云南省大理市云龍中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

云南省大理市云龍中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知,那么復(fù)數(shù)在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限參考答案：A

解析：2.函數(shù)的最小正周期為，且．當(dāng)時(shí)，那么在區(qū)間上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A. B. C. D.參考答案：D3.（04年全國卷III）在中，，則邊上的高為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：答案：B4.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為增函數(shù)的是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A5.把函數(shù)的圖象適當(dāng)變化就可以得的圖象，這個(gè)變化可以是（

）A．沿軸方向向右平移

B．沿軸方向向左平移C．沿軸方向向右平移

D．沿軸方向向左平移參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．L4

【答案解析】C

解析：∵函數(shù)=sin（3x﹣）=sin3（x﹣），∴把函數(shù)的圖象沿x軸方向向右平移個(gè)單位，可得的圖象，故選：C．【思路點(diǎn)撥】由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．6.等邊三角形ABC中，AB=2，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上運(yùn)動(dòng)，若，則EF長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C．1 D．參考答案：A【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】利用正弦定理、三角形的面積公式求得AE?AF=，再利用余弦定理、基本不等式，求得EF長(zhǎng)度的最小值．【解答】解：等邊三角形ABC中，若==，∴AE?AF=．由余弦定理可得EF2=AE2+AF2﹣2AE?AF?cos60°=AE2+AF2﹣AE?AF≥2AE?AF﹣AE?AF=AE?AF=，即EF2≥，∴EF≥=，當(dāng)且僅當(dāng)AE=AF時(shí)，取等號(hào)，故EF長(zhǎng)度的最小值為．故選：A．7.已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，則圖中的陰影部分所表示的集合等于()A．{－1,2}

B．{－1,0}C．{0,1}

D．{1,2}參考答案：A8.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．(－∞,2]

B．(－∞,1]

C．

D．參考答案：C9.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則的值為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則的解析式為 A． B． C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若＜＜0，且，則的最小值是

．參考答案：-16；12.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,則

．參考答案：15略13.在△ABC中，P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若||=2，則?（+）的最小值為．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由已知中△ABC中，P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若||=2，我們易將?（+）轉(zhuǎn)化為2（||﹣1）2﹣2的形式，然后根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，得到答案．【解答】解：∵AM為△ABC的中線，故M為BC的中點(diǎn)則+=2=+則?（+）=（+）?2=22+2?=2||2﹣4||=2（||﹣1）2﹣2當(dāng)||=1時(shí)，?（+）的最小值為﹣2故答案為：﹣214.已知x、y為正實(shí)數(shù)，且的最小值是

.參考答案：答案：915.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則

參考答案：116.已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____．參考答案：【分析】先利用導(dǎo)數(shù)刻畫時(shí)的圖像，再畫出當(dāng)時(shí)的圖像，考慮函數(shù)的圖像（動(dòng)直線）與圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，所以根據(jù)周期為1可得時(shí)的圖像，故的圖像如圖所示：函數(shù)的圖像恒過，因?yàn)榕c的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故，又，故，，所以，填.【點(diǎn)睛】方程的解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)去討論，兩個(gè)函數(shù)最好一個(gè)不含參數(shù)，另一個(gè)為含參數(shù)的常見函數(shù)（最好是一次函數(shù)），刻畫不含參數(shù)的函數(shù)圖像需要用導(dǎo)數(shù)等工具刻畫其單調(diào)性、極值等，還需要利用函數(shù)的奇偶性、周期性等把圖像歸結(jié)為局部圖像的平移或翻折等.17.是第四象限角，，則___________________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列的首項(xiàng)其中，令集合.（I）若是數(shù)列中首次為1的項(xiàng)，請(qǐng)寫出所有這樣數(shù)列的前三項(xiàng)；（II）求證：；（III）當(dāng)時(shí)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值.參考答案：解：（I）27,9,3；8,9,3；6,2,3.

（II）若被3除余1，則由已知可得,；若被3除余2,則由已知可得,,；若被3除余0，則由已知可得,；所以，所以所以，對(duì)于數(shù)列中的任意一項(xiàng)，“若，則”.因?yàn)?，所?所以數(shù)列中必存在某一項(xiàng)（否則會(huì)與上述結(jié)論矛盾！）若,則；若,則,若,則,由遞推關(guān)系易得.

（III）集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為21.由已知遞推關(guān)系可推得數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，總有成立，其中.下面考慮當(dāng)時(shí)，數(shù)列中大于3的各項(xiàng)：按逆序排列各項(xiàng)，構(gòu)成的數(shù)列記為，由（I）可得或9，由（II）的證明過程可知數(shù)列的項(xiàng)滿足：，且當(dāng)是3的倍數(shù)時(shí)，若使最小，需使，所以，滿足最小的數(shù)列中，或7，且，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為或的公比為3的等比數(shù)列，所以或，即或，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，的最大值是6，所以，所以集合重元素個(gè)數(shù)的最大值為21.略19.已知函數(shù)的圖像過原點(diǎn)，且在處的切線為直線（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．參考答案：略20.已知實(shí)數(shù)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求函數(shù)的最小值．參考答案：（Ⅰ）因?yàn)?，利用柯西不等式，得，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ），函?shù)，所以函數(shù)的最小值為25，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．21.如圖，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=2AD=2AA1=4，CD=1．（Ⅰ）證明：BD1⊥平面A1C1D；（Ⅱ）求多面體BDC1A1D1的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）連接AD1，B1D1，由已知可得A1D⊥AD1，再由AB⊥平面ADD1，得AB⊥A1D，由此可得A1D⊥平面ABD1，即A1D⊥BD1，在平面A1C1B1內(nèi)，通過解直角三角形可得A1C1⊥B1D1，即BB1⊥平面A1C1B1，進(jìn)一步得到BB1⊥A1C1，再由線面垂直的判定可得BD1⊥平面A1C1D；（Ⅱ）多面體BDC1A1D1可看作是有公共底面DA1C1的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成的組合體，求出△A1DC1的面積S，由（Ⅰ）知，BD1⊥面A1DC1，然后由棱錐體積公式求得多面體BDC1A1D1的體積．【解答】（Ⅰ）證明：連接AD1，B1D1，∵AA1D1D是正方形，∴A1D⊥AD1，又∵AB⊥平面ADD1，A1D?平面ADD1，∴AB⊥A1D．因此，A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1，又在平面A1C1B1內(nèi)，Rt△C1D1A1∽R(shí)t△B1A1D1，∴∠D1A1C1+∠A1D1B1=∠D1A1C1+∠D1C1A1=90°，即A1C1⊥B1D1．又BB1⊥平面A1C1B1，A1C1?平面A1C1B1，∴BB1⊥A1C1，因此，A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，又A1D∩A1C1=A1，∴BD1⊥平面A1C1D；（Ⅱ）解：多面體BDC1A1D1可看作是有公共底面DA1C1的兩個(gè)三棱錐構(gòu)成的組合體，在Rt△DD1C1中，，在Rt△DAA1中，，在Rt△A1D1C1中，，∴△A1DC1為等腰三角形，且面積S=，由（Ⅰ）知，BD1⊥面A1DC1，且．∴多面體BDC1A1D1的體積V=．22.設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（Ⅱ）若?x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（I）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．對(duì)a與△分類討論可得：（1）當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)f′（x）＞0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=a（9a﹣8）．①當(dāng)時(shí)，△≤0，②當(dāng)a時(shí)，△＞0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況．（3）當(dāng)a＜0時(shí)，△＞0．即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況．（II）由（I）可知：（1）當(dāng)0≤a時(shí)，可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，即可判斷出．（2）當(dāng)＜a≤1時(shí)，由g（0）≥0，可得x2≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，即可判斷出．（3）當(dāng)1＜a時(shí)，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)性，即可判斷出；（4）當(dāng)a＜0時(shí)，設(shè)h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其單調(diào)性，即可判斷出【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=1，此時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①當(dāng)時(shí)，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)．②當(dāng)a時(shí)，△＞0，設(shè)方程2ax2+ax﹣a+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴當(dāng)x∈（﹣1，x1）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．因此函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．（3）當(dāng)a＜0時(shí)，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴當(dāng)x∈（﹣1，x2）時(shí)，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．因此函數(shù)f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0≤a時(shí)，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．（II）由（I）可知：（1）當(dāng)0≤a時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0，符合題意．（2）當(dāng)＜a≤1時(shí)，由g（0）≥0，可得x2≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0，符合題意．（3）當(dāng)1＜a時(shí)，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）時(shí)，f（x）＜0，不符