名師課件：人教B版高中數學選擇性必修第一冊251 橢圓的標準方程

2.5.1

橢圓的標準方程核心素養(yǎng)

1.掌握橢圓的定義.(數學抽象)2.掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程.(邏輯推理)3.能根據條件確定橢圓的標準方程,掌握待定系數法求橢圓的標準方程.(數學運算)思維脈絡激趣誘思知識點撥在2000多年以前,古希臘數學家最先開始研究圓錐曲線,并獲得了大量的成果.其中數學家阿波羅尼奧斯采用平面截割圓錐的方法來研究這種曲線,他的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學成果.下面探究幾個最基礎的問題:激趣誘思知識點撥問題1

通過平面截割圓錐的方法你能得到幾種曲線?提示:用垂直于錐軸的平面去截圓錐,得到的是圓;把平面漸漸傾斜,就能得到橢圓;當平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時,得到拋物線;繼續(xù)用余下的傾斜角度的平面截割,可得到雙曲線,見下圖所示.問題2

從集合或軌跡的角度,類比圓的定義,如何定義橢圓?提示:平面內與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.激趣誘思知識點撥1.橢圓的定義

激趣誘思知識點撥微思考橢圓的定義中去掉限制條件后,動點P的軌跡還是橢圓嗎?提示:不是.當2a<|F1F2|時,動點P的軌跡不存在.當2a=|F1F2|時,動點P的軌跡為線段F1F2.微練習到兩個定點F1(-7,0)和F2(7,0)的距離之和為14的點P的軌跡是(

)A.橢圓

B.線段C.圓 D.以上都不對解析:∵點P到兩定點的距離之和為14等于|F1F2|,∴軌跡是一條線段.答案:B激趣誘思知識點撥2.橢圓的標準方程

焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程圖形焦點坐標F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關系b2=a2-c2激趣誘思知識點撥名師點析

(1)在已知橢圓的標準方程解題時,應特別注意a>b>0這個條件.(2)焦點三角形中常用的關系式①|PF1|+|PF2|=2a.激趣誘思知識點撥微練習

激趣誘思知識點撥解析:(2)設橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|=2,結合橢圓定義|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.答案:(1)D

(2)D

(3)C激趣誘思知識點撥微思考能否根據橢圓的標準方程,判定焦點位置?提示:能.根據x2與y2的分母的大小來判定,哪個的分母大,焦點就在哪個軸上.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測待定系數法求橢圓的標準方程例1求適合下列條件的橢圓的標準方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測如果中心在原點,但焦點的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可以設為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),進而求解.2.待定系數法求圓錐曲線方程能有力地明晰數學運算的目標性和方向性,能較好地體現運用解析法進行數學運算的核心素養(yǎng).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測定義法求橢圓的標準方程例2求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)焦點在y軸上,且經過兩個點(0,2)和(1,0);探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

用定義法求橢圓的標準方程,先根據橢圓定義,確定a2,b2的值,再結合焦點位置寫出橢圓的標準方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2已知橢圓兩個焦點的坐標分別是(0,5),(0,-5),橢圓上一點P到兩焦點的距離之和為26,求滿足條件的橢圓的標準方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測橢圓定義的應用例3如圖所示,已知動圓P過定點A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內部與其內切,求動圓圓心P的軌跡方程.解:設動圓P和定圓B內切于點M,動圓圓心P到兩定點A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

(1)橢圓上一點P(不與焦點共線)與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形.解關于橢圓的焦點三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,再結合正弦定理、余弦定理等知識求解.(2)焦點三角形的常用公式①焦點三角形的周長L=2a+2c.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

若將例4中“∠F1PF2=60°”變?yōu)椤啊螾F1F2=90°”,求△F1PF2的面積.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(3)由直線AB過橢圓的一個焦點F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.答案:(1)C

(2)A

(3)8探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測易錯點——因對橢圓的標準方程認識不清而致錯

錯因分析錯解中沒有注意到橢圓方程中a>b>0這一條件,當a=b時,方程并不表示橢圓.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.已知橢圓的焦點為(-1,0)和(1,0),點P(2,0)在橢圓上,則橢圓的方程為(

)答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓,那么實數k的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1)答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:4探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測5.如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內有一點A(1,0).Q為圓C上任意一點,線段AQ的垂直平分線與C,Q的連線交于點M,當點Q在圓C上運動時,求點M的軌跡方程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖所示,連接MA.由