第講謂詞邏輯

會計學1第講謂詞邏輯1.6謂詞和量詞例：如有句子：

張紅是一個西南科技大學的學生；

王南是一個西南科技大學的學生；

李華是一個西南科技大學的學生。則在命題中必須要用三個命題P，Q，R來表示。但是，它們都具有一個共同的特征：

“…是一個西南科技大學的學生”描述相同對象不同第1頁/共24頁1.6.1謂詞在句子中，可以獨立存在的客體稱為個體詞，而用以刻劃客體的性質(zhì)或客體之間的關系即是謂詞。 表示方法：個體詞用a,b,c,...a1,等表示，謂詞用A,B,C,...A1,等表示。例： 張紅是一個西南科技大學的學生；由此，我們定義謂詞

P:是一個西南科技大學的學生個體詞a1:張紅a2:王南a3:李華P(a1)

為方便理解，謂詞描述為

A(x),B(x),C(x),...第2頁/共24頁設有如下命題：

P：上海是一個現(xiàn)代化的城市；

Q：甲是乙的父親；

R：3介于2和5之間。

T：李蘭與高翔是同班同學。例解：設有如下謂詞：C（x）：x是一個現(xiàn)代化的城市；F（x，y）：x是y的父親；B（x，y，z）：x介于y和z之間；S（x，y）：x與y是同班。則上述命題可表示為：P：C（上海）Q：F（甲，乙）R：B（3，2，5）T：S（李蘭，高翔）第3頁/共24頁謂詞中個體詞的順序是十分重要的，不能隨意變更。一元謂詞用以描述某一個個體的某種特性或性質(zhì)，而n元謂詞則用以描述n個個體之間的關系。0元謂詞(不含個體詞的)實際上就是一般的命題。一個n元謂詞不是一個命題，但將n元謂詞中的個體變元都用個體域中具體的個體取代后，就成為一個命題。而且，個體變元在不同的個體域中取不同的值對是否成為命題及命題的真值有很大的影響。幾個結論第4頁/共24頁表示具體或特定的個體詞稱為個體常量，一般個體詞常量用帶或不帶下標的小寫英文字母a,b,c,……,a1,a2,a3.,……表示。表示抽象的或泛指的個體詞稱為個體變量，一般用帶或不帶下標的小寫英文字母x,y,z,.…,x1,x2,x3,……表示。個體詞的取值范圍稱為個體域或論域，常用D表示。而宇宙間的所有個體域聚集在一起所構成的個體域稱為全總個體域。設D為非空的個體域，定義在Dn(表示n個個體都在個體域D上取值)上取值于｛0,1｝上的n元函數(shù)，稱為n元謂詞,記為P(x1,x2,…,xn)。此時，個體變量x1,x2,…,xn的定義域都為D，P(x1,x2,…,xn)的值域為{0，1｝。其他定義第5頁/共24頁1.6.2量詞符號化下述命題：所有的老虎都要吃人；每一個人都會犯錯誤；有一些人是大學生；有的自然數(shù)是素數(shù)。R（x）：x會吃人；R(x)(x{老虎})P（x）：x會犯錯誤；P(x)(x{人})Q（x）：x是大學生；Q(x)(x{人})S（x）：x是素數(shù)。S(x)(x{自然數(shù)})第6頁/共24頁量詞的定義

定義6.3(x)稱為全稱量詞。(x)為存在量詞,其中的x稱為作用變量。一般將其量詞加在其謂詞之前，記為(x)F(x),(x)F(x)，此時，F(xiàn)(x)稱為全稱量詞和存在量詞的轄域。引進如下兩個符號：(x):所有的x；

(x)：有些x；

任意的x；

至少有一個x；

一切的x；

存在x；

每一個x；等等。

等等。

第7頁/共24頁例(續(xù))(x)R(x)(x{老虎})(x)P(x)(x{人})(x)Q(x)(x{人})(x)S(x)(x{自然數(shù)})在例中，利用量詞則有：解：設立如下謂詞：R（x）：x會吃人；P（x）：x會犯錯誤；Q（x）：x是大學生；S（x）：x是素數(shù)。第8頁/共24頁例(續(xù))有時，由于個體域的注明不清楚，造成無法確定其真值?；?qū)τ谕粋€公式，不同的個體域有可能帶來不同的真值。

在例中，利用量詞會有：例如：(x)R(x)(x{老虎}).若個體域不注明,則該命題無法判斷.

若(x{人}),則該命題為假.第9頁/共24頁全總個體域?qū)τ谌Q量詞，刻劃其對應個體域的特性謂詞作為蘊涵的前件加入。對于存在量詞，刻劃其對應個體域的特性謂詞作為合取式之合取項加入?；谏鲜銮闆r，必須對個體域進行統(tǒng)一，全部使用全總個體域，此時，對每一個句子中個體變量的變化范圍用一定之特性謂詞刻劃之。則這種特性謂詞在加入到命題函數(shù)中時必定遵循如下原則：第10頁/共24頁例(續(xù))解：U(x)：x是老虎； (x)(U(x)→R(x))H(x)：x是人； (x)(H(x)→P(x))H(x)：x是人； (x)(H(x)∧Q(x))T(x)：x是自然數(shù)； (x)(T(x)∧S(x))對于前例中的例子運用特性謂詞描述。第11頁/共24頁考慮以下形式的命題在謂詞邏輯中的符號化問題。(1)所有人都是要死的。(2)有些人不怕死。

因此，引進特性謂詞，M(x)：x是人。

(1)“所有人總是都要死的。”應符號化為:

；

(2)“有些人不怕死?！狈柣癁?

。

第12頁/共24頁各概念間的關系如下圖所示：第13頁/共24頁量詞的特點在使用量詞時，應注意以下6個特點：

1.在不同的個體域中，同一命題符號化的形式可能不一樣。

2.如果事先沒有指明個體域，都應以全總個體域為個體域。

3.在引入特性謂詞后，使用全稱量詞與存在量詞符號化的形式是不同的。

4.個體域和謂詞的含義確定之后，n元謂詞要轉化為命題至少需要n個量詞。

第14頁/共24頁5.當個體域為有限集時，如D={a1,a2,…,an}，由量詞的定義可以看出，對于任意的謂詞A(x)，都有

(1)

(2)這實際上是將謂詞邏輯中的命題公式轉化為命題邏輯中的命題公式問題。6.多個量詞同時出現(xiàn)時，不能隨意顛倒它們的順序。顛倒后會改變原命題的含義。

第15頁/共24頁

在謂詞邏輯中將下面命題符號化。

(1)凡有理數(shù)均可表示成分數(shù)。

(2)有的有理數(shù)是整數(shù)。要求：1)個體域為有理數(shù)集合。

2)個體域為全總個體域。第16頁/共24頁解:1)個體域為有理數(shù)集合，不用引入特性謂詞。

(1)凡有理數(shù)均可表示成分數(shù)。符號化為?xF(x)，其中，F(xiàn)(x)：x可表示成分數(shù)。

(2)有的有理數(shù)是整數(shù)。符號化為?xG(x)，其中，G(x)：x是整數(shù)。2)個體域為全總個體域，引入特性謂詞。

R(x)：x是有理數(shù)。

(1)符號化為?x(R(x)→F(x))，其中，F(xiàn)(x)：x可表示成分數(shù)。

(2)符號化為?x(R(x)∧G(x))

，其中G(x)同上。第17頁/共24頁例

在謂詞邏輯中將下列命題符號化。

(1)每個自然數(shù)都有后繼數(shù)。

(2)所有人都不一樣高。解因為題目沒指明個體域，因而使用全總個體域。(1)其中F(x)：x是自然數(shù)，H(x,y)：y是x的后繼數(shù)。符號化為:?x(F(x)→?y(F(y)∧H(x,y))(2)其中，M(x)：x是人；H(x,y)：x≠y(x與y不是同一個人)；L(x,y)：x與y一樣高。符號化為:?x?y(M(x)∧M(y)∧H(x,y)→┒L(x,y))第18頁/共24頁1.6.4原子公式和謂詞演算的合式公式定義6.8滿足下列條件的表達式，稱為合式公式,簡稱公式。定義6.7：設P(x1,x2,x3,...xn)是n元謂詞，t1,t2,t3,...tn是項,則P(t1,t2,t3,...tn)是原子謂詞公式，簡稱原子公式。原子公式是合式公式；若G，H是合式公式，則(┐G)、(┐H)、(G∨H)、(G∧H)、(G→H)、(GH)也是合適公式；若G是合式公式，x是個體變量，則(x)G、(x)G也是合式公式；僅僅有1)-2)產(chǎn)生的表達式才是合式公式。第19頁/共24頁1.6.5自由變元和約束變元轄域：緊接于量詞之后最小的子公式定義6.9合式公式中的變元x若出現(xiàn)在以x為作用變元的量詞的轄域之內(nèi)，則稱變元x的出現(xiàn)為約束出現(xiàn)，此時的變元x稱為約束變元(量)。若x的出現(xiàn)不是約束出現(xiàn)，則稱它為自由出現(xiàn)，此時的變元x稱為自由變元(量)。轄域不是原子公式，其兩側壁有括號，否則不應有括號第20頁/共24頁(y)(P(y,z)→Q(x,y))∨R(y).(x)(P(x)→Q(x)).(x)(P(x))→(y)(R(x,y))(x)(P(x)→R(x))∧(y)Q(x,y)例：分析自由變元和約束變元第21頁/共24頁例

在一階邏輯中將下列命題符號化:

沒有最大的自然數(shù)分析：該句話可理解為“對所有x，若x是自然數(shù)，則存在y，y也是自然數(shù)，且y>x”解：N(x)：x是自然數(shù)，G(x,y)：x>y，符號化為：

x(N(x)y(N(y)∧