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認證主體：劉**（實名認證）

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文檔來源網(wǎng)絡僅供參考侵權刪除專題01玩轉指對冪比較大小【方法技巧與總結】（1）利用函數(shù)與方程的思想，構造函數(shù)，結合導數(shù)研究其單調性或極值，從而確定a，b，c的大小.（2）指、對、冪大小比較的常用方法：①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調性；②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調性比較大小；③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調性比較大??；④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定.（3）轉化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標（4）特殊值法（5）估算法（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【題型歸納目錄】題型一：直接利用單調性題型二：引入媒介值題型三：含變量問題題型四：構造函數(shù)題型五：數(shù)形結合題型六：特殊值法、估算法題型七：放縮法題型八：不定方程【典例例題】題型一：直接利用單調性例1．（2022·江西·二模（文））已知，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)的單調性比較大小即可.【詳解】，因為在是單調遞增函數(shù)，所以，因為在是單調遞增函數(shù)，所以所以，故選：C.例2．（2022·陜西西安·一模（理））已知，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質比較大小【詳解】先比較，易知,故，即又，故時，時故，而，故，有故選：A例3．（2022·河南·許昌高中高三開學考試（文））已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)的運算可知，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性可比較大小，進而得解.【詳解】，，，又為定義域上的增函數(shù)，所以.故選：D題型二：引入媒介值例4．（2022·全國·高三專題練習）若，，，則、、的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質可得，，然后利用對數(shù)的運算化為同底并結合對數(shù)函數(shù)的單調性，可比較出的大小關系，分別與中間值比較，得出，分別與中間值比較，得出，綜合即可選出答案.【詳解】解：由題意，，，，即，，，而，所以，，而，即，又，，而，則，即，同理，，，而，則，即，綜上得：，所以.故選：D.例5．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））已知實數(shù)a，b，c滿足，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】分別求出，，的大致范圍，即可比較，，的大小.【詳解】由題意得，，故；，因，根據(jù)對勾函數(shù)得，因此；由勾股數(shù)可知，又因且，故；因此.故選：C.例6．（2022·廣東茂名·模擬預測）已知，則a，b，c的大小關系是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】判斷sin2和的大小，比較a與、b與、c與的大小可判斷a與b大小關系及b與c大小關系，判斷a與、c與的大小可判斷a與c大小關系，從而可判斷a、b、c大小關系．【詳解】，，即b，∴a>b；∵，，∴，；∵，，，；．故選：D．【點睛】本題關鍵是利用正弦函數(shù)的值域求出sin2的范圍，以和兩個值作為中間值，比較a、b、c與中間值的大小即可判斷a、b、c的大?。?．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為A． B．C． D．【答案】D【解析】先由題，易知，而，再將b，c作商，利用對數(shù)的運算以及基本不等式，求得比值與1作比較即可得出答案.【詳解】因為，故所以，即故選D【點睛】本題考查了對數(shù)的運算以及基本不等式的綜合，解題的關鍵是在于運算的技巧以及性質，屬于中檔偏上題型.例8．（2022·北京通州·模擬預測）已知，，，則，，的大小關系（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質判斷即可；【詳解】解：因為，即，又，即，所以，即，綜上可得，故選：A題型三：含變量問題例9．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知構造函數(shù)，可得的圖象關于直線對稱.再求導，運用導函數(shù)的正負研究函數(shù)的單調性，最后由角的范圍得出三角函數(shù)的范圍可得選項.【詳解】由題可設，因為，所以的圖象關于直線對稱.因為，當時，，所以，，，所以，所以在上單調遞增，由對稱性可知在上單調遞減.因為，所以，所以；又，，由對稱性可知，且，因為，所以，又在上單調遞減，所以，所以，故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查比較大小，關鍵在于構造合適的函數(shù)，并運用導函數(shù)得出函數(shù)的單調性和對稱性得以解決.例10．（2022·江西宜春·模擬預測（文））已知實數(shù)x，y，，且滿足，，則x，y，z大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，構造函數(shù)，借助函數(shù)單調性比較大小即得.【詳解】因，，則，即，令，則，函數(shù)在上單調遞增，有，即，從而當時，，令，，在上單調遞減，則由，得，所以.故選：A【點睛】思路點睛：涉及不同變量結構相似的式子相等，細心挖掘問題的內在聯(lián)系，構造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調性求解作答.例11．（2022·天津·高三專題練習）已知，記，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性求解.【詳解】解：因為，所以，所以，故選：A例12．（2022·安徽·合肥一中高三階段練習（文））若2<m<e，則，me，的大小關系為（

）A．>>me B．me>> C．me>> D．>me>【答案】D【解析】【分析】利用冪指函數(shù)的單調性可得，，構造函數(shù)()，可得，從而得到結果.【詳解】當時，，，下面比較與的大小，即比較與的大小，考察函數(shù)()，，當時，，在上單調遞減，因為，，即，所以，綜上：當時，.故選：D例13．（2022·江蘇·揚州中學高三階段練習）已知，則下列大小關系中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】A.構造函數(shù)，利用其單調性比較大??；B.構造函數(shù)，利用其單調性比較大??；C.構造函數(shù)及函數(shù)，利用其單調性比較大??；D.將轉化為，判斷的大小關系即可.【詳解】，則，且，A.因為函數(shù)在上單調遞減，故，A錯誤；B.因為函數(shù)在上單調遞減，故，B錯誤；C.因為函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上單調遞增，，C正確；D.，又，，D錯誤；故選：C.例14．（2022·全國·高三專題練習）已知，若，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先化簡，再根據(jù)的大小關系，利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可得到其大小關系．【詳解】因為，函數(shù)在和上均單調遞減，又，所以而,所以，即，可知最?。捎?，所以比較真數(shù)與的大小關系.當時，，所以,即.綜上,．故選：D．（多選題）例15．（2022·山東威?！と＃┤?，，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性分別可判斷A、B、C，結合C和對數(shù)換底公式即可判斷D.【詳解】對于A，∵冪函數(shù)y=在單調遞增，∴根據(jù)可知，故A錯誤；對于B，∵指數(shù)函數(shù)y=在R上單調遞減，∴根據(jù)可知，故B正確；對于C，∵對數(shù)函數(shù)y=()在上單調遞減，∴根據(jù)可知，故C正確；對于D，由C可知，∴，即，故D錯誤．故選：BC．（多選題）例16．（2022·廣東佛山·三模）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】作差法判斷選項A；利用對數(shù)函數(shù)單調性判斷選項B；利用冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調性去判斷選項C；舉反例排除選項D.【詳解】選項A：由，可得，則，，則，則.判斷錯誤；選項B：由，可得為上減函數(shù)，又，則.判斷正確；選項C：由，可知為R上減函數(shù)，又，則由，可知為上增函數(shù)，又，則，則又為上增函數(shù)，則，則.判斷正確；選項D：令，則，，則，即.判斷錯誤.故選：BC題型四：構造函數(shù)例17．（2022·遼寧實驗中學模擬預測）若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可判斷，再構造函數(shù)，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可判斷，即可得解；【詳解】解：令，則，則在定義域上單調遞減，所以，即，所以，即，令，，則，因為，所以，令，，則，即在上單調遞減，所以，所以，即在上單調遞增，所以，即，即，即，綜上可得；故選：A例18．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作差法比較出，構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性比較出，從而得出.【詳解】，所以，故，又，則在上單調遞減，又，，所以存在，使得，且在時，，在時，，即在上單調遞增，在單調遞減，且，所以，又因為，所以當時，，其中因為，所以，所以，故，即.故選：B例19．（2022·河南洛陽·三模（理））已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)，，求其單調性，從而判斷，，的大小關系.【詳解】構造，，，在時為減函數(shù)，且，所以在恒成立，故在上單調遞減，所以，即，所以，即.故選：D【點睛】對于指數(shù)式，對數(shù)式比較大小問題，通常方法是結合函數(shù)單調性及中間值比較大小，稍復雜的可能需要構造函數(shù)進行比較大小，要結合題目特征，構造合適的函數(shù)，通過導函數(shù)研究其單調性，比較出大小.例20．（2022·河南·模擬預測（理））若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)可得，進而可得，可得，再利用函數(shù)，可得，即得.【詳解】令，則，∴在上單調遞增，∴，，，∵，∴，故，設，則，所以函數(shù)在上單調遞增，由，所以時，，即，∴，又，∴，故.故選：B.【點睛】本題解題關鍵是構造了兩個不等式與進行放縮，需要學生對一些重要不等式的積累.例21．（2022·新疆·模擬預測（理））實數(shù)，，分別滿足，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由題意得，，，然后與作差結合基本不等式比較大小，構造函數(shù)，可判斷其在上單調遞減，則，化簡可得，則，則可比較出與的大小即可【詳解】由題意得，，，則，因為，所以，所以，設，則，當時，，所以在上單調遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，故選：B例22．（2022·四川雅安·二模）設，，，則，，的大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由于，，，所以只要比較的大小即可，然后分別構造函數(shù)，，判斷出其單調性，利用其單調性比較大小即可【詳解】因為，，，所以只要比較的大小即可，令，則，所以在上遞增，所以，所以，所以，即，令，則，因為在上為減函數(shù)，且，所以當時，，所以在上為減函數(shù)，因為，，要比較與的大小，只要比較與的大小，令，則，所以在上遞增，所以，所以當時，，所以，所以，所以，所以當時，，所以在上遞增，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)比較大小，解題的關鍵是對已知的數(shù)變形，然后合理構造函數(shù)，通過導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，利用函數(shù)單調性比較大小，考查數(shù)轉化思想和計算能力，屬于難題例23．（2022·浙江·高三專題練習），則a，b，c的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構造函數(shù)，應用導數(shù)研究其單調性，進而比較，，的大小，若有兩個解，則，，構造，利用導數(shù)確定，進而得到，即可判斷a、c的大小，即可知正確選項.【詳解】令，則，，，而且，即時單調增，時單調減，又，∴，.若有兩個解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當時，，故，綜上：.故選：A【點睛】關鍵點點睛：利用函數(shù)與方程的思想，構造函數(shù)，結合導數(shù)研究其單調性或極值，從而確定a，b，c的大小.題型五：數(shù)形結合（交點問題）（多選題）例24．（2022·河北邯鄲·一模）下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】A、B選項畫出和的圖象，數(shù)形結合進行比較，C選項構造函數(shù)，借助單調性進行判斷，D選項作減法，借助對數(shù)運算及基本不等式進行比較.【詳解】作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當時，，當時，，，，故A，B正確.令，則，在上單調遞減，所以，故C錯誤.，所以，故D正確.故選：ABD.例25．（2022·廣東茂名·一模）已知均為大于0的實數(shù)，且，則大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，將問題轉化為函數(shù)與直線的交點的橫坐標的關系，再作出圖像，數(shù)形結合求解即可.【詳解】解：因為均為大于0的實數(shù)，所以，進而將問題轉化為函數(shù)與直線的交點的橫坐標的關系，故作出函數(shù)圖像，如圖，由圖可知故選：C例26．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，的零點分別為，，，則，，的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】函數(shù)的零點直接求解即可，函數(shù)的零點利用零點存在性定理求解即可，從而可得答案【詳解】解：令，則，得，即，令，則，得，即，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以在區(qū)間存在唯一零點，且，綜上，，故選：B例27．（2022·全國·東北師大附中模擬預測（理））已知為函數(shù)的零點，，，則、、的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】對、，同時進行6次方運算，利用的單調性比較大?。幌壤昧泓c存在定理判斷出：.對、，同時進行3次方運算，利用的單調性比較大??；對、b，同時進行平方運算，利用的單調性比較大小.【詳解】因為，，所以，，所以.因為在上單增，所以.因為為函數(shù)的零點，所以因為為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，所以有且僅有一個零點a.又，因為，所以,所以；，因為，所以，所以；由零點存在定理，可得：.所以，，所以.因為在上單調遞增，所以因為，所以，而，所以.因為在上單調遞增，所以所以.故選：B例28．（2022·全國·高三專題練習）已知，則與的大小關系是（

）A． B．C． D．不確定【答案】C【解析】【分析】令，結合題意可知，進而有，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性和運算性質即可求解【詳解】令，則當時，，當時，；由，得考慮到得，由，得，即故選：C題型六：特殊值法、估算法例29．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】對給定的冪或對數(shù)變形，借助冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調性并結合“媒介”數(shù)即可判斷作答.【詳解】依題意，，函數(shù)在上單調遞增，而，于是得，即，函數(shù)在單調遞增，并且有，則，于是得，即，則，又函數(shù)在單調遞增，且，則有，所以.故選：C例30．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】結合已知條件，比較和的大小，進而可得到和的大小，然后利用介值比較與的大小，利用介值和對數(shù)函數(shù)性質可得和的大小，進而得出答案.【詳解】由，，可知，又由，從而，可得，因為，所以；因為，從而，即，由對數(shù)函數(shù)單調性可知，，綜上所述，.故選：B.例31.（2022·全國·高三專題練習（理））三個數(shù)，，的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】結合對數(shù)恒等式進行變換，利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可證明，由此得出三者的大小關系.【詳解】，由于，，所以，所以，即，而，所以，所以，即，所以.故選：D例32．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高三期末（理））若，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式和對數(shù)的運算法則得到，再利用指數(shù)函數(shù)單調性結合放縮法得到即可求解．【詳解】，，，，，，，，，故選：．例33．（2022·全國·高三專題練習）若，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)運算的性質將化簡為，從而和c比較大小，同理比較a,c的大小關系，再根據(jù)兩個指數(shù)冪的大小結合對數(shù)的運算性質可比較a,b大小，即可得答案.【詳解】由題意：，，故．又，即，所以，即，因為，所以．因為，故，即，所以，所以，所以，所以，故選：B.題型七：放縮法例34．（2022·江西·模擬預測（理））設，，，則，，的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)a、b、c的結構，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，即可比較出a、b、c的大小，得到正確答案.【詳解】因為，，構造函數(shù)，則，，，，在上遞增，在上遞減.則有最大，即，.若有兩個解，則，所以所以即,令，則，故在上單增,所以，即在上，.若，則有，即.故，所以.當時，有，故所以.綜上所述：.故選：A例35．（2022·全國·高三專題練習）已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝，則m，n，p的大小關系是（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，應用對數(shù)函數(shù)的單調性、對數(shù)的換底公式，可比較m，n，的大小關系，再由指數(shù)的性質有p＝，即知m，n，p的大小關系.【詳解】由題意得，m＝log4ππ，，∵lg4＞lgπ＞lge＞0，則lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge，∴，∴，而p＝，∴n＜m＜p．故選：C．例36．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則、、的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及性質比較與的大小，利用作商法比較的大小.【詳解】由,因為，故，所以，因為，故，所以因為，故，因為，故，所以，所以，故，故選：A【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)對數(shù)的運算性質將寫成對數(shù)，，利用函數(shù)的單調性比較真數(shù)大小即可，利用作商及放縮的方法可得的大小，屬于較難題目.例37．（2022·全國·高三專題練習）已知，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先設，利用導數(shù)得到，從而得到，設，利用導數(shù)得到，從而得到和，即可得到答案.【詳解】設，，令，解得.，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).所以，即，當且僅當時取等號.所以.故，即.設，，令，解得.，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以，即，當且僅當時取等號.所以.所以，又因為，所以.又因為，所以，即，綜上.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性來解決比較大小問題，解決本題的關鍵為構造函數(shù)和，屬于難題.例38．（2022·全國·高三專題練習）已知，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)比較b，c的大小關系，構造函數(shù)比較a，b的大小關系，即可得解.【詳解】，所以，構造函數(shù)，，，所以，，必有，，所以所以，即所以單調遞減，所以即，所以故選：A【點睛】此題考查比較三角函數(shù)值的大小，常利用中間值比較，或構造函數(shù)利用函數(shù)單調性比較大小.例39．（2022·河南開封·三模（理））已知a，b均為正實數(shù)，且，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列大小關系不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對所給條件反復代換，利用正數(shù)的指數(shù)大于0等條件，將所得的結論繼續(xù)應用到等式中去，可判斷選項中的結論正誤.【詳解】由題可知：，，∴，∴，B選項正確；∵，∴，∴，∴，∴，C選項正確；∵，∴，∴，A選項正確；，而，矛盾，D選項錯誤.故選：D.例40．（2022·四川·樂山市教育科學研究所二模（文））設，，，則a，b，c的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分別構造函數(shù)，，，利用其單調性判斷.【詳解】解：設，則，所以在上遞減，所以，即，設，則，遞增，則，即，所以，令，則，，當時，，則遞減，又，所以當時，，遞減，則，即，因為，則，所以，即，故，故選：D例41．（2022·全國·高三專題練習（理））設實數(shù)，滿足，，則，的大小關系為（

）A． B． C． D．無法比較【答案】A【解析】【分析】從選項A或C出發(fā)，分析其對立面，推理導出矛盾結果或成立的結果即可得解.【詳解】假設，則，，由得，因函數(shù)在上單調遞減，又，則，所以；由得，因函數(shù)在上單調遞減，又，則，所以；即有與假設矛盾，所以，故選：A題型八：不定方程例42．（2022·寧夏·銀川一中一模（文））已知實數(shù)a，b，c，滿足，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【