞬時對應(yīng)性)沖量矩和角動量(累積效應(yīng))航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofao2、力矩(回顧Torque,o定：

Mr)為一矢量,計算用叉乘力矩：為力F對固定點O航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa3、角動量(動量矩angularmomentum定義:t時刻,質(zhì)點m對定O的矢徑為r,動量為P=mv則t時刻,質(zhì)點m對定點O的角動量定義為 理解

LrPr(mv角動量為一矢量,計算用叉乘L大小L=rPsin=rmvsin,L單位:航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa:如：質(zhì)點作勻速率圓周運動時角動量的大小和方向均不變L=mvR,方向如圖,它是相對對比:同一質(zhì)點具有同一動量,所以在說明質(zhì)點角動量時,必須

航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa例10、如圖質(zhì)量m的質(zhì)點,以速度v沿一與原點相距b的直線(位于xo平面,)運動,求:質(zhì)點對o。r如,根據(jù)r定 Lr

P

mLmvrsink可見:沿直線運動的質(zhì)點對不在此直線上的點仍航空航天大

回例 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa例11、火箭質(zhì)量105g以500/s速率沿水平x方向飛行,它的高度y=10k,距地面原點的水平距求:。解

Lmvxyk5航空航天大例11-計 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa動,求:(1)此擺所受的對鉸鏈的力矩,(2)此擺對鉸解:(1)因擺所受力為rM[rmgsin2rmgsin(450)] Mrmg(2sincos)

方向y向,航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa r

QLrmvrL(rmvAsin900 2rmvBsin900)QvArvB

rL3mr

ddt

方向向紙里,即y航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa4、質(zhì)點角動量(theoremofangularmometumofa航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa Md

Mdtd---質(zhì)點角動量定理微分若力矩作用一段有限時間(t1t2),則沖量

t MdtL2L

t---質(zhì)點角動量定理積分航空航天大四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofat

MdtL

L1含義：質(zhì)點所受沖量矩等于質(zhì)點角動量的增量,式中力矩是質(zhì)點所受合外力矩。沖量矩方向和角動量的增量方向相同,航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofatttt Mdt2r1ttrFrttrFrr外dt21動量來學(xué)習(xí)動量來學(xué)習(xí)rPLrPr

r

t0Fdtt

t0t質(zhì)點角動量定理只適用于慣性系航空航天大學(xué) 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa5、質(zhì)點角動量守恒（lawofconservationofangularmomentumofaparticle推導(dǎo)

t2 MdtL2由角動量定理,若質(zhì)點所受合力矩為零,則質(zhì)點的角動量不隨時間改變,即若M0,則若M0,則L2L1或L常矢量──質(zhì)點角動量守恒航空航天大 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofat

MdtL2L角動量守恒條件:當(dāng)質(zhì)點合外力矩=零時(不是合外沖量矩 FrM

F過O點有心力(中心力但在此只討論定軸轉(zhuǎn)應(yīng)用范圍:角動量守恒律是物理學(xué)的基本定律之一,在宏微觀領(lǐng)域、低高速范圍均適用。

航空航天大

四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa應(yīng)用:僅受中心力作用的質(zhì)點對力心的角動量守恒即L=mvrsin=const.---說明行星不會掉 勒第一定律(幾何平面定律 勒第二定律(面積定理):由 勒第三定律(對1,2定律的補充):航空航天大 例1(吳百詩P214~215例6.11~62四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa例13:已知m0MR(以地球為參考系,小行星或飛行器離地球b較近).求:行星的俘獲截面Sb2。mbmRb

b

m,M系統(tǒng)機械能守恒 1

1

02

2

首首bbR1R02

航空航天大

例

回 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa例14:將現(xiàn)在的質(zhì)量記為M0,地球園軌道半徑記為R0,角速度記為0,經(jīng)一年輻射,質(zhì)量損耗記為M(M<<M0),地球軌道仍近似為園,求:一年后地球軌半徑R和角速度,答案中不可含題文未給出的物理常解:由牛二

m2R

M R

2GM0R0

(MM

(MM

m2RG 2G R R RL

mR2mR2

R 代入(2)

0)

(M0M)

2R 0R

R航空航天大

G(M0M 四、質(zhì)點角動量(定理和守恒定律（angularmomentumofa2R M R0(1 G(M0M)(M0M M(5)代入

(M0M)

)2(12 MMM MMM 2GM

(3)

R (4) RRR RR0

G(M0M航空航天大 五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-1、質(zhì)心位置2、幾種系統(tǒng)的3、質(zhì)心運動定理(theoremofmotionofcenterof質(zhì)心系質(zhì)點系的復(fù)雜運質(zhì)心系的基本首航空航天大首 五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-rrc rrc mmr質(zhì)心位置直角坐標(biāo)表示

航空航天大

五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-2、幾種系統(tǒng)的兩質(zhì)點質(zhì)心位置滿足：m1r1m2 連續(xù) rC xx yy zz 均勻桿、圓盤(環(huán))和球的質(zhì)心是其幾何中航空航天大

五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of- m

注意

rc m

m1r1=m2對確定的系統(tǒng),質(zhì)心位置只決定于質(zhì)點系的質(zhì)坐標(biāo)系選取不同所求質(zhì)心坐標(biāo)的數(shù)值不同,但質(zhì)心相對質(zhì)點系的位置是不變的.質(zhì)心處不一定真的有質(zhì)點存在質(zhì)心和重心是兩個不同的概念,只有小線度物體(g的質(zhì)心和重心(點)

航空航天大 五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-例15:從半徑R的均質(zhì)圓盤上挖掉一半徑r的小圓盤,兩圓盤中心O和O’相距d,且(d+r)<R,求:挖將該系統(tǒng)視為挖掉兩小圓盤剩余部分和虛小圓盤的組合c2rc2R2rxCdxCd(R/r)2航空航天大

五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-3、質(zhì)心運動定理(質(zhì)心動量變化定理

r

dmvcrmvcrrvcmiri/dtmr mmmvcmivii說明:質(zhì)點系的總動量等于該質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積,即等于質(zhì)心動量。航空航天大

五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of- dP 由牛

系 (mv)

macFdtFdtrdr即質(zhì)點系質(zhì)心的運動,可看成一個質(zhì)點的即質(zhì)點系質(zhì)心的運動,可看成一個質(zhì)點的運動,航空航天大 F質(zhì)點系質(zhì)心的運動狀態(tài)完全決定于質(zhì)點系所 的焰火等)。由質(zhì)心運動定理知 特殊情況為

當(dāng)F外mvc航空航天大 五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-質(zhì)心在此質(zhì)心系質(zhì)心系定義:固質(zhì)心在此質(zhì)心系問：質(zhì)心系一定是慣性系嗎 答：質(zhì)心系不一定是慣性系

F它是相對一個慣性系作平動的參考系問：質(zhì)心系何時是慣答：只有合外力=0時質(zhì)心系才是慣性系--兩體問題航空航天大 各質(zhì)點相對于質(zhì)心的運動五、質(zhì)心、質(zhì)各質(zhì)點相對于質(zhì)心的運動（centerofmass、theoremofmotionof質(zhì)點系的復(fù)雜運動的質(zhì)點系復(fù)雜運動常用質(zhì)心系質(zhì)點系運動質(zhì)心運動＋相對質(zhì)心的后者是質(zhì)點系運動質(zhì)心運動＋相對質(zhì)心的這樣處理問題較方便,在討論天體運動及碰撞等問題時常用航空航天大 五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-如圖:兩粒子碰撞。系統(tǒng)只有兩個質(zhì)點,系統(tǒng)總動量=質(zhì)心動mvcmvcrr系mvcrr 故兩粒子在質(zhì)心系中總是具有相反回航空航天大學(xué)回 五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-質(zhì)心系的基本r因系統(tǒng)總動量=質(zhì)心動量 Pr)故質(zhì)心系中系統(tǒng)總動r)

mvr系'

mivi'(mi

vc'回回

航空航天大

五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-例16、船質(zhì)量M,長L,一量m,起初人和船都靜止,當(dāng)人由船尾走到船頭時,求:人和船分別相人+船系統(tǒng),水平方向外力=零水平方向質(zhì)心速度不變—質(zhì)心xmx人地

m

船mmx人地

船 )

船 人 人航空航天大 五、質(zhì)心、質(zhì)心運動（centerofmass、theoremofmotionofcenter-of-QM 船

船地

x人地Mxmxx船地

mM

行走方向x人地L

x船地

mM回航空航天大回 六、變質(zhì)量動力學(xué)變質(zhì)量動力學(xué)一般分兩類一類是相對論中給出的物體質(zhì)量隨運動速度一類是物體運動時有部分質(zhì)量從物體中分離出去或并入進來.在此簡單介紹第二類,且以火箭為航空航天大 六、變質(zhì)量動力學(xué)現(xiàn)代火箭理論的奠基人 科學(xué)家齊奧爾科夫斯r火箭 利用質(zhì)點系動量定理和動量守恒定律研究火箭運動的基本原理--火箭質(zhì)量在改變 :(t+dt)時刻:火箭質(zhì)量m+dm[注:dm可正可負(fù)],速 噴射速度是u’,若選火箭為動參系,則 地面的速度為u=(v+dv)-u’---動量可求航空航天大 六、變質(zhì)量動力學(xué)質(zhì)點系動量定理:dt時間內(nèi),外力(不計阻力,外力只有重力的沖量等于系統(tǒng)(火箭+噴出 )動量的增量,即-mgdt=[(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u’)]- -mgdt=mdv+ –mg=mdv/dt+所以火箭受到的推力為F=ma=mdv/dt=-mg- (1)(1)式說明:火箭欲得到向上推力,則dm/dt<0,即火 航空航天大 六、變質(zhì)量動力學(xué)火箭在高空沿水平飛行時:選ox向右,設(shè):t時刻,火箭質(zhì)量m,速度v,動量mv;(t+dt)時刻,火箭質(zhì)量m+dm,速度v+dv,噴出燃料質(zhì)量-dm,相對火箭噴速u’,若選火箭為動參系,則對地面速度u=(v+dvu’質(zhì)點系動量守恒:不計阻力,火箭受重量沖量方0dt=(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v+dv-u’)-mdv+積分得：v= 航空航天大 六、變質(zhì)量動力學(xué)v= 式說明:火箭最高速度取決于噴射速度Qmdv+所以火箭受到的推力為F=ma=mdv/dt=- 式說明:在高空沿水平飛行的火箭,欲獲得向前推力,則dm/dt<0,即火箭必須不斷向后噴出燃料,跳航空航天大跳

六、變質(zhì)量動力學(xué)例17：設(shè)火箭質(zhì)量m=105kg,相對火箭噴射速度u’=3103m/s,求:為得到向上(前)2mg推力,火箭至少每秒需噴出多少kg的？解：火箭受到向上的推力為F=ma=mdv/dt=-mg- 2mg=-mg-dm/dt=-3mg/u’=-1103航空航天大 六、變質(zhì)量動力學(xué)火箭受到向前的推力為F=ma=mdv/dt=- 2mg=-dm/dt=-2mg/u’=-2/3103航空航天大 六、變質(zhì)量動力學(xué)碰撞碰撞:兩物在運動中相互接觸或靠近時,在相對碰撞過程一般分為三種 彈性碰撞:碰撞系統(tǒng)動量守恒和能量(動能)守恒非彈性碰撞:碰后物體分開,碰撞系統(tǒng)動量守恒,:航空航天大

首 六、變質(zhì)量動力學(xué)彈弓效應(yīng)：土星質(zhì)量M,以相對