【高中數(shù)學(xué)】3數(shù)學(xué)歸納法

3數(shù)學(xué)歸納法課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：理解數(shù)學(xué)歸納法原理及其本質(zhì)，掌握它的基本步驟與方法.能較好地理解“歸納奠基”和“歸納遞推”兩者缺一不可。二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：提出問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：前面學(xué)習(xí)歸納推理時(shí)，我們有一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有徹底解決.即對(duì)于數(shù)列/）,已知的=1, 1+%（n=1,2,3…），通過(guò)對(duì)n=1,2,3,4前4項(xiàng)的歸納，猜想出其通項(xiàng)公式&=一耳，但卻沒(méi)有進(jìn)一步的檢驗(yàn)和證明.問(wèn)題2：大家玩過(guò)多米諾骨牌游戲嗎？這個(gè)游戲有怎樣的規(guī)劃？（多媒體演示多米諾骨牌游戲）這是一個(gè)碼放骨牌游戲，碼放時(shí)保證任意兩相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下.只要推倒第一塊骨牌，就必然導(dǎo)致第二塊骨牌倒下；而第二塊骨牌倒下，就必然導(dǎo)致第三塊骨牌倒下…最后，不論有多少塊骨牌都能全部倒下.討論問(wèn)題：?jiǎn)栴}1、問(wèn)題2有什么共同的特征？其結(jié)論成立的條件的共同特征是什么結(jié)論成立的條件：結(jié)論對(duì)第一個(gè)值成立；結(jié)論對(duì)前一個(gè)值成立，則對(duì)緊接著的下一個(gè)值也成立.上面兩個(gè)條件分別起怎樣的作用？它們之間有怎樣的關(guān)系？我們能否去掉其中的一個(gè)？你能舉反例說(shuō)明嗎？在上述兩個(gè)條件中，第一個(gè)條件是歸納遞推的前提和基礎(chǔ)，沒(méi)有它，后面的遞推將無(wú)從談起；第二個(gè)步驟是核心和關(guān)鍵，是實(shí)現(xiàn)無(wú)限問(wèn)題向有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁與紐帶.1以產(chǎn)二一如在前面的問(wèn)題1中，如果力不是1,而是2,那么就不可能得出 煜，因此第一步看似簡(jiǎn)單，但卻是不可缺少的.而第二步顯然更加不可缺少.這一點(diǎn)在多米諾骨牌游戲中也可清楚地看出.解決問(wèn)題：由上，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：⑴證明當(dāng)n取第一個(gè)值?。ㄆr(shí)命題成立；⑵假設(shè)n=k（kN%,七七".）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.由以上兩個(gè)步驟，可以斷定命題*⑻對(duì)從物開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.

這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，它是證明與正整數(shù)n（n取無(wú)限多個(gè)值）有關(guān)、具有內(nèi)在遞推關(guān)系的數(shù)學(xué)命題的重要工具.三、提出疑惑同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容n課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確。(2)初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。(3)理解和記住用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟。(4)初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式。二、學(xué)習(xí)過(guò)程：例1、證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d：解析：(1)讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性；(2)掌握從n二土到區(qū)二上14時(shí)等式左邊的變化情況。證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即a^=a1+(k—1)d,則a^1=a^dd=a[+[(k+1)—1]d,即9=卜+1時(shí)等式也成立由(1)、(2)可知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a=ad(n—1)d對(duì)任何n￡N*都成立.n1點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意以下三句話(huà)：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉。a變式訓(xùn)練1.在數(shù)列｛a｝中，a=1,a=一(neN*),先計(jì)算a,a,a的TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"n 1 nd11da 2 3 4n值，再推測(cè)通項(xiàng)an的公式，最后證明你的結(jié)論.例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+上4一，+題 = *& 0E").解析：(1)進(jìn)一步讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性，從而從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)；(2)掌握從"=上到力=大1"1時(shí)等式左邊的變化情況，合理的進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)合并項(xiàng)等。123,= =1證明：(1) 時(shí)：左邊 ，右邊6 ，左邊二右邊，等式成立?！和僚浒佟谷?）伊+1）匕）假設(shè)當(dāng)"=*口仁叼時(shí)有； 6時(shí)二左邊 ' ,fc(fc+l)(2Jt+l)+6(it+lf(i+l)(fc+2)(2Jt+3)(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]=右邊...當(dāng)n= 時(shí)等式也成立。由（1）、（2）可知，對(duì)一切r七N，原等式均成立點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意以下三句話(huà):遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明莫忘掉。變式訓(xùn)練2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+（2n—1）=n2.反思總結(jié):.歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明;.數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，用于證明一些與正整數(shù)有關(guān)數(shù)學(xué)命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過(guò)程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可;

.遞推歸納時(shí)從“二金到1t?1，必須用到歸納假設(shè)，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q。注意明等式時(shí)第一步中七二1時(shí)左右兩邊的形式，第二步中”二土14時(shí)應(yīng)增加的式子；第二步中證明=命題成立是全局的主體，主要注意兩個(gè)，，湊，，：一是，，湊，，國(guó)二金時(shí)的形式(這樣才好利用歸納假設(shè))，二是“湊”目標(biāo)式。當(dāng)堂檢測(cè)：.觀(guān)察式子：1+—<—,1+—+—<—,1+—+—+—<—,…，則可歸納出式子222 22323 2232424為()TOC\o"1-5"\h\zAI 1 1 1 1/ >c、1++—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n-11 1 1/ >?1+—+—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n+11 1 2n-1/ >c、1+—+—+…+—< (n/2)22 32 n2 n1 1 2n/ >1++—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n+1答案：C.用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是、，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是a(1-qn), 八a=aqn-1,前n項(xiàng)和公式是s二+ (q豐1).n1 n1-q課后練習(xí)與提高一、選擇題.用數(shù)學(xué)歸納法證明12+32+52+…+(2n-1)2=3n(4n2-1)過(guò)程中，由n=k遞推TOC\o"1-5"\h\z到9=卜+1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)為 ( )A.(2k)2 B.(2k+3)2 C.(2k+1)2D.(2k+2)2.凸n邊形有#n)條對(duì)角線(xiàn)，凸n+1邊形對(duì)角線(xiàn) 的條數(shù)f(n+1)為( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,+—+工+…=>13(n>2)的過(guò)程中，n+1n+2n+3 2n 24由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊 ( )A.增加了一項(xiàng)2(A.增加了一項(xiàng)2(k+1)B.增加了一項(xiàng)口+w1 1C.增加了C.增加了2k+1 2(k+1)D.增加了D.增加了“人”,又減少了“白二、填空題4.已知數(shù)列1

1^4.已知數(shù)列1

1^21 12^3,3義4,…，由此可猜測(cè)sn=.TOC\o"1-5"\h\z.若f(k)=1—一+——一H F ——,則f(k+1)=f(k)+ .234 2k-12k 三、解答題.由下歹U不等式：1>—,1H 1—>1,1H 1 \-1>—,1H 1 \-1 >2,2 23 23 72 23 15…，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明.n參考答案：1.C2.C3.C 4.--n+16.解：根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜想第n個(gè)不等式，即一般不等式為:1+—+—H1>n(neN*).23 2n-12用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：(1)當(dāng)n=1時(shí)，1>1，猜想成立;2(2)假設(shè)當(dāng)n二k時(shí)，猜想成立，即1+1+1+???+23則當(dāng)n=k+1時(shí)，11 1 1 1 1 1k1 1 1k 2k k+11++—++ +—+ +…+ >+—+ +…+ >+ = 23 2k-1 2k 2k +1 2k+1-1 22k 2k+1 2k+1-1 2 2k+1 2，即當(dāng)n二k+1時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的neN*,不等式成立.高考數(shù)學(xué)：試卷答題攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜?？忌梢雷约旱慕忸}習(xí)慣和基本功，選擇執(zhí)行“六先六后”的戰(zhàn)術(shù)原則。1.先易后難。2.先熟后生。3.先同后異。先做同科同類(lèi)型的題目。4.先小后大。先做信息量少、運(yùn)算量小的題目，為解決大題贏(yíng)得時(shí)間。5.先點(diǎn)后面。高考數(shù)學(xué)解答題多呈現(xiàn)為多問(wèn)漸難式的“梯度題”，解答時(shí)不必一氣審到底，應(yīng)走一步解決一步，步步為營(yíng)，由點(diǎn)到面。6.先高后低。即在考試的后半段時(shí)間，如估計(jì)兩題都會(huì)做，則先做高分題；估計(jì)兩題都不易，則先就高分題實(shí)施“分段得分”。二、一慢一快，相得益彰，規(guī)范書(shū)寫(xiě)，確保準(zhǔn)確，力爭(zhēng)對(duì)全。審題要慢，解答要快。在以快為上的前提下，要穩(wěn)扎穩(wěn)打，步步準(zhǔn)確。假如速度與準(zhǔn)確不可兼得的話(huà)，就只好舍快求對(duì)了。三、面對(duì)難題，以退求進(jìn)，立足特殊，發(fā)散一般，講究策略，爭(zhēng)取得分。對(duì)于一個(gè)較一般的問(wèn)題，若一時(shí)不能取得一般思路，可以采取化一般為特殊，化抽象為具體。對(duì)不能全面完成的題目有兩種常用方法：1.缺步解答。將疑難的問(wèn)題劃分為一個(gè)個(gè)子問(wèn)題或一系列的步驟，每進(jìn)行一步就可得到一步的分?jǐn)?shù)。2.跳步解答。若題目有兩問(wèn)，第一問(wèn)做不上，可以第一問(wèn)為“已知”，完成第二問(wèn)。四、執(zhí)果索因，逆向思考，正難則反，回避結(jié)論的肯定與否定。對(duì)一個(gè)問(wèn)題正面思考受阻時(shí)，就逆推，直接證有困難就反證。對(duì)探索性問(wèn)題，不必追求結(jié)論的“是”與“否”、“有”與“無(wú)”，可以一開(kāi)始，就綜合所有條件，進(jìn)行嚴(yán)格的推理與討論，則步驟所至，結(jié)論自明。理綜求準(zhǔn)求穩(wěn)求規(guī)范第一：認(rèn)真審題。審題要仔細(xì)，關(guān)鍵字眼不可疏忽。不要以為是“容易題”“陳題”就一眼帶過(guò)，要注意“陳題”中可能有“新意”。也不要一眼看上去認(rèn)為是“新題、難題”就畏難而放棄，要知道“難題”也可能只難在一點(diǎn)，“新題”只新在一處。第二：先易后難。試卷到手后，迅速瀏覽一遍所有試題，本著“先易后難”的原則，確定科學(xué)的答題順序，盡量減少答題過(guò)程中的學(xué)科轉(zhuǎn)換次數(shù)。高考試題的組卷原則是同類(lèi)題盡量按由易到難排列，建議大家由前向后順序答題，遇難題千萬(wàn)不要糾纏。第三：選擇題求穩(wěn)定。做選擇題時(shí)要心態(tài)平和，速度不能太快。生物、化學(xué)選擇題只有一個(gè)選項(xiàng)，不要選多個(gè)答案；對(duì)于沒(méi)有把握的題，先確定該題所考查的內(nèi)容，聯(lián)想平時(shí)所學(xué)的知識(shí)和方法選擇；若還不能作出正確選擇，也應(yīng)猜測(cè)一個(gè)答案，不要空題。物理題為不定項(xiàng)選擇，在沒(méi)有把握的情況下，確定一個(gè)答案后，就不要再猜其他答案，否則一個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，結(jié)果還是零分。選擇題做完后，建議大家立即涂卡，以免留下后患。第四：客觀(guān)題求規(guī)范。①用學(xué)科專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)表達(dá)。物理、化學(xué)和生物都