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文檔簡介
會計學1大學文科數學數理統(tǒng)計文科數學§5
數理統(tǒng)計1996年,美國學者D.Vchida,M.J.Cetron,F.Mckenjie發(fā)表了一篇論文:“學生必須掌握哪些知識和技能才能在21世紀立于不敗之地”,該文提到:運用數學、邏輯和推理的技能;熟練的讀寫能力以及了解統(tǒng)計學此處的統(tǒng)計學,就是指“研究以及解釋和運用數據的能力”的學科。介紹數理統(tǒng)計中的兩個最基本問題的主要思想。第1頁/共36頁文科數學1、藥效問題
某地區(qū)豬患某種病的概率是0.25,且每頭豬患病與否與其他豬無關。今研制了一種新的預防藥,選用12頭豬作實驗,結果這12頭豬服用了此種藥后均未患病,問此藥是否有效?一、假設檢驗問題
分析:取樣12頭豬,服藥后均未患病,據此判斷藥是否有效。直觀認為:藥一定有效。(豬確實沒有生病嘛?。┳屑毞治觯嚎赡艽嬖趩栴}?。ù蟛糠重i不服藥也不會患病,患病概率僅為0.25)12頭豬都未患病未必是藥的作用!第2頁/共36頁文科數學自然想法:(類似于反證法)若這事件發(fā)生的概率很小,即這件事幾乎不會發(fā)生,若藥無效,12頭豬均未患病的可能性有多大?那么它的發(fā)生應歸于藥的效果。在“藥無效”的假設下,12頭豬均未患病的概率為P{12頭豬均未患病}這是小概率事件,即這件事幾乎不會發(fā)生(理論上)?!?/p>
但它恰是我們取樣的結果,即它實際發(fā)生了,說明假設錯誤,從而否定“藥無效”的假設,即認為藥有效。第3頁/共36頁文科數學結論
由于小概率事件(即幾乎不會發(fā)生的事件)發(fā)生了,從而否定原先的假設“藥無效”?!?/p>
概率很小的事件并非絕對不可能發(fā)生:所以據此否定“藥無效”這一命題,也有可能會犯錯誤,{12頭豬均未患病}發(fā)生的概率為0.032犯錯誤的概率為0.032。所以該問題的確切表述應為:有1-0.032=0.968的概率認為“藥有效”進一步討論第4頁/共36頁文科數學2、產品檢驗問題180個產品包成一包,若每包產品中次品數不超過8個就認為這包產品合格?,F有一買主挑選了一包,從中任取4個產品,發(fā)現其中有2個次品,問該包產品是否合格?
分析:取樣4個產品,發(fā)現有2個是次品,據此判斷這包產品是否合格。(即能否由此判斷180個產品里次品數不超過8個)第5頁/共36頁文科數學仔細分析先假設這包產品中有8個次品,172個正品,即這包則從中任取4個恰取到k
個次品的概率為合格,具體結果如下
可見:任取4個產品,其中次品數多于1個的概率不到1%(0.0097+0.0002+0.0000=0.0099)。k01234pk0.83240.15760.00970.00020.0000第6頁/共36頁文科數學
想象:若這包產品中次品數比8個還少,則任取4個產品,其中次品數多于1個的概率就會更小。
所以:若這包產品合格,即次品數不超過8個,則“任取4個產品,次品數多于1個”是小概率事件,不應發(fā)生。結論:取到2個次品,否定“這包產品合格”。有99%的把握認為這包產品不合格
可見:任取4個產品,其中次品數多于1個的概率不到1%(0.0097+0.0002+0.0000=0.0099)。仔細分析第7頁/共36頁文科數學假設檢驗問題
要判斷的命題稱為“統(tǒng)計假設”或“假設”;
判斷命題正確與否的做法稱為“檢驗”;
這類問題稱為“假設檢驗”。如:要判斷“本地農戶平均收入超過5000元”,“肺癌與吸煙無關”等如:“小概率事件在一次試驗中不應該發(fā)生”等數理統(tǒng)計中的兩類基本問題之一
特性:否定與肯定“假設”都會犯錯誤,此由隨機現象本性所決定,不可避免??刂品稿e誤的概率!第8頁/共36頁文科數學3、骰子的均勻性
在賭博中,判斷骰子是否均勻(即每面向上的概率是否都為1/6)是非常重要的。
試驗:一枚骰子擲了次,其中1點出現了次。問題簡化:考慮“1點向上”的概率是否為1/6。據此判斷“1點出現的概率為1/6”這一假設是否成立分析:由試驗,“1點出現”的頻率為該頻率與1/6相差極小,是否可以認為假設成立?第9頁/共36頁文科數學誤差0.0000333…如何解釋?現令:X為擲次骰子時1點出現的次數,還是骰子本身均勻,該誤差僅是合理的隨機誤差?則
X的概率分布為由骰子不均勻引起?其中p為每次投擲時1點出現的概率。若“1點出現的概率為1/6”這一假設成立,即仔細分析p=1/6,則上式變?yōu)榈?0頁/共36頁文科數學實際情況:1點出現了次,而計算可知:對于均勻骰子來講是不可能發(fā)生的(概率不足百萬分之一)。此外:1點出現的頻率X/n
與1/6的差應滿足因此:否定“1點出現的概率為1/6”這一假設。第11頁/共36頁文科數學即頻率X/n
與1/6的差不應超過但實際差距是0.0000333…,與0.0000008相比太大概率不足百萬分之一的事件發(fā)生了,從而否定“1點出現的概率為1/6”這一假設了,第12頁/共36頁文科數學1、概率分布的估計為了估計某個事件A的概率p,二、估計問題作n次試驗(觀察),看看A發(fā)生了幾次。設A恰好發(fā)生了k
次,則可用頻率
作為事件A
事件發(fā)生概率的估計的概率p
的估計值。顯然,n越大,該估計越好!第13頁/共36頁文科數學
離散型概率分布的估計
例如:估計某商店周日上午8點至12點間每分鐘到達的顧客數X
的分布。X
可能的取值為0,1,2,…,只需對任意數k,估計進行試驗:觀測了20個周日的數據,共4800分鐘,記錄下每分鐘到達的顧客數(4800個數據)。設到達k
個顧客的分鐘數為tk令則X
的概率分布為用頻率估計概率!第14頁/共36頁文科數學2、參數的估計估計問題是建立數學模型中不可缺少的部分。任何模型,包括確定性模型總有待定的參數,需要通過對實際問題的觀測(試驗)來確定。由于觀測(試驗)具有誤差,觀測值具有隨機性,從而得不到精確結論。
因此我們不說“求”概率p,“求”參數a,而說“估計”p,“估計”a。目標:估計均值、方差等參數。例如:估計森林的木材儲量等。首要問題:估計的方法!第15頁/共36頁文科數學
例如:估計某地區(qū)農戶的平均收入(農戶收入的均值a)。試驗:隨機地抽取n戶,收入分別為方法1:用平均收入來估計整個地區(qū)農戶的平均收入a。方法2:去掉一個最高值及一個最低值再求平均來估計整個地區(qū)農戶的平均收入a。第16頁/共36頁文科數學
不同估計方法的實質就是的不同函數,稱其為估計量。
一旦做了試驗,抽取了數據,針對要估計的量(參數),首先要找出估計的方法(估計量)。一般而言,要找一個“合理”的估計方法并不容易,而且估計方法的尋找依賴于實際問題的背景。說明:“估計”有確切含義!
之所以稱為“估計”,不是因為精度差,不準確!而是強調了估計量是一個隨機變量,因為討論的基礎是一組隨機數據。(形象的稱為“數據加工的函數”)這種使用“樣本值函數”估計的方法稱為矩估計法。第17頁/共36頁文科數學例1、汽車產量的估計
早期情報人員曾通過觀察敵方城市中汽車牌照號碼來估計其汽車產量。為簡單起見,設汽車牌照號碼是按自然順序1開始排列的?,F把號碼,例如03402,看成是一個小數,即0.03402,把號碼對應于區(qū)間(0,1)中的一個數。所有汽車中的最大號碼(恰是汽車的產量)對應于區(qū)間(0,1)中未知的參數θ?,F隨機地在城市中觀測n個汽車號碼,它們對應于區(qū)間(0,θ)中的n個數。
問:如何用這n個數對參數θ
作出估計?第18頁/共36頁文科數學方法1:由于觀測的隨機性,可認為在區(qū)間(0,θ)內“均勻”地分布著,故可用它們的平均值估計區(qū)間(0,θ)的中點,從而用估計θ。例1、汽車產量的估計第19頁/共36頁文科數學方法2:把(0,θ)分成了n+1個小區(qū)間,當的長度估計,在區(qū)間(0,θ)內“均勻”分布時,每個小區(qū)間長度相差不大,都和近似。故可以用某一區(qū)間的長度,例如最左邊的小區(qū)間即用例1、汽車產量的估計來估計θ。第20頁/共36頁文科數學長度并不完全相等,是左邊n個小區(qū)間的長度無論選擇哪個來估計都不夠“精確”,為此考慮它們的“平均長度”。由于我們用來估計每個小區(qū)例1、汽車產量的估計方法3:把(0,θ)分成了n+1個小區(qū)間,之和,間的長度,即用來估計θ。第21頁/共36頁文科數學例2、敏感性問題調查
在社會調查用頻率估計概率時,有些敏感的問題人們往往不愿意如實回答。如“你考試時作過弊嗎?”,“你在超市偷拿過商品嗎?”。由于不能直接得到概率p的估計,通常是估計一個和p有關的量,然后算出p的估計?;貞浝?所用方法。對敏感性問題的調查,有一種巧妙的隨機應答方法(S.L.Wamer,1965)。第22頁/共36頁文科數學
方法:要求被調查者在兩個問題中隨機地選一個回答(只回答“是”或“不是”),而不必告訴別人他回答的是哪一個問題,其中一個問題是要調查的敏感問題,另一個是無關緊要的問題。
例如:設敏感問題是“你考試作過弊嗎?”,另一問題是“你出生的年份最后一位數是偶數嗎?”。
做法:讓被調查者擲一枚硬幣(別人看不到),出現正面時回答前一個問題,否則回答后一個問題,具體回答哪一個問題只有他本人知道。下面做具體分析。例2、敏感性問題調查第23頁/共36頁文科數學
假設對200人做了調查,其中58人回答“是”。由于硬幣的均勻性:可以估計約100人回答了第2個問題,另100人回答了第1個問題。又出生年份最后一位是偶數與奇數的機會相同:回答第2個問題的100人中約有50個人回答“是”。從而:回答第1個問題的100人中約有58-50=8人回答了“是”,即“考試中作過弊”的人約占。具體分析例2、敏感性問題調查第24頁/共36頁文科數學
方法的實質:知道回答第1個問題的人的概率(擲硬幣試驗),(當然并不要求概率一定是1/2,如拋骰子試驗)也知道第2個問題回答“是”的概率(數的奇偶性),(也不要求概率一定是1/2)從而可以給出p的估計。例2、敏感性問題調查第25頁/共36頁文科數學
將例2中第2個問題改為“你的生日是1月份嗎?”,把硬幣改為骰子,當擲出1點或2點時回答第2個問題,否則回答第1個問題。若調查了900人有72人回答“是”,試給出p
的估計。
例習分析:p1=1/12,p2=1/3回答問題2:900×1/3=300回答問題1:900×2/3=600回答問題2“是”:300×1/12=25回答問題1“是”:72-25=47p≈47/600第26頁/共36頁文科數學例3、湖中魚數的估計
湖中魚數N未知,今捕上M條魚,作上記號后均勻地放回湖中,再捕上n條,若其中k條有記號,試估計湖中魚數N。
方法1:由于有記號的魚已均勻地分布在湖中,有記號的魚在湖中占的比例應和第二次捕的魚中占的比例近似,即故用估計N(取最近的正整數)。第27頁/共36頁文科數學
方法2:當有記號的魚在湖中均勻地分布時P{捕n條魚中有k條有記號}?為什么第二次捕n條魚時,恰好捕到了k條有記號的魚呢?可以認為這件事發(fā)生的概率很大!所以對N的估計應該使上述概率達到極大!考慮例3、湖中魚數的估計第28頁/共36頁文科數學P{捕n條魚中有k條有記號}可見:當,即當,即從而使f(N)達到極大的N的估計值應滿足與方法1所得結果一致。第29頁/共36頁文科數學極大似然思想:
做了一次試驗,結果事件A發(fā)生了,則參數的選?。垂烙嫞故录嗀
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