實驗中學2019-2020學年高一數(shù)學上學期期末考試試題含解析

廣東省實驗中學2019_2020學年高一數(shù)學上學期期末考試試題含解析廣東省實驗中學2019_2020學年高一數(shù)學上學期期末考試試題含解析PAGE25-廣東省實驗中學2019_2020學年高一數(shù)學上學期期末考試試題含解析廣東省實驗中學2019—2020學年高一數(shù)學上學期期末考試試題（含解析)一?選擇題：（每小題5分,共60分）1。已知集合A={x｜x2﹣x0},，則A∩B=（)A. B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】先化簡集合A，集合B,再利用交集的定義求解。【詳解】因為集合A=｛x｜x2﹣x0｝，,所以A∩B=.故選：B【點睛】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題。2.若a〉b，則A。ln(a?b)〉0 B.3a〈3bC.a3?b3>0 D。│a│〉│b│【答案】C【解析】【分析】本題也可用直接法，因為,所以,當時,，知A錯，因為是增函數(shù)，所以，故B錯;因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，知C正確；取，滿足，，知D錯．【詳解】取，滿足,，知A錯，排除A；因為，知B錯，排除B；取，滿足，,知D錯，排除D,因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)性質、指數(shù)函數(shù)性質、冪函數(shù)性質及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．3。已知，則等于（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【詳解】因為tanθ=3，∴=故選B．4。如圖，若,，，是線段靠近點的一個四等分點,則下列等式成立的是()A. B.C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運算即可求出答案.【詳解】。故選C.【點睛】本題考查的知識要點：向量的線性運算，主要考查學生的運算能力和轉化能力,屬于基礎題型．5。函數(shù)的圖象關于直線對稱,它的最小正周期為，則函數(shù)圖象的一個對稱中心是(）A。 B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】分析】由周期求出,再由圖象關于直線對稱，求得，得到函數(shù)，求得,從而得到圖象的一個對稱中心.【詳解】由,解得,可得，再由函數(shù)圖象關于直線對稱，故，故可取，故函數(shù)，令，可得，故函數(shù)對稱中心,令可得函數(shù)圖象的對稱中心是，故選D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題。由函數(shù)可求得函數(shù)的周期為;由可得對稱軸方程;由可得對稱中心橫坐標.6。已知平面內一點P及△ABC，若，則P與△ABC的位置關系是(）A.P在△ABC外部 B。P在線段AB上C。P在線段AC上 D.P在線段BC上【答案】B【解析】【分析】根據(jù),通過加減運算整理為，再利用共線向量定理判斷.【詳解】因為，所以，所以，所以P在線段AB上.故選：B【點睛】本題主要考查平面向量的加減運算和共線向量定理，屬于基礎題。7。下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減的函數(shù)是()A.y=x2 B. C。y=2|x｜ D。y=cosx【答案】B【解析】【分析】A.根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性，根據(jù)的圖象判斷單調性.B.根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性,根據(jù)的圖象判斷單調性.C.根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性，根據(jù)的圖象判斷單調性。D。根據(jù)奇偶性的定義判斷奇偶性，根據(jù)的圖象判斷單調性?！驹斀狻恳驗?，所以是偶函數(shù)，又因為在(0，+∞)上單調遞增，故A錯誤。因為，所以是偶函數(shù)，又因為，在（0，+∞)上單調遞減,故B正確.因為,所以是偶函數(shù)，又因為在（0,+∞）上單調遞增，故C錯誤。因為，所以是偶函數(shù)，又因為在(0,+∞）上不單調,故D錯誤.故選;D【點睛】本題主要考查函數(shù)單調性和奇偶性和基本函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題。8。若并且（)A. B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】∵α、β均為銳角且α＜β,∴＜α—β＜0，∵cos（α—β）=，∴sin（α—β）=∵cos2α=，α為銳角∴sin2α=，∴cos（α+β)=cos［2α-（α—β)］=cos

2αcos（α—β)+sin

2αsin

（α-β）=,∵α+β∈（0,π），∴α+β=．本題選擇C選項.9.下列給出的關系式中正確的是()A。 B。若∥,∥，則∥C.∥?在上的投影為|｜ D.(）?()=0【答案】D【解析】【分析】A.根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷.B.取判斷.C.根據(jù)∥時，夾角為或判斷.D.由數(shù)量積的運算判斷.【詳解】A。由數(shù)量積的運算律得，故A錯誤.B.當時，不成立。故B錯誤.C。當∥時，夾角為或，所以在上的投影為故C錯誤.D。由數(shù)量積的運算得()?（）=，故D正確。故選：D【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算律,投影及基本運算,屬于基礎題.10。冪函數(shù)，當取不同的正數(shù)時,在區(qū)間上它們的圖像是一組美麗的曲線(如圖）,設點，連結,線段恰好被其中的兩個冪函數(shù)的圖像三等分，即有，那么(）A.0 B。1 C。 D。2【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)題意結合圖形分別確定的坐標，然后分別代入中求得的值，最后再求出的值，即可得出答案．【詳解】因為，點，所以分別代入中,所以故選A．【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質以及指數(shù)與對數(shù)的轉化，考查了數(shù)形結合思想，考查了對數(shù)的計算法則，考查了計算能力與推理能力,是基礎題．11.將函數(shù)和直線g(x）=x﹣1的所有交點從左到右依次記為A1,A2,A3,An…，若P點坐標為（0，1），則()A。 B. C。 D。0【答案】A【解析】【分析】在同一坐標系中作出和g（x)=x﹣1的圖象，所有交點從左到右依次記為A1,A2，A3,A4，A5，根據(jù)為的一個對稱點，得到關于對稱，關于對稱,再用中點坐標公式得到求解.【詳解】在同一坐標系中作出和g(x)=x﹣1的圖象，如圖所示:所有交點從左到右依次記為A1,A2，A3，A4,A5，因為是的一個對稱點,所以關于對稱,關于對稱，所以，所以，因為，所以.故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象和平面向量的運算,還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題。12.德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著,以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集，以下命題正確的個數(shù)是（)下面給出關于狄利克雷函數(shù)f（x）的五個結論：①對于任意的x∈R，都有f(f（x）)=1;②函數(shù)f(x）偶函數(shù)；③函數(shù)f（x）的值域是｛0,1}；④若T≠0且T為有理數(shù)，則f（x+T)=f(x）對任意的x∈R恒成立；⑤在f（x）圖象上存在不同的三個點A,B,C,使得△ABC為等邊角形。A。2 B.3 C。4 D.5【答案】D【解析】【分析】①分，兩種情況從內到外，利用求值判斷。②分，兩種情況,利用奇偶性定義判斷.③當時，；當時，判斷.④分,兩種情況，利用周期函數(shù)的定義判斷.⑤取，判斷.【詳解】①當時，,則;當時，，則，所以對于任意的x∈R，都有f(f（x)）=1;故正確。②當時，，；當時，，，所以函數(shù)f(x)偶函數(shù);故正確。③當時,；當時，，所以函數(shù)f(x)的值域是｛0，1｝;故正確。④當時,因為T≠0且T為有理數(shù)，所以，則f（x+T)=1=f(x）；當時，因為T≠0且T為有理數(shù),所以，則f(x+T）=0=f(x)，所以對任意的x∈R恒成立;故正確.⑤取,構成以為邊長的等邊三角形，故正確。故選：D【點睛】本題主要考查了函數(shù)新定義問題和函數(shù)的基本性質，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題。二?填空題：（每小題5分，共20分)13。已知向量（﹣2，3),(x,1）,若⊥,則實數(shù)x的值是_____.【答案】【解析】【分析】已知向量（﹣2，3），（x，1）,根據(jù)⊥,利用數(shù)量積的坐標運算求解?！驹斀狻恳阎蛄?﹣2,3)，（x，1),因為⊥，所以解得故答案為：【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運算，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.14.計算_____?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)指數(shù)、對數(shù)的運算法則和性質求解.【詳解】，,.故答案為：【點睛】本題主要考查了對數(shù),指數(shù)的運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題。15.已知,若不等式對任意的恒成立，則整數(shù)的最小值為______________．【答案】【解析】因為函數(shù)為單調遞增函數(shù)，且，所以不等式對任意的恒成立，等價于對任意的恒成立，設，則，當時，；當時的最小值為1.16.如圖所示，矩形ABCD的邊AB=2,AD=1,以點C為圓心,CB為半徑的圓與CD交于點E,若點P是圓弧(含端點B?E)上的一點，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】以點C為原點,以直線EC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，A(﹣2,﹣1)，B(0，﹣1），設P（cosθ,sinθ），,，再利用數(shù)量積的坐標運算得，然后利用三角函數(shù)的性質求解.【詳解】如圖所示：以點C為原點，以直線EC為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則：A（﹣2，﹣1),B（0，﹣1)，設P(cosθ，sinθ)，()，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范圍是.故答案為:【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運算以及三角函數(shù)的性質，還考查了運算求解的能力,屬于中檔題。三?解答題：（共70分）17.已知非零向量滿足,且。(1)求;（2）當時,求和向量與的夾角的值.【答案】（1);（2)1，?！窘馕觥俊痉治觥?1)根據(jù),得到，再將代入求解.(2）利用求向量模的公式求解；利用向量的夾角公式，求的值.【詳解】（1）∵,且,∴，則，∴;（2），∴;∴，∵0≤θ≤π，∴.【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積綜合運算及其應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題。18。已知函數(shù)。(1)求函數(shù)f(x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間;（2)求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的取值集合.【答案】(1)最小正周期Tπ，單調遞減區(qū)間為［,］，(k∈Z).(2)最大值為，x的取值集合為：{x｜x,k∈Z｝.【解析】【分析】(1)將，利用兩角和與差的正弦公式轉化為：sin(2x)，再利用正弦函數(shù)的性質求解.(2）利用正弦函數(shù)的性質，當，k∈Z時,函數(shù)f(x）取得最大值求解?！驹斀狻?1)∵函數(shù)=2（sinxcoscosxsin）cosx﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2xsin（2x），∴函數(shù)f（x)的最小正周期Tπ，由2k，k∈Z，解得函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為[，］,(k∈Z）.（2）∵f(x)，∴函數(shù)f（x）的最大值為，取得最大值時x的取值集合滿足:,k∈Z.解得x,k∈Z。∴函數(shù)f（x)取得最大值時x的取值集合為:{x|x，k∈Z｝.【點睛】本題主要考查了兩角和與差的三角函數(shù)和三角函數(shù)的性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.19.已知向量且函數(shù),若函數(shù)f（x)的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為。（1）求函數(shù)f（x)的解析式;（2）將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的表達式并其對稱軸;（3）若方程f(x)=m(m〉0）在時，有兩個不同實數(shù)根x1，x2，求實數(shù)m的取值范圍,并求出x1+x2的值.【答案】（1)；（2），對稱軸為;(3)，,?！窘馕觥俊痉治觥浚?)根據(jù)向量和函數(shù)，利用數(shù)量積結合倍角公式和輔助角法得到，，再根據(jù)函數(shù)f（x)的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為求解.（2）依據(jù)左加右減，將函數(shù)y=f(x）的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)，令求其對稱軸.(3）作出函數(shù)f（x）在上圖象，根據(jù)函數(shù)y=f（x)與直線y=m在上有兩個交點求解.再令，求對稱軸。【詳解】(1），∵函數(shù)f(x)的圖象上兩個相鄰的對稱軸距離為，∴，∴，∴ω=1,故函數(shù)f（x）的解析式為;(2)依題意，，令，則，∴函數(shù)g(x)的對稱軸為；(3)∵,∴，∴，函數(shù)f(x）在上的草圖如下，依題意,函數(shù)y=f(x）與直線y=m在上有兩個交點,則，令，則，∴函數(shù)f(x）在上的對稱軸為，則.【點睛】本題主要考查了平面向量和三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質及其應用，還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20。已知冪函數(shù)在上單調遞增，又函數(shù)。（1）求實數(shù)的值,并說明函數(shù)的單調性；(2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?)見解析；（2）【解析】【分析】（1）由f(x）是冪函數(shù)，得到m2﹣m﹣1＝1，再由f（x）在（0，+∞）上單調遞增,得到﹣2m﹣1＞0,從而求出m＝﹣1，進而g（x）,由此能求出函數(shù)g（x）在R上單調遞增；(2）由g（﹣x)＝2﹣x（）＝﹣g（x）,得到g（x）是奇函數(shù),從而不等式g（1﹣3t）+g（1+t）≥0可變?yōu)間（1﹣3t）≥﹣g（1+t）＝g(﹣1﹣t），由此能求出實數(shù)t的取值范圍．【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，所以，解得或,又因為在上單調遞增，所以,即，即,則，因為與均在上單調遞增，所以函數(shù)在上單調遞增.（2）因為，所以是奇函數(shù)，所以不等式可變?yōu)?，?1)知在上單調遞增,所以，解得?！军c睛】本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調性的判斷，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查冪函數(shù)的性質等基礎知識,考查運算求解能力，是基礎題．21.如圖一塊長方形區(qū)域ABCD，AD=2(km),AB=1（km)。在邊AD的中點O處，有一個可轉動的探照燈,其照射角∠EOF始終為,設∠AOE=,探照燈O照射在長方形ABCD內部區(qū)域的面積為S.（1）當0≤時,寫出S關于的函數(shù)表達式；（2）若探照燈每9分鐘旋轉“一個來回”（OE自OA轉到OC,再回到OA，稱“一個來回”，忽略OE在OA及OC反向旋轉時所用時間),且轉動的角速度大小一定,設AB邊上有一點G，且∠AOG，求點G在“一個來回"中,被照到的時間.【答案】(1）,S（2)2分鐘【解析】分析】(1）根據(jù)AD=2，AB=1，0≤，確定點E,F的位置，分0≤，，兩種情況，利用三角形面積公式求解.(2)先得到“一個來回”中，OE共轉了2，其中點G被照到時,共轉了2，再利用角度關系求解.【詳解】如圖所示:（1）過O作OH⊥BC,H為垂足.①當0≤時,E邊AB上，F(xiàn)在線段BH上(如圖①），此時，AE=tan，F(xiàn)H=tan（），∴S=S正方形OABH﹣S△OAE﹣S△OHF=1tantan(）。②當時,E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖②）,此時，EH,FH，可得EF?！郤=S△OEF（)。綜上所述，S（2）在“一個來回”中，OE共轉了2，其中點G被照到時，共轉了2∴在“一個來回”中,點G被照到的時間為92（分鐘）.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)再平面幾何中的應用,還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.22.對數(shù)函數(shù)g（x)=1ogax（a＞0，a≠1）和指數(shù)函數(shù)f（x)=ax（a＞0，a≠1）互為反函數(shù)．已知函數(shù)f（x)=3x，其反函數(shù)為y=g（x）．（Ⅰ)若函數(shù)g(kx2+2x+1）的定義域為R,求實數(shù)k的取值范圍；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g(x1)|=｜g（x2）|,求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定義在I上的函數(shù)F（x），如果滿足：對任意x∈I，總存在常數(shù)M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數(shù)F（x)是I上的有界函數(shù)，其中M為函數(shù)F（x)的上界．若函數(shù)h（x）=，當m≠0時，探求函數(shù)h（x）在x∈[0,1］上是否存在上界M，若存在,求出M的取值范圍，若不存在,請說明理由．【答案】(Ⅰ)k＞1；（Ⅱ)4；（Ⅲ）見解析【解析】【分析】（Ⅰ）因為g(x)=1ogax與f(x）=3x，互為反函數(shù)，所以a=3，得g（kx2+2x+1）=log3(kx2+2x+1)的定義域為R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，可求解k的范圍；（Ⅱ)由|g（x1）｜=｜g（x2）｜，得｜log3x1｜=｜log3x2｜,分析化簡得x1x2=1，4x1+x2=4x1+,利用雙勾函數(shù)求其最值；（Ⅲ）由h（x）==－1+,分m＞0和m＜0分別求出h（x）的取值范圍，然后討論其上下界.【詳解】（Ⅰ)由題意得g(x)=log3x，因為g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定義域為R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，當k=0時不滿足條件，當k≠0時，若不等式恒成立，則，即,解得k＞1；(Ⅱ）由｜