【高中數學】3數學歸納法

3數學歸納法課前預習學案一、預習目標：理解數學歸納法原理及其本質，掌握它的基本步驟與方法.能較好地理解“歸納奠基”和“歸納遞推”兩者缺一不可。二、預習內容：提出問題：問題1：前面學習歸納推理時，我們有一個問題沒有徹底解決.即對于數列/）,已知的=1, 1+%（n=1,2,3…），通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想出其通項公式&=一耳，但卻沒有進一步的檢驗和證明.問題2：大家玩過多米諾骨牌游戲嗎？這個游戲有怎樣的規(guī)劃？（多媒體演示多米諾骨牌游戲）這是一個碼放骨牌游戲，碼放時保證任意兩相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下.只要推倒第一塊骨牌，就必然導致第二塊骨牌倒下；而第二塊骨牌倒下，就必然導致第三塊骨牌倒下…最后，不論有多少塊骨牌都能全部倒下.討論問題：問題1、問題2有什么共同的特征？其結論成立的條件的共同特征是什么結論成立的條件：結論對第一個值成立；結論對前一個值成立，則對緊接著的下一個值也成立.上面兩個條件分別起怎樣的作用？它們之間有怎樣的關系？我們能否去掉其中的一個？你能舉反例說明嗎？在上述兩個條件中，第一個條件是歸納遞推的前提和基礎，沒有它，后面的遞推將無從談起；第二個步驟是核心和關鍵，是實現無限問題向有限問題轉化的橋梁與紐帶.1以產二一如在前面的問題1中，如果力不是1,而是2,那么就不可能得出 煜，因此第一步看似簡單，但卻是不可缺少的.而第二步顯然更加不可缺少.這一點在多米諾骨牌游戲中也可清楚地看出.解決問題：由上，證明一個與自然數n有關的命題，可按下列步驟進行：⑴證明當n取第一個值?。ㄆr命題成立；⑵假設n=k（kN%,七七".）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.由以上兩個步驟，可以斷定命題*⑻對從物開始的所有正整數n都成立.

這種證明方法叫做數學歸納法，它是證明與正整數n（n取無限多個值）有關、具有內在遞推關系的數學命題的重要工具.三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容n課內探究學案一、學習目標(1)了解由有限多個特殊事例得出的一般結論不一定正確。(2)初步理解數學歸納法原理。(3)理解和記住用數學歸納法證明數學命題的兩個步驟。(4)初步會用數學歸納法證明一些簡單的與正整數有關的恒等式。二、學習過程：例1、證明等差數列通項公式an=a1+(n-1)d：解析：(1)讓學生理解數學歸納法的嚴密性和合理性；(2)掌握從n二土到區(qū)二上14時等式左邊的變化情況。證明：(1)當n=1時等式成立；(2)假設當n=k時等式成立，即a^=a1+(k—1)d,則a^1=a^dd=a[+[(k+1)—1]d,即9=卜+1時等式也成立由(1)、(2)可知，等差數列的通項公式a=ad(n—1)d對任何n￡N*都成立.n1點評：利用數學歸納法證明和正整數相關的命題時，要注意以下三句話：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。a變式訓練1.在數列｛a｝中，a=1,a=一(neN*),先計算a,a,a的TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"n 1 nd11da 2 3 4n值，再推測通項an的公式，最后證明你的結論.例2、用數學歸納法證明1+上4一，+題 = *& 0E").解析：(1)進一步讓學生理解數學歸納法的嚴密性和合理性，從而從感性認識上升為理性認識；(2)掌握從"=上到力=大1"1時等式左邊的變化情況，合理的進行添項、拆項合并項等。123,= =1證明：(1) 時：左邊 ，右邊6 ，左邊二右邊，等式成立?！和僚浒佟谷?）伊+1）匕）假設當"=*口仁叼時有； 6時二左邊 ' ,fc(fc+l)(2Jt+l)+6(it+lf(i+l)(fc+2)(2Jt+3)(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]=右邊...當n= 時等式也成立。由（1）、（2）可知，對一切r七N，原等式均成立點評：利用數學歸納法證明和正整數相關的命題時，要注意以下三句話:遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。變式訓練2：用數學歸納法證明：1+3+5+…+（2n—1）=n2.反思總結:.歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性，必須用數學歸納法進行嚴格證明;.數學歸納法作為一種證明方法，用于證明一些與正整數有關數學命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過程必須是兩步，最后還有結論，缺一不可;

.遞推歸納時從“二金到1t?1，必須用到歸納假設，并進行適當的恒等變換。注意明等式時第一步中七二1時左右兩邊的形式，第二步中”二土14時應增加的式子；第二步中證明=命題成立是全局的主體，主要注意兩個，，湊，，：一是，，湊，，國二金時的形式(這樣才好利用歸納假設)，二是“湊”目標式。當堂檢測：.觀察式子：1+—<—,1+—+—<—,1+—+—+—<—,…，則可歸納出式子222 22323 2232424為()TOC\o"1-5"\h\zAI 1 1 1 1/ >c、1++—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n-11 1 1/ >?1+—+—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n+11 1 2n-1/ >c、1+—+—+…+—< (n/2)22 32 n2 n1 1 2n/ >1++—+…+—< (n/2)22 32 n2 2n+1答案：C.用數學歸納法證明：首項是、，公比是q的等比數列的通項公式是a(1-qn), 八a=aqn-1,前n項和公式是s二+ (q豐1).n1 n1-q課后練習與提高一、選擇題.用數學歸納法證明12+32+52+…+(2n-1)2=3n(4n2-1)過程中，由n=k遞推TOC\o"1-5"\h\z到9=卜+1時，不等式左邊增加的項為 ( )A.(2k)2 B.(2k+3)2 C.(2k+1)2D.(2k+2)2.凸n邊形有#n)條對角線，凸n+1邊形對角線 的條數f(n+1)為( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2.用數學歸納法證明不等式,+—+工+…=>13(n>2)的過程中，n+1n+2n+3 2n 24由n=k遞推到n=k+1時，不等式左邊 ( )A.增加了一項2(A.增加了一項2(k+1)B.增加了一項口+w1 1C.增加了C.增加了2k+1 2(k+1)D.增加了D.增加了“人”,又減少了“白二、填空題4.已知數列1

1^4.已知數列1

1^21 12^3,3義4,…，由此可猜測sn=.TOC\o"1-5"\h\z.若f(k)=1—一+——一H F ——,則f(k+1)=f(k)+ .234 2k-12k 三、解答題.由下歹U不等式：1>—,1H 1—>1,1H 1 \-1>—,1H 1 \-1 >2,2 23 23 72 23 15…，你能得到一個怎樣的一般不等式？并加以證明.n參考答案：1.C2.C3.C 4.--n+16.解：根據給出的幾個不等式可以猜想第n個不等式，即一般不等式為:1+—+—H1>n(neN*).23 2n-12用數學歸納法證明如下：(1)當n=1時，1>1，猜想成立;2(2)假設當n二k時，猜想成立，即1+1+1+???+23則當n=k+1時，11 1 1 1 1 1k1 1 1k 2k k+11++—++ +—+ +…+ >+—+ +…+ >+ = 23 2k-1 2k 2k +1 2k+1-1 22k 2k+1 2k+1-1 2 2k+1 2，即當n二k+1時，猜想也正確，所以對任意的neN*,不等式成立.高考數學：試卷答題攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜?？忌梢雷约旱慕忸}習慣和基本功，選擇執(zhí)行“六先六后”的戰(zhàn)術原則。1.先易后難。2.先熟后生。3.先同后異。先做同科同類型的題目。4.先小后大。先做信息量少、運算量小的題目，為解決大題贏得時間。5.先點后面。高考數學解答題多呈現為多問漸難式的“梯度題”，解答時不必一氣審到底，應走一步解決一步，步步為營，由點到面。6.先高后低。即在考試的后半段時間，如估計兩題都會做，則先做高分題；估計兩題都不易，則先就高分題實施“分段得分”。二、一慢一快，相得益彰，規(guī)范書寫，確保準確，力爭對全。審題要慢，解答要快。在以快為上的前提下，要穩(wěn)扎穩(wěn)打，步步準確。假如速度與準確不可兼得的話，就只好舍快求對了。三、面對難題，以退求進，立足特殊，發(fā)散一般，講究策略，爭取得分。對于一個較一般的問題，若一時不能取得一般思路，可以采取化一般為特殊，化抽象為具體。對不能全面完成的題目有兩種常用方法：1.缺步解答。將疑難的問題劃分為一個個子問題或一系列的步驟，每進行一步就可得到一步的分數。2.跳步解答。若題目有兩問，第一問做不上，可以第一問為“已知”，完成第二問。四、執(zhí)果索因，逆向思考，正難則反，回避結論的肯定與否定。對一個問題正面思考受阻時，就逆推，直接證有困難就反證。對探索性問題，不必追求結論的“是”與“否”、“有”與“無”，可以一開始，就綜合所有條件，進行嚴格的推理與討論，則步驟所至，結論自明。理綜求準求穩(wěn)求規(guī)范第一：認真審題。審題要仔細，關鍵字眼不可疏忽。不要以為是“容易題”“陳題”就一眼帶過，要注意“陳題”中可能有“新意”。也不要一眼看上去認為是“新題、難題”就畏難而放棄，要知道“難題”也可能只難在一點，“新題”只新在一處。第二：先易后難。試卷到手后，迅速瀏覽一遍所有試題，本著“先易后難”的原則，確定科學的答題順序，盡量減少答題過程中的學科轉換次數。高考試題的組卷原則是同類題盡量按由易到難排列，建議大家由前向后順序答題，遇難題千萬不要糾纏。第三：選擇題求穩(wěn)定。做選擇題時要心態(tài)平和，速度不能太快。生物、化學選擇題只有一個選項，不要選多個答案；對于沒有把握的題，先確定該題所考查的內容，聯想平時所學的知識和方法選擇；若還不能作出正確選擇，也應猜測一個答案，不要空題。物理題為不定項選擇，在沒有把握的情況下，確定一個答案后，就不要再猜其他答案，否則一個正確，一個錯誤，結果還是零分。選擇題做完后，建議大家立即涂卡，以免留下后患。第四：客觀題求規(guī)范。①用學科專業(yè)術語表達。物理、化學和生物都