第講一元微積分應(yīng)用二

會計學(xué)1第講一元微積分應(yīng)用二一、曲線的凹凸性、拐點二、曲線的漸近線三、函數(shù)圖形的描繪第六章一元微積分的應(yīng)用第三節(jié)曲線的凹凸性、函數(shù)圖形的描繪第1頁/共54頁我們說一個函數(shù)單調(diào)增加,你能畫出函數(shù)所對應(yīng)的曲線的圖形嗎??!..

一、曲線的凹凸性、拐點第2頁/共54頁它的圖形的形式不盡相同.一般說來,對于一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)的圖形都存在一個需要判別弧段位于相應(yīng)的弦線的“上方”或“下方”的問題.在數(shù)學(xué)分析中將這種問題稱為曲線(函數(shù))的凹凸性問題.第3頁/共54頁簡單地說,在區(qū)間

I

上:曲線弧段位于相應(yīng)的弦線上方時,稱之為凸的;曲線弧段位于相應(yīng)的弦線下方時,稱之為凹的.凸凹第4頁/共54頁成立,則稱曲線在區(qū)間I上是凸的;成立,則稱曲線在區(qū)間I上是凹的.定義第5頁/共54頁

凹凸性的一般性定義是……第6頁/共54頁凸第7頁/共54頁凹第8頁/共54頁成立,則稱曲線在區(qū)間I上是凸的;成立,則稱曲線在區(qū)間I上是凹的;1.曲線凹凸性的定義及其判別法第9頁/共54頁例1分析第10頁/共54頁有何體會？第11頁/共54頁能不能根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號來判別函數(shù)所對應(yīng)的曲線的凸凹性呢？第12頁/共54頁判別可微函數(shù)的凸凹性主要是對進行比較.有什么公式能把以上的函數(shù)值與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起呢?泰勒公式第13頁/共54頁第14頁/共54頁第15頁/共54頁第16頁/共54頁以上的討論是對開區(qū)間進行的,但結(jié)論卻出現(xiàn)了閉區(qū)間這正確嗎?結(jié)論是正確的,我們是利用函數(shù)的連續(xù)性將開區(qū)間內(nèi)的結(jié)論延伸到了閉區(qū)間上.以上過程實際上證明了下面的判別曲線凹凸性的一個方法.第17頁/共54頁定理在運用該定理時要注意：但僅在個別孤立點處等于零,則定理仍然成立.第18頁/共54頁該函數(shù)的圖形請自己繪出.例2解第19頁/共54頁例3解第20頁/共54頁只是使的孤立點,不是曲線凹凸性的分界點.例3解第21頁/共54頁

比較例3和例4,發(fā)現(xiàn)使得曲線所對的分界點.我們的興趣,因為它可能是曲線凹凸性應(yīng)的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點引起了拐點第22頁/共54頁連續(xù)曲線上凸弧與凹弧度分界點,稱為曲線的拐點.2.曲線拐點的定義及判別法第23頁/共54頁定理(判別拐點的必要條件)證第24頁/共54頁稱為曲線的拐點可疑點.第25頁/共54頁定理(判別拐點的充分條件)根據(jù)拐點的定義立即可證明該定理.第26頁/共54頁定理(判別拐點的充分條件)第27頁/共54頁證你能由以上的幾個定理歸納出求曲線拐點的步驟嗎？第28頁/共54頁

求拐點一般步驟第29頁/共54頁拐點拐點例4解第30頁/共54頁第31頁/共54頁例5解第32頁/共54頁例6解第33頁/共54頁例7第34頁/共54頁

函數(shù)的凹凸性的判別以及函數(shù)的極值的判別都與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān).你清楚它們之間的聯(lián)系嗎?畫畫圖就能搞清楚.第35頁/共54頁

現(xiàn)在我們還不能很好地作出函數(shù)的圖形,因為還不知道如何求曲線的漸近線.中學(xué)就會求了.第36頁/共54頁若動點P沿著曲線y=f(x)的某一方向無限遠離坐標(biāo)原點時,動點P到一直線L的距離趨于零,則稱此直線L為曲線y=f(x)的一條漸近線.

二、曲線的漸近線定義第37頁/共54頁曲線的漸近線水平漸近線垂直漸近線斜漸近線第38頁/共54頁第39頁/共54頁水平漸近線第40頁/共54頁這里的極限可以是垂直漸近線第41頁/共54頁想想：怎么求a,b?第42頁/共54頁這里的極限過程可以是以上的極限實際是

斜漸近線第43頁/共54頁

曲線可以穿過其漸近線.例8解第44頁/共54頁例9解第45頁/共54頁曲線無水平漸近線(函數(shù)間斷)曲線有斜漸近線嗎？例10解第46頁/共54頁請同學(xué)課后自己繪出此函數(shù)的圖形.第47頁/共54頁所以,該曲線無水平漸近線和垂直漸近線.例11解第48頁/共54頁現(xiàn)在給定一個函數(shù),我們可以討論它的：定義域、值域、奇偶性、有界性、周期性、連續(xù)性、間斷點、可微性、單調(diào)性、極值、最值、凹凸性、拐點、漸近線、零點位置.用極限討論函數(shù)的變化趨勢.用泰勒公式將函數(shù)離散化.第49頁/共54頁作函數(shù)圖形的一般步驟如下：(1)確定函數(shù)的定義域,觀察奇偶性、周期性.(2)求函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù),(3)列表,確定函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點.(4)