第六 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

會(huì)計(jì)學(xué)1第六數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念§1、隨機(jī)樣本

定義1

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，將所研究對(duì)象的全體稱為總體(母體),其中每個(gè)對(duì)象稱為個(gè)體。

由于通常關(guān)注的是研究對(duì)象的某些個(gè)數(shù)量指標(biāo),因此也稱這些數(shù)量指標(biāo)取值的全體為總體,其中每個(gè)元素稱為個(gè)體.一、總體與個(gè)體

例如,檢驗(yàn)燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命:受檢的全體燈泡就是總體,每個(gè)燈泡就是個(gè)體。也可理解：全體燈泡壽命數(shù)值構(gòu)成總體，每個(gè)燈泡的壽命數(shù)值為一個(gè)體。第1頁(yè)/共39頁(yè)

又如,調(diào)查工大男生身高情況：工大全體男生就是總體，每個(gè)工大男生就是一個(gè)個(gè)體。也可理解：全體工大男生身高數(shù)值構(gòu)成總體，每個(gè)工大男生身高數(shù)值就是一個(gè)個(gè)體。

燈泡的壽命檢驗(yàn)是一個(gè)破壞性試驗(yàn),即當(dāng)?shù)弥粋€(gè)燈泡壽命時(shí),該燈泡的使用價(jià)值也就消失了.因此,不可能抽檢每個(gè)燈泡!

可以逐一測(cè)量每個(gè)工大男生的身高,但工作量大.而我們僅需對(duì)工大男生身高情況有個(gè)大致了解,因此,不必要抽測(cè)每個(gè)工大男生!第2頁(yè)/共39頁(yè)

做法從總體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)體(燈泡、工大男生),測(cè)試其所需數(shù)據(jù)(壽命、身高),最后對(duì)所得數(shù)據(jù)通過整理加工和分析來推斷總體(這批燈泡壽命、工大男生身高)的分布情況,從而了解整體情況.

一般,我們所研究的總體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)X是一個(gè)隨機(jī)變量,其取值在客觀上有一定的分布.因此,對(duì)總體的研究,就是對(duì)相應(yīng)的隨機(jī)變量X的研究。

今后,我們稱X的分布函數(shù)和數(shù)字特征分別為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征,并不再區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機(jī)變量X.對(duì)總體的稱呼:總體,總體X與總體F.第3頁(yè)/共39頁(yè)

例如,當(dāng)X~N(μ,σ2)時(shí),稱總體X為正態(tài)總體.正態(tài)總體有以下三種類型:①μ未知,但σ2已知;②σ2未知,但μ已知;

③μ,σ2均未知.第4頁(yè)/共39頁(yè)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)就是通過對(duì)從總體中抽取的一部分個(gè)體(稱為總體的樣本)進(jìn)行觀察,根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)(樣本值)經(jīng)整理與加工,以推斷總體的某些性質(zhì).“從總體中抽取一個(gè)個(gè)體”就是對(duì)總體進(jìn)行一次觀(試驗(yàn)),并記錄其數(shù)據(jù)結(jié)果.

在相同條件下對(duì)總體X進(jìn)行n次獨(dú)立、重復(fù)的觀察,將n次試驗(yàn)結(jié)果依次記為,則稱之為來自總體X的容量為n的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本;n次試驗(yàn)完成后所得樣本的一組觀察值稱為樣本值.二、樣本與樣本值第5頁(yè)/共39頁(yè)定義2

顯然,若X的分布函數(shù)為F(x),則的聯(lián)合分布函數(shù)為

定義2

設(shè)總體X的分布函數(shù)為F,若X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F的n個(gè)隨機(jī)變量,則稱之是來自總體F(分布函數(shù)F,總體X)的容量為n的(簡(jiǎn)單隨機(jī))樣本,其觀察值稱為樣本值。

特別的,若X的概率密度為f(x),則的聯(lián)合概率密度為第6頁(yè)/共39頁(yè)分布函數(shù)

若X的概率分布為p(x),則的聯(lián)合概率分布為第7頁(yè)/共39頁(yè)

樣本來自總體,必然攜帶有反映總體性質(zhì)的各種信息。

后面介紹的內(nèi)容僅限于有關(guān)總體參數(shù)的估計(jì)與推斷，稱為參數(shù)估計(jì)與參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)。三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)就是通過對(duì)樣本的研究來對(duì)總體的未知參數(shù)或分布類型作出估計(jì)，對(duì)有關(guān)總體的假設(shè)作出推斷。第8頁(yè)/共39頁(yè)總體X樣本X1,X2,…,Xn樣本值x1,x2,…,xn隨機(jī)抽樣獲得樣本完成試驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)整理加工統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)工作圖示第9頁(yè)/共39頁(yè)§2、抽樣分布一、統(tǒng)計(jì)量

樣本是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的依據(jù)。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，一般不是直接使用樣本本身，而是對(duì)樣本進(jìn)行整理和加工,即針對(duì)具體問題構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)—統(tǒng)計(jì)量,利用這些函數(shù)來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷,揭示總體的統(tǒng)計(jì)特性.

定義3

設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本,x1，x2，…，xn為其樣本值,則稱不含任何總體分布中未知參數(shù)的連續(xù)函數(shù)為統(tǒng)計(jì)量,相應(yīng)的實(shí)數(shù)稱為其觀察值。第10頁(yè)/共39頁(yè)常用統(tǒng)計(jì)量有:樣本均值(修正)樣本方差(修正)樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩第11頁(yè)/共39頁(yè)說明

(修正)樣本方差還可表示為【推導(dǎo)】說明第12頁(yè)/共39頁(yè)樣本方差

樣本均值是樣本一階原點(diǎn)矩；樣本方差是樣本二階中心矩。續(xù)1

上述各統(tǒng)計(jì)量的觀察值為第13頁(yè)/共39頁(yè)

重要結(jié)論：樣本矩(的連續(xù)函數(shù))依概率收斂于總體矩(的連續(xù)函數(shù))[矩估計(jì)的理論基礎(chǔ)]。

總體k階(原點(diǎn))矩

總體的期望就是其一階矩:

總體的方差:續(xù)2第14頁(yè)/共39頁(yè)

定義

性質(zhì)重要積分補(bǔ)充知識(shí):Γ-函數(shù)第15頁(yè)/共39頁(yè)

完全由樣本確定的函數(shù)就是統(tǒng)計(jì)量。

定義設(shè)X1，X2，…，Xn是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)的樣本,稱統(tǒng)計(jì)量

下面,介紹來自正態(tài)總體的幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布.1、χ2-分布(卡方分布)服從自由度為n的χ2-分布,記為二、抽樣分布統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，它的分布稱為抽樣分布。第16頁(yè)/共39頁(yè)-分布的概率密度為1、卡方分布第17頁(yè)/共39頁(yè)-分布的性質(zhì)與數(shù)字特征-分布的可加性:-分布的期望與方差為:

上α分位點(diǎn)(雙側(cè)α/2分位點(diǎn))

定義點(diǎn)為分布的上α分位點(diǎn)

續(xù)1第18頁(yè)/共39頁(yè)查附表5[P.299]:續(xù)2雙側(cè)分位點(diǎn)查附表5:第19頁(yè)/共39頁(yè)2、t-分布

定義設(shè)且X與Y獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為n的t-分布,記為

t-分布的概率密度為第20頁(yè)/共39頁(yè)

t-分布的概率密度性質(zhì)t-分布的概率密度為偶函數(shù)，且以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度為其極限(n→∞)。續(xù)1第21頁(yè)/共39頁(yè)續(xù)2

上α分位點(diǎn)(雙側(cè)α/2分位點(diǎn))

定義點(diǎn)為分布的上α分位點(diǎn)

查附表4[P.298]:第22頁(yè)/共39頁(yè)雙側(cè)α/2分位點(diǎn):續(xù)3顯然,第23頁(yè)/共39頁(yè)3、F-分布

定義設(shè)且X與Y獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為(n1,n2)的F-分布,記為

F-分布的概率密度為第24頁(yè)/共39頁(yè)

F-分布的性質(zhì)續(xù)1由F分布定義可得：第25頁(yè)/共39頁(yè)

上α分位點(diǎn)(雙側(cè)α/2分位點(diǎn))

定義點(diǎn)為分布的上α分位點(diǎn)

查附表6[P.301]:F分布上α分位點(diǎn)有如下性質(zhì)：續(xù)2第26頁(yè)/共39頁(yè)三、樣本均值與樣本方差的分布

設(shè)總體X有均值與方差：

是來自X(無論X服從何種分布!)的一個(gè)樣本，則總有:

特別的,當(dāng)時(shí),樣本均值第27頁(yè)/共39頁(yè)

對(duì)于單正態(tài)總體N(μ,σ2)的均值與方差有:

定理1

設(shè)是來自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本,則

①、

②、③、

④、獨(dú)立.

注意:即2卡方分布定義定理1第28頁(yè)/共39頁(yè)

定理2

設(shè)X1，X2，…，Xn與Y1，Y2，…，Yn分別是來自正態(tài)總體N(μ1,σ2),N(μ2,σ2)的樣本,且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,又分別為兩樣本的均值與方差,則其中

對(duì)于同方差的雙正態(tài)總體N(μ1,σ2),N(μ2,σ2)的均值差有:定理2第29頁(yè)/共39頁(yè)同方差雙正態(tài)總體單正態(tài)總體

上面介紹的3個(gè)重要分布與4個(gè)重要公式在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)中有著重要應(yīng)用，必須牢記!說明χ2-分布t-分布F-分布第30頁(yè)/共39頁(yè)

【例1】在正態(tài)總體N(12,4)中隨機(jī)抽取容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5，試求

（1）樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于1的概率；

（2）

（3）

例1〖解〗正態(tài)總體樣本均值的分布(1)因?yàn)樗?/p>

于是,第31頁(yè)/共39頁(yè)例1-1(2).(3).□第32頁(yè)/共39頁(yè)〖解〗t-分布,χ2-分布，F(xiàn)-分布。

因?yàn)閄~t(n),所以由t-分布定義知：存在兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

由Y,Z的相互獨(dú)立可得:Y2與Z也相互獨(dú)立。再由F-分布定義得:使有□【例2】已知，證明。由χ2-分布定義知：例2第33頁(yè)/共39頁(yè)〖解〗因?yàn)閄i~P(λ),所以E(Xi)=D(Xi)=λ(i=1,2,…,n),

【例3】設(shè)X1，X2，X3，X4，X5為來自泊松分布P(λ)的一個(gè)樣本，為其樣本均值和（修正）樣本方差，求例3第34頁(yè)/共39頁(yè)□例3-1第35頁(yè)/共39頁(yè)〖解〗卡方分布及其數(shù)字特征。于是,由卡方分布數(shù)字特征知：由定理1知:

【例4】

設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本，其中