實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019_2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019_2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析PAGE25-廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019_2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019—2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析)一?選擇題：（每小題5分,共60分）1。已知集合A={x｜x2﹣x0},，則A∩B=（)A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，集合B,再利用交集的定義求解。【詳解】因?yàn)榧螦=｛x｜x2﹣x0｝，,所以A∩B=.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2.若a〉b，則A。ln(a?b)〉0 B.3a〈3bC.a3?b3>0 D。│a│〉│b│【答案】C【解析】【分析】本題也可用直接法，因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí),，知A錯(cuò)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故B錯(cuò);因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯(cuò)．【詳解】取，滿足,，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)椋狟錯(cuò)，排除B；取，滿足，,知D錯(cuò)，排除D,因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．3。已知，則等于（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【詳解】因?yàn)閠anθ=3，∴=故選B．4。如圖，若,，，是線段靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn),則下列等式成立的是()A. B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案.【詳解】。故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型．5。函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,它的最小正周期為，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(）A。 B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】分析】由周期求出,再由圖象關(guān)于直線對(duì)稱，求得，得到函數(shù)，求得,從而得到圖象的一個(gè)對(duì)稱中心.【詳解】由,解得,可得，再由函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故，故可取，故函數(shù)，令，可得，故函數(shù)對(duì)稱中心,令可得函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題。由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為;由可得對(duì)稱軸方程;由可得對(duì)稱中心橫坐標(biāo).6。已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若，則P與△ABC的位置關(guān)系是(）A.P在△ABC外部 B。P在線段AB上C。P在線段AC上 D.P在線段BC上【答案】B【解析】【分析】根據(jù),通過(guò)加減運(yùn)算整理為，再利用共線向量定理判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以P在線段AB上.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的加減運(yùn)算和共線向量定理，屬于基礎(chǔ)題。7。下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A.y=x2 B. C。y=2|x｜ D。y=cosx【答案】B【解析】【分析】A.根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性，根據(jù)的圖象判斷單調(diào)性.B.根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性,根據(jù)的圖象判斷單調(diào)性.C.根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性，根據(jù)的圖象判斷單調(diào)性。D。根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性，根據(jù)的圖象判斷單調(diào)性?！驹斀狻恳?yàn)?，所以是偶函?shù)，又因?yàn)樵?0，+∞)上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤。因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又因?yàn)?，在?，+∞)上單調(diào)遞減,故B正確.因?yàn)?所以是偶函數(shù)，又因?yàn)樵冢?,+∞）上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤。因?yàn)?，所以是偶函?shù)，又因?yàn)樵?0,+∞）上不單調(diào),故D錯(cuò)誤.故選;D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性和基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。8。若并且（)A. B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】∵α、β均為銳角且α＜β,∴＜α—β＜0，∵cos（α—β）=，∴sin（α—β）=∵cos2α=，α為銳角∴sin2α=，∴cos（α+β)=cos［2α-（α—β)］=cos

2αcos（α—β)+sin

2αsin

（α-β）=,∵α+β∈（0,π），∴α+β=．本題選擇C選項(xiàng).9.下列給出的關(guān)系式中正確的是()A。 B。若∥,∥，則∥C.∥?在上的投影為|｜ D.(）?()=0【答案】D【解析】【分析】A.根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷.B.取判斷.C.根據(jù)∥時(shí)，夾角為或判斷.D.由數(shù)量積的運(yùn)算判斷.【詳解】A。由數(shù)量積的運(yùn)算律得，故A錯(cuò)誤.B.當(dāng)時(shí)，不成立。故B錯(cuò)誤.C。當(dāng)∥時(shí)，夾角為或，所以在上的投影為故C錯(cuò)誤.D。由數(shù)量積的運(yùn)算得()?（）=，故D正確。故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律,投影及基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10。冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí),在區(qū)間上它們的圖像是一組美麗的曲線(如圖）,設(shè)點(diǎn)，連結(jié),線段恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)的圖像三等分，即有，那么(）A.0 B。1 C。 D。2【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題意結(jié)合圖形分別確定的坐標(biāo)，然后分別代入中求得的值，最后再求出的值，即可得出答案．【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)，所以分別代入中,所以故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了對(duì)數(shù)的計(jì)算法則，考查了計(jì)算能力與推理能力,是基礎(chǔ)題．11.將函數(shù)和直線g(x）=x﹣1的所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1,A2,A3,An…，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則()A。 B. C。 D。0【答案】A【解析】【分析】在同一坐標(biāo)系中作出和g（x)=x﹣1的圖象，所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1,A2，A3,A4，A5，根據(jù)為的一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，得到關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱,再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到求解.【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出和g(x)=x﹣1的圖象，如圖所示:所有交點(diǎn)從左到右依次記為A1,A2，A3，A4,A5，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)對(duì)稱點(diǎn),所以關(guān)于對(duì)稱,關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象和平面向量的運(yùn)算,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題。12.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)集,Q為有理數(shù)集，以下命題正確的個(gè)數(shù)是（)下面給出關(guān)于狄利克雷函數(shù)f（x）的五個(gè)結(jié)論：①對(duì)于任意的x∈R，都有f(f（x）)=1;②函數(shù)f(x）偶函數(shù)；③函數(shù)f（x）的值域是｛0,1}；④若T≠0且T為有理數(shù)，則f（x+T)=f(x）對(duì)任意的x∈R恒成立；⑤在f（x）圖象上存在不同的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,使得△ABC為等邊角形。A。2 B.3 C。4 D.5【答案】D【解析】【分析】①分，兩種情況從內(nèi)到外，利用求值判斷。②分，兩種情況,利用奇偶性定義判斷.③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，判斷.④分,兩種情況，利用周期函數(shù)的定義判斷.⑤取，判斷.【詳解】①當(dāng)時(shí)，,則;當(dāng)時(shí)，，則，所以對(duì)于任意的x∈R，都有f(f（x)）=1;故正確。②當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)f(x)偶函數(shù);故正確。③當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)f(x)的值域是｛0，1｝;故正確。④當(dāng)時(shí),因?yàn)門≠0且T為有理數(shù)，所以，則f（x+T)=1=f(x）；當(dāng)時(shí)，因?yàn)門≠0且T為有理數(shù),所以，則f(x+T）=0=f(x)，所以對(duì)任意的x∈R恒成立;故正確.⑤取,構(gòu)成以為邊長(zhǎng)的等邊三角形，故正確。故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)新定義問(wèn)題和函數(shù)的基本性質(zhì)，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題。二?填空題：（每小題5分，共20分)13。已知向量（﹣2，3),(x,1）,若⊥,則實(shí)數(shù)x的值是_____.【答案】【解析】【分析】已知向量（﹣2，3），（x，1）,根據(jù)⊥,利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解?！驹斀狻恳阎蛄?﹣2,3)，（x，1),因?yàn)椤?，所以解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.14.計(jì)算_____?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)求解.【詳解】，,.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù),指數(shù)的運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題。15.已知,若不等式對(duì)任意的恒成立，則整數(shù)的最小值為_(kāi)_____________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以不等式對(duì)任意的恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)的最小值為1.16.如圖所示，矩形ABCD的邊AB=2,AD=1,以點(diǎn)C為圓心,CB為半徑的圓與CD交于點(diǎn)E,若點(diǎn)P是圓弧(含端點(diǎn)B?E)上的一點(diǎn)，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】以點(diǎn)C為原點(diǎn),以直線EC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A(﹣2,﹣1)，B(0，﹣1），設(shè)P（cosθ,sinθ），,，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】如圖所示：以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以直線EC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：A（﹣2，﹣1),B（0，﹣1)，設(shè)P(cosθ，sinθ)，()，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題。三?解答題：（共70分）17.已知非零向量滿足,且。(1)求;（2）當(dāng)時(shí),求和向量與的夾角的值.【答案】（1);（2)1，?！窘馕觥俊痉治觥?1)根據(jù),得到，再將代入求解.(2）利用求向量模的公式求解；利用向量的夾角公式，求的值.【詳解】（1）∵,且,∴，則，∴;（2），∴;∴，∵0≤θ≤π，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積綜合運(yùn)算及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題。18。已知函數(shù)。(1)求函數(shù)f(x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;（2)求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合.【答案】(1)最小正周期Tπ，單調(diào)遞減區(qū)間為［,］，(k∈Z).(2)最大值為，x的取值集合為：{x｜x,k∈Z｝.【解析】【分析】(1)將，利用兩角和與差的正弦公式轉(zhuǎn)化為：sin(2x)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.(2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)，k∈Z時(shí),函數(shù)f(x）取得最大值求解?！驹斀狻?1)∵函數(shù)=2（sinxcoscosxsin）cosx﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2xsin（2x），∴函數(shù)f（x)的最小正周期Tπ，由2k，k∈Z，解得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[，］,(k∈Z）.（2）∵f(x)，∴函數(shù)f（x）的最大值為，取得最大值時(shí)x的取值集合滿足:,k∈Z.解得x,k∈Z?！嗪瘮?shù)f（x)取得最大值時(shí)x的取值集合為:{x|x，k∈Z｝.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19.已知向量且函數(shù),若函數(shù)f（x)的圖象上兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸距離為。（1）求函數(shù)f（x)的解析式;（2）將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的表達(dá)式并其對(duì)稱軸;（3）若方程f(x)=m(m〉0）在時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根x1，x2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并求出x1+x2的值.【答案】（1)；（2），對(duì)稱軸為;(3)，,?！窘馕觥俊痉治觥浚?)根據(jù)向量和函數(shù)，利用數(shù)量積結(jié)合倍角公式和輔助角法得到，，再根據(jù)函數(shù)f（x)的圖象上兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸距離為求解.（2）依據(jù)左加右減，將函數(shù)y=f(x）的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，令求其對(duì)稱軸.(3）作出函數(shù)f（x）在上圖象，根據(jù)函數(shù)y=f（x)與直線y=m在上有兩個(gè)交點(diǎn)求解.再令，求對(duì)稱軸?！驹斀狻?1），∵函數(shù)f(x)的圖象上兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸距離為，∴，∴，∴ω=1,故函數(shù)f（x）的解析式為;(2)依題意，，令，則，∴函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為；(3)∵,∴，∴，函數(shù)f(x）在上的草圖如下，依題意,函數(shù)y=f(x）與直線y=m在上有兩個(gè)交點(diǎn),則，令，則，∴函數(shù)f(x）在上的對(duì)稱軸為，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量和三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20。已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)。（1）求實(shí)數(shù)的值,并說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性；(2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【答案】（1)見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）由f(x）是冪函數(shù)，得到m2﹣m﹣1＝1，再由f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增,得到﹣2m﹣1＞0,從而求出m＝﹣1，進(jìn)而g（x）,由此能求出函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增；(2）由g（﹣x)＝2﹣x（）＝﹣g（x）,得到g（x）是奇函數(shù),從而不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0可變?yōu)間（1﹣3t）≥﹣g（1+t）＝g(﹣1﹣t），由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或,又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以,即，即,則，因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?，所以是奇函?shù)，所以不等式可變?yōu)?，?1)知在上單調(diào)遞增,所以，解得。【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查冪函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．21.如圖一塊長(zhǎng)方形區(qū)域ABCD，AD=2(km),AB=1（km)。在邊AD的中點(diǎn)O處，有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈,其照射角∠EOF始終為,設(shè)∠AOE=,探照燈O照射在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.（1）當(dāng)0≤時(shí),寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來(lái)回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC,再回到OA，稱“一個(gè)來(lái)回”，忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用時(shí)間),且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G，且∠AOG，求點(diǎn)G在“一個(gè)來(lái)回"中,被照到的時(shí)間.【答案】(1）,S（2)2分鐘【解析】分析】(1）根據(jù)AD=2，AB=1，0≤，確定點(diǎn)E,F的位置，分0≤，，兩種情況，利用三角形面積公式求解.(2)先得到“一個(gè)來(lái)回”中，OE共轉(zhuǎn)了2，其中點(diǎn)G被照到時(shí),共轉(zhuǎn)了2，再利用角度關(guān)系求解.【詳解】如圖所示:（1）過(guò)O作OH⊥BC,H為垂足.①當(dāng)0≤時(shí),E邊AB上，F(xiàn)在線段BH上(如圖①），此時(shí)，AE=tan，F(xiàn)H=tan（），∴S=S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF=1tantan(）。②當(dāng)時(shí),E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖②）,此時(shí)，EH,FH，可得EF?！郤=S△OEF（)。綜上所述，S（2）在“一個(gè)來(lái)回”中，OE共轉(zhuǎn)了2，其中點(diǎn)G被照到時(shí)，共轉(zhuǎn)了2∴在“一個(gè)來(lái)回”中,點(diǎn)G被照到的時(shí)間為92（分鐘）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)再平面幾何中的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22.對(duì)數(shù)函數(shù)g（x)=1ogax（a＞0，a≠1）和指數(shù)函數(shù)f（x)=ax（a＞0，a≠1）互為反函數(shù)．已知函數(shù)f（x)=3x，其反函數(shù)為y=g（x）．（Ⅰ)若函數(shù)g(kx2+2x+1）的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g(x1)|=｜g（x2）|,求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定義在I上的函數(shù)F（x），如果滿足：對(duì)任意x∈I，總存在常數(shù)M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數(shù)F（x)是I上的有界函數(shù)，其中M為函數(shù)F（x)的上界．若函數(shù)h（x）=，當(dāng)m≠0時(shí)，探求函數(shù)h（x）在x∈[0,1］上是否存在上界M，若存在,求出M的取值范圍，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(Ⅰ)k＞1；（Ⅱ)4；（Ⅲ）見(jiàn)解析【解析】【分析】（Ⅰ）因?yàn)間(x)=1ogax與f(x）=3x，互為反函數(shù)，所以a=3，得g（kx2+2x+1）=log3(kx2+2x+1)的定義域?yàn)镽，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范圍；（Ⅱ)由|g（x1）｜=｜g（x2）｜，得｜log3x1｜=｜log3x2｜,分析化簡(jiǎn)得x1x2=1，4x1+x2=4x1+,利用雙勾函數(shù)求其最值；（Ⅲ）由h（x）==－1+,分m＞0和m＜0分別求出h（x）的取值范圍，然后討論其上下界.【詳解】（Ⅰ)由題意得g(x)=log3x，因?yàn)間（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定義域?yàn)镽，所以kx2+2x+1＞0恒成立，當(dāng)k=0時(shí)不滿足條件，當(dāng)k≠0時(shí)，若不等式恒成立，則，即,解得k＞1；(Ⅱ）由｜