等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

會(huì)計(jì)學(xué)1等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式復(fù)習(xí)回顧(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:

已知首項(xiàng)a1和公差d,則有:

an=a1+(n-1)d

已知第m項(xiàng)am和公差d,則有:

an=am+(n-m)d

(2)等差數(shù)列的性質(zhì):

在等差數(shù)列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N*),那么:am+an=ap+aq第1頁/共16頁

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，奢靡之程度，可見一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？問題呈現(xiàn)

問題1第2頁/共16頁問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。探究發(fā)現(xiàn)第3頁/共16頁探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191獲得算法：第4頁/共16頁問題2一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？

問題就是求“1+2+3+4+…+100=？”第5頁/共16頁

問題2：對(duì)于這個(gè)問題，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果。（你知道應(yīng)如何算嗎？）

這個(gè)問題，可看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…的前100項(xiàng)的和。假設(shè)1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100個(gè)101所以x=5050.高斯第6頁/共16頁問題3:求:1+2+3+4+…+n=?記:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1第7頁/共16頁設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…它的前n項(xiàng)和是

Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序顛倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

下面將對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行推導(dǎo)n個(gè)a1+an倒序相加法第8頁/共16頁由此得到等差數(shù)列的{an}前n項(xiàng)和的公式即：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于首末項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫成由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d解題時(shí)需根據(jù)已知條件決定選用哪個(gè)公式。正所謂：知三求二第9頁/共16頁【公式記憶】用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式類同于

；梯形的面積公式（補(bǔ)成平行四邊形）第10頁/共16頁例1．某長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員7天里每天的訓(xùn)練量（單位：m）是：

,8000,8500,9000,9500,10000,10500這位運(yùn)動(dòng)員7天共跑了多少米？解：這位長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員每天的訓(xùn)練量成等差數(shù)列，記為｛an},其中a1=7500,a7=10500.根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得答：這位長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員7天共跑了63000m.第11頁/共16頁例2等差數(shù)列-10，-6，-2，

2，…前多少項(xiàng)的和是54？

本題實(shí)質(zhì)是反用公式，解一個(gè)關(guān)于n的一元二次函數(shù)，注意得到的項(xiàng)數(shù)n必須是正整數(shù).第12頁/共16頁解：將題中的等差數(shù)列記為｛an｝，sn代表該數(shù)列的前n項(xiàng)和，則有a1=－10,d=－6－(－10)=4根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差數(shù)列－10,－6,－2,2，．．．前9項(xiàng)的和是54.設(shè)該數(shù)列前n項(xiàng)和為54

×4=54成立

第13頁/共16頁

1.推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法小結(jié)：2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想.