典型代數(shù)系統(tǒng)

典型代數(shù)系統(tǒng)第一頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1半群和群半群和群是兩個(gè)較為簡(jiǎn)單的代數(shù)系統(tǒng)，它們都只有一個(gè)二元運(yùn)算。群是特殊的半群。第二頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1半群和群設(shè)<S,*>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中的*為二元運(yùn)算；如果*是可結(jié)合的，則稱<S,*>為一個(gè)半群。如果半群的二元運(yùn)算有單位元，則稱此半群為獨(dú)異點(diǎn)(或含幺半群)。如果獨(dú)異點(diǎn)的每個(gè)元素都是可逆的，則稱其為群。S對(duì)于運(yùn)算*是封閉的*是可結(jié)合的存在單位元S中每個(gè)元素都是可逆的代數(shù)系統(tǒng)半群獨(dú)異點(diǎn)群第三頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群定義7.1

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)<S,﹡>，如果二元運(yùn)算“﹡”滿足結(jié)合律，則稱它為半群(semigroup)。對(duì)于半群<S,﹡>，如果集合S為有限集合，則稱<S,﹡>為有限半群(finitesemigroup)；如果集合S為無限集合，則稱<S,﹡>為無限半群(infinitesemigroup)。代數(shù)系統(tǒng)<R,＋>,<Z,×>,<Nk,>,

<Nk,>都是半群；<R,＋>和<Z,×>是無限半群，<Nk,>和<Nk,>都是有限半群。代數(shù)系統(tǒng)<R,－>,<R-{0},÷>都不是半群，因?yàn)榇鷶?shù)運(yùn)算“－”和“÷”都不滿足結(jié)合律。第四頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群例7.2

對(duì)于集合A={1,2,3,4,5}上的代數(shù)運(yùn)算“#”：x#y=max{x,y}，判斷代數(shù)系統(tǒng)<A,#>是否為半群。解：對(duì)于x,y,z∈A，有(x#y)#z=(max{x,y})#z=max{max{x,y},z}=max{x,y,z}x#(y#z)=x#(max{y,z})=max{x,max{y,z}}=max{x,y,z}

所以，(x#y)#z=x#(y#z)即代數(shù)運(yùn)算“#”在A上是可結(jié)合的。從而，代數(shù)系統(tǒng)<A,#>是半群。第五頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群例7.3

設(shè)<A,﹡>是半群，且對(duì)于x,y∈A，如果x≠y，則必有x﹡y≠y﹡x，試證明：①A中每個(gè)元素都是等冪元；②對(duì)于x,y∈A，都有x﹡y﹡x=x;③對(duì)于x,y,z∈A，都有x﹡y﹡z=x﹡z。證明由已知條件“對(duì)于x,y∈A，如果x≠y，則必有x﹡y≠y﹡x”得出：對(duì)于x,y∈A，如果x﹡y=y﹡x，則必有x=y。①對(duì)于a∈A，由代數(shù)運(yùn)算“﹡”滿足結(jié)合律，知(a﹡a)﹡a=a﹡

(a﹡a)。從而，a﹡a=a，即A中任意元素都是等冪元。②對(duì)于x,y∈A，由代數(shù)運(yùn)算“﹡”滿足結(jié)合律以及①，知第六頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群

(x﹡y﹡x)﹡x=(x﹡y)﹡(x﹡x)=(x﹡y)﹡x=x﹡y﹡xx﹡(x﹡y﹡x)=(x﹡x)﹡(y﹡x)=x﹡(y﹡x)=x﹡y﹡x從而(x﹡y﹡x)﹡x=x﹡(x﹡y﹡x)因此，根據(jù)題設(shè)可得x﹡y﹡x=x③對(duì)于x,y,z∈A，由代數(shù)運(yùn)算“﹡”滿足結(jié)合律以及①、②，知(x﹡y﹡z)﹡(x﹡z)=(x﹡y)﹡(z﹡x﹡z)=(x﹡y)﹡z=x﹡y﹡z(x﹡z)﹡(x﹡y﹡z)=(x﹡z﹡x)﹡(y﹡z)=x﹡(y﹡z)=x﹡y﹡z從而(x﹡y﹡z)﹡(x﹡z)=(x﹡z)﹡(x﹡y﹡z)因此，根據(jù)題設(shè)可得

(x﹡y﹡z)=(x﹡z)證畢。第七頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群的性質(zhì)性質(zhì)1

有限半群<S,﹡>中必含有冪等元。證明由<S,﹡>為有限半群，知S為有限集合。不妨設(shè)S中有n個(gè)元素。在S中任取一個(gè)元素a，考察如下n+1個(gè)元素：a,a2,a3,…,an,an+1。由代數(shù)運(yùn)算的封閉性知，這些元素都屬于S，但S中僅有n個(gè)元素，所以，這些元素中至少有兩個(gè)元素相同，不妨設(shè)為ai=ai+k（1≤k≤n)。下面分別討論。當(dāng)k=i時(shí)，則有ai=ai+i=ai﹡ai，所以ai是等冪元。當(dāng)k>i時(shí)，則k-i>0，有ai=ai+k=ai﹡ak，ak-i﹡ai=ak-i﹡ai﹡ak

=ak﹡ak，又ak-i﹡ai=ak，所以ak是等冪元。當(dāng)k<i時(shí)，則k-i<0，有ai=ai+k=ai﹡ak，ai﹡ak=ai﹡ak﹡ak

=ai﹡a2k，又ai=ai﹡ak，所以ai=ai﹡a2k，重復(fù)此過程可得ai=ai﹡a3k，ai=ai﹡a4k，…，ai=ai﹡apk(p為任意正整數(shù))。取適當(dāng)?shù)膒，使得pk>i，即pk-i>0，從而，apk-i﹡ai=apk-i﹡ai﹡apk

=apk﹡apk，又apk-i﹡ai=apk，所以apk是等冪元。綜上所述，有限半群必有等冪元。第八頁，共五十九頁，2022年，8月28日半群的性質(zhì)性質(zhì)2

如果f為半群<S,﹡>到代數(shù)系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，則<f(S),?>也是半群。證明設(shè)f為半群<S,﹡>到代數(shù)系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，那么，對(duì)于x,y,z∈S，有

(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡(y﹡z))

f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡y)?f(z)=(f(x)?f(y))?f(z)

f(x﹡(y﹡z))=f(x)?f(y﹡z)=f(x)?(f(y)?f(z))從而(f(x)?f(y))?f(z)=f(x)?(f(y)?f(z))即f(S)上的代數(shù)運(yùn)算“?”是可結(jié)合的，所以，<f(S),?>是半群。第九頁，共五十九頁，2022年，8月28日子半群定義7.2

對(duì)于半群<S,﹡>，如果非空集合BS且代數(shù)系統(tǒng)<B,﹡>也是半群，則稱代數(shù)系統(tǒng)<B,﹡>為半群<S,﹡>的子半群(sub-semigroup)。代數(shù)系統(tǒng)<R,＋>是半群，ZR且代數(shù)系統(tǒng)<Z,＋>也是半群，所以，<Z,＋>是半群<R,＋>的子半群。例7.4

對(duì)于半群<N7,>和N7的子集B={0,1,6}，判斷代數(shù)系統(tǒng)<B,>是否為半群<N7,>的子半群。第十頁，共五十九頁，2022年，8月28日子半群定理7.1

對(duì)于半群<S,﹡>，如果非空集合BS且運(yùn)算“﹡”在B上是封閉的，則代數(shù)系統(tǒng)<B,﹡>為半群<S,﹡>的子半群。證明設(shè)<S,﹡>為半群，BS且運(yùn)算“﹡”在B上是封閉的，那么，對(duì)于x,y,z∈B，必有x﹡y∈B,y﹡z∈B,(x﹡y)﹡z∈B,x﹡(y﹡z)∈B,且x,y,z∈S，因此，(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)，即運(yùn)算“﹡”在B上滿足結(jié)合律。所以，代數(shù)系統(tǒng)<B,﹡>是半群。從而，代數(shù)系統(tǒng)<B,﹡>為半群<S,﹡>的子半群。證畢。

例7.5

對(duì)于半群<N8,⊕8>和N8的子集A={0,2,4,6}，判斷代數(shù)系統(tǒng)<A,⊕8>是否為半群<N8,⊕8

>的子半群。第十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日獨(dú)異點(diǎn)定義7.3對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)<S,﹡>，如果二元運(yùn)算“﹡”滿足結(jié)合律，且S中含有關(guān)于運(yùn)算“﹡”的幺元，則稱<S,﹡>為含幺半群，或獨(dú)異點(diǎn)(monoid)。代數(shù)系統(tǒng)<R,＋>是半群，且含有幺元0，所以代數(shù)系統(tǒng)<R,＋>是獨(dú)異點(diǎn)；代數(shù)系統(tǒng)<R,×>是半群，且含有幺元1，所以代數(shù)系統(tǒng)<R,×>是獨(dú)異點(diǎn)。第十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日獨(dú)異點(diǎn)例7.7

對(duì)于整數(shù)集Z，判斷如下哪些運(yùn)算“﹡”構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)<Z,﹡>是獨(dú)異點(diǎn)。①x﹡y=x·y+1;②x﹡y=y;③x﹡y=(x+1)(y+1)-1;④x﹡y=x+y-2.第十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日獨(dú)異點(diǎn)例7.8

如果f為獨(dú)異點(diǎn)<S,﹡>到代數(shù)系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，則<f(S),?>也是獨(dú)異點(diǎn)。證明設(shè)f為獨(dú)異點(diǎn)<S,﹡>到代數(shù)系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，那么，對(duì)于x,y,z∈S，有

(x﹡y)﹡z=x﹡(y﹡z)f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡(y﹡z))

f((x﹡y)﹡z)=f(x﹡y)?f(z)=(f(x)?f(y))?f(z)

f(x﹡(y﹡z))=f(x)??f(y﹡z)=f(x)?(f(y))?f(z))從而(f(x)?f(y))?f(z)=f(x)?(f(y))?f(z))即f(S)上的代數(shù)運(yùn)算“?”是可結(jié)合的。設(shè)e是S上關(guān)于運(yùn)算“﹡”的幺元，那么x﹡e=e﹡x=x，因此，f(x﹡e)=f(e﹡x)=f(x)?f(e)=f(e)?f(x)=f(x)，即f(e)是f(S)上關(guān)于運(yùn)算“?”的幺元。綜上所述，<f(S),?>是獨(dú)異點(diǎn)。第十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日子獨(dú)異點(diǎn)定義7.4

對(duì)于獨(dú)異點(diǎn)<S,﹡>和集合BS，如果代數(shù)系統(tǒng)<B,﹡>是獨(dú)異點(diǎn)，且S上關(guān)于運(yùn)算“﹡”的幺元也是B上關(guān)于運(yùn)算“﹡”幺元，則稱代數(shù)系統(tǒng)<B,﹡>為獨(dú)異點(diǎn)<S,﹡>的子獨(dú)異點(diǎn)(sub-monoid)。代數(shù)系統(tǒng)<Z,＋>是獨(dú)異點(diǎn)，自然數(shù)集N是整數(shù)集Z的子集，<N,＋>和<Z,＋>的幺元都為0，所以，代數(shù)系統(tǒng)<N,＋>是獨(dú)異點(diǎn)<Z,＋>的子獨(dú)異點(diǎn)。注意：獨(dú)異點(diǎn)與其子獨(dú)異點(diǎn)必須有相同的幺元。可能存在的情況：代數(shù)系統(tǒng)<S,﹡>是獨(dú)異點(diǎn)，BS且<B,﹡>也是獨(dú)異點(diǎn)，但B上關(guān)于“﹡”的幺元與S上關(guān)于“﹡”的幺元不同，則獨(dú)異點(diǎn)<B,﹡>就不是獨(dú)異點(diǎn)<S,﹡>的子獨(dú)異點(diǎn)。第十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日子獨(dú)異點(diǎn)例7.10對(duì)于獨(dú)異點(diǎn)<N10,>和N10的子集B={0,2,4,6,8}，判斷代數(shù)系統(tǒng)<B,>是否為獨(dú)異點(diǎn)<N10,>的子獨(dú)異點(diǎn)。解：第十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群定義7.5

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)<G,﹡>，如果運(yùn)算“﹡”是可結(jié)合的，G上存在關(guān)于運(yùn)算“﹡”的幺元，x∈G都有關(guān)于運(yùn)算“﹡”的逆元x-1，則稱<G,﹡>為群(roup)。代數(shù)系統(tǒng)<R,＋>是群，因?yàn)檫\(yùn)算“＋”是可結(jié)合的，元素0是關(guān)于運(yùn)算“＋”的幺元，任意實(shí)數(shù)a關(guān)于運(yùn)算“＋”的逆元為-a；代數(shù)系統(tǒng)<Nk,⊕k>是群，因?yàn)檫\(yùn)算“⊕k”是可結(jié)合的，元素0是關(guān)于運(yùn)算“⊕k”的幺元，0關(guān)于運(yùn)算“⊕k”的逆元為0，任一其他元素x關(guān)于運(yùn)算“⊕k”的逆元為k-x；代數(shù)系統(tǒng)<R,×>不是群，雖然運(yùn)算“×”是可結(jié)合的，元素1是關(guān)于運(yùn)算“×”的幺元，但是0沒有逆元。第十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群例7.12

判斷下列代數(shù)系統(tǒng)是否為群。①<R-{0},×>②<N7-{0},>③<N6-{0},>④<Z,﹡>,x,y∈Z,x﹡y=x+y-2第十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群例7.13

對(duì)于代數(shù)系統(tǒng)<A,﹡>,其中A={a,b,c,e}，運(yùn)算“﹡”的運(yùn)算表如下。證明代數(shù)系統(tǒng)<A,﹡>是群。﹡eabceeabcaaecbbbceaccbae運(yùn)算在A上滿足封閉性運(yùn)算是可結(jié)合的關(guān)于運(yùn)算的幺元為e各元素關(guān)于運(yùn)算的逆元分別為其自身運(yùn)算滿足交換律該群稱為Klein四元（階）群。第十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群例7.15

設(shè)f為群<S,﹡>到代數(shù)系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，證明<f(S),?>是群。證明設(shè)f為群<S,﹡>到代數(shù)系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，根據(jù)同態(tài)的性質(zhì)知集合S上的運(yùn)算“﹡”滿足結(jié)合律，所以f(S)上的運(yùn)算“?”滿足結(jié)合律。設(shè)元素e∈S為S上關(guān)于運(yùn)算“﹡”的幺元，則f(e)為T上關(guān)于運(yùn)算“?”的幺元。設(shè)元素x∈S關(guān)于“﹡”的逆元為x-1，則元素f(x)∈f(T)關(guān)于運(yùn)算“?”的逆元為f(x-1)。綜上述知，<f(S),?>是群。第二十頁，共五十九頁，2022年，8月28日例子設(shè)<G1,*>和<G2,o>都是群；在G1×G2上定義二元運(yùn)算·如下：

對(duì)于任意<a,b>,<c,d>G1×G2， <a,b>·<c,d>=<a*c,bod>。求證：<G1×G2,·>是一個(gè)群。證明：封閉性結(jié)合律單位元可逆第二十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群定義7.6對(duì)于群<G,﹡>，如果G為有限集合，則稱<G,﹡>為有限群(finitegroup)，此時(shí)集合G中元素的個(gè)數(shù)稱為群G的階數(shù)(order)，記為|G|；否則，稱G為無限群(infinitegroup)。Klein四元群的階數(shù)為4；群<R,＋>是無限群。第二十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群定義7.7

對(duì)于群<G,﹡>，如果a∈G，滿足an=e(幺元)的最小正整數(shù)n稱為a的階數(shù)，簡(jiǎn)稱為階(order)，記作|a|=n，并稱a是有限階元素(finiteorderelement)。若不存在這樣的正整數(shù)，則稱a是無限階元素(infiniteorderelement)。群<R,＋>中，幺元0的階數(shù)為1，其他元素都是無限階元素；群<N4,⊕4>中，幺元0的階數(shù)為1，元素1的階數(shù)為4，元素2的階數(shù)為2，元素3的階數(shù)為4。第二十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.2群例7.16

求群<N6,⊕6>中各元素的階數(shù)。0是幺元，階數(shù)為11的階數(shù)為62的階數(shù)為33的階數(shù)為24的階數(shù)為35的階數(shù)為6第二十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)1

幺元是唯一的等冪元。證明：設(shè)e,a∈G分別是群<G,﹡>的幺元和等冪元，并設(shè)a的逆元為a-1，那么，

a﹡a=aa-1﹡a=ea-1﹡a=a-1﹡(a﹡a)=(a-1﹡a)﹡a=e﹡a=a從而，a=e由幺元的唯一性知，群中有唯一的等冪元，該等冪元就是幺元。注意：在獨(dú)異點(diǎn)中，除幺元外還可能有多個(gè)等冪元。因此，可以把是否有唯一等冪元作為代數(shù)系統(tǒng)是群的必要條件。如果某個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中有兩個(gè)以上的等冪元，則此代數(shù)系統(tǒng)一定不是群。第二十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)2G中至少有2個(gè)元素時(shí)，不存在零元。根據(jù)逆元的性質(zhì)“對(duì)于集合A上關(guān)于運(yùn)算“﹡”的單位元和零元，如果A中至少有兩個(gè)元素，則零元無逆元”，即零元無逆元。但是，群中任意元素均有逆元，所以，不存在零元。如果G={e}呢？則群<G,*>中的幺元與零元都為e。第二十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)3如果a﹡b=b或者b﹡a=b，則a是關(guān)于運(yùn)算“﹡”的幺元。設(shè)a﹡b=b，元素b的逆元b-1，那么，b﹡b-1=eb﹡b-1=(a﹡b)﹡b-1=a﹡(b﹡b-1)=a﹡e=a所以，a=e，即幺元為a。同理，設(shè)b﹡a=b，元素b的逆元b-1，那么，b-1﹡b=eb-1﹡b=b-1﹡(b﹡a)

=(b-1﹡b)﹡a

=e﹡a=a所以，a=e，即幺元為a。該性質(zhì)的意義在于：要驗(yàn)證群中元素a是否是幺元，只需要驗(yàn)證其中某一個(gè)元素，即可確定。而在一般代數(shù)系統(tǒng)中，必須對(duì)G中所有元素進(jìn)行驗(yàn)證。第二十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)4任一元素都是可消去元。設(shè)x,y,a∈G，其元素a的逆元為a-1，那么，如果a﹡x=a﹡y，則a-1﹡(a﹡x)=a-1﹡(a﹡y)

a-1﹡(a﹡x)=(a-1﹡a)﹡x=e﹡x=x

a-1﹡(a﹡y)=(a-1﹡a)﹡y=e﹡y=y所以，x=y，即元素a是左可消去的。如果x﹡a=y﹡a，則(x﹡a)﹡a-1=(y﹡a)﹡a-1

(x﹡a)﹡a-1=x﹡(a﹡a-1)=x﹡e=x

(y﹡a)﹡a-1==y﹡(a﹡a-1)=y﹡e=y所以，x=y，即元素a是右可消去的。

綜上述知，元素a是可消去的。注意：半群、獨(dú)異點(diǎn)中的元素都不一定滿足消去律。例如，在獨(dú)異點(diǎn)<N8,8>中，雖然284=684=0，但26等價(jià)于：設(shè)<G,*>是一個(gè)有限群，則*的運(yùn)算表中，每一行元素都不相同且每一列的元素也都不同。第二十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)5(a﹡b)-1=b-1﹡a-1，(an)-1=(a-1)n由于

(a﹡b)﹡(b-1﹡a-1)=a﹡(b﹡b-1)﹡a-1=a﹡e﹡a-1=a﹡a-1=e(b-1﹡a-1)﹡(a﹡b)=b-1﹡(a-1﹡a)﹡b=b-1﹡e﹡b=b-1﹡b=e所以，a﹡b的逆元為b-1﹡a-1，即(a﹡b)-1=b-1﹡a-1。用歸納法證明(a-1)n﹡an=e第二十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)6方程a﹡x=b，y﹡a=b都有解且有唯一解。設(shè)a﹡x=b，且元素a的逆元為a-1，那么，

a-1﹡(a﹡x)=a-1﹡ba-1﹡(a﹡x)=(a-1﹡a)﹡x=e﹡x=x所以，x=a-1﹡b

設(shè)c為a﹡x=b的解，則a﹡c=b，那么，

c=e﹡c=(a-1﹡a)﹡c=a-1﹡(a﹡c)=a-1﹡b=x

即a﹡x=b有唯一解x=a-1﹡b。同理可得，y﹡a=b有唯一解y=b﹡a-1。第三十頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)7|a|=|a-1|設(shè)元素a的階為n，由(a-1)n=(an)-1=e-1=e，可知a-1的階存在。設(shè)元素a-1的階為t，由于(a-1)n=(an)-1=e-1=e，所以t≤n。又因?yàn)椋?/p>

at=((a-1)t)-1=e-1=e，所以n≤t。因此，n=t。第三十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)8有限群的每個(gè)元素都是有限階元素，且其階數(shù)不超過群的階數(shù)|G|。設(shè)群<S,﹡>的階數(shù)為|S|=n。在S中任取一個(gè)元素a，考察如下n+1個(gè)元素

a,a2,a3,…,an,an+1

由運(yùn)算的封閉性知，這些元素都屬于S，但S中僅有n個(gè)元素，所以，這些元素中至少有兩個(gè)元素相同，不妨設(shè)為

ai=ai+k=ai﹡ak(1≤k≤n)由性質(zhì)3知，ak為幺元，即e=ak。由元素的階數(shù)定義知|a|≤k≤n。由于對(duì)于任何元素都存在上述情形，所以，每個(gè)元素都是有限階元素，且其階數(shù)不超過群的階數(shù)|S|=n。第三十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)（對(duì)于群<G,﹡>,x,y,a,b∈G)性質(zhì)9對(duì)于群G中階數(shù)為r的元素a，那么an=e當(dāng)且僅當(dāng)r整除n。設(shè)元素a的階為r。（充分性）設(shè)ar=e，r整除n，那么，n=kran=akr=(ar)k=ek=e

（必要性）設(shè)an=e，那么，n=mr+k(n除以r的商為m，余數(shù)為k)

因此，0≤k≤r

于是，e=an=amr+k=amr﹡ak=em﹡ak=e﹡ak=ak由r的最小性知k=0，a0=e，即r整除n。第三十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日群的性質(zhì)由半群、獨(dú)異點(diǎn)、群的定義可知，獨(dú)異點(diǎn)是含有幺元的半群，群是每個(gè)元素都有逆元的獨(dú)異點(diǎn)。看起來，獨(dú)異點(diǎn)比半群多了一個(gè)條件“含有幺元”；群比獨(dú)異點(diǎn)多了一個(gè)條件“每個(gè)元素都有逆元”。但在性質(zhì)方面，半群與獨(dú)異點(diǎn)差異甚小，而群與獨(dú)異點(diǎn)之間有著較大差異。群是一個(gè)具有很多實(shí)用性質(zhì)的代數(shù)系統(tǒng)。S對(duì)于運(yùn)算*是封閉的*是可結(jié)合的存在幺元S中每個(gè)元素都是可逆的代數(shù)系統(tǒng)半群獨(dú)異點(diǎn)群第三十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群定義7.8對(duì)于群<G,﹡>，如果H為G的非空子集，且<H,﹡>為群，則<H,﹡>稱為群<G,﹡>的子群(subgroup)，記作H≤G。代數(shù)系統(tǒng)<R,＋>和<Z,＋>都是群，Z是R的子集，所以，<Z,＋>是<R,＋>的子群。注意：以幺元作為元素的集合{e}和集合G本身都是G的子集，所以<{e},﹡>和<G,﹡>都是<G,﹡>的子群，并稱這兩個(gè)子群為平凡子群，<G,﹡>的其他子群稱為<G,﹡>的非平凡子群。第三十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質(zhì)性質(zhì)1

對(duì)于群<G,﹡>的子群<H,﹡>，群<G,﹡>的幺元是子群<H,﹡>的幺元。設(shè)e為群<G,﹡>的幺元，e′為子群<H,﹡>的幺元。那么，對(duì)于x∈HG，有

e′﹡x=x﹡e′=xe﹡x=x﹡e=x從而，e′﹡x=e﹡x根據(jù)群中任一元素都是可消去元的性質(zhì)，知e′=e，即子群的幺元為e。第三十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質(zhì)性質(zhì)2

對(duì)于群<G,﹡>，H為G的非空子集，<H,﹡>為<G,﹡>的子群的充分必要條件是：①G的幺元e∈H

；②若a,b∈H，則a﹡b∈H;③若a∈H

，則a-1∈H

。（必要性）根據(jù)群的性質(zhì)和子群的性質(zhì)1可得。（充分性）由①知，e∈H

為<H,﹡>的幺元；由②知，對(duì)于a,b,c∈H，則a﹡b∈H,b﹡c∈H,(a﹡b)﹡c

∈H,a﹡(b﹡c)∈H,由于a,b,c∈G，所以，H上的代數(shù)運(yùn)算“﹡”滿足結(jié)合律；由③知，H中任意元素存在逆元，所以<H,﹡>為群，從而，<H,﹡>為<G,﹡>的子群。判定子群的基本方法。*一定可結(jié)合，因?yàn)?lt;G,*>是群。第三十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質(zhì)性質(zhì)3

對(duì)于群<G,﹡>，H為G的非空子集，<H,﹡>為<G,﹡>的子群的充分必要條件是a,b∈H，則a﹡b-1∈H。（必要性）對(duì)于a,b∈H，由于<H,﹡>為<G,﹡>的子群，所以，b-1∈H。從而，a﹡b-1∈H。（充分性）因?yàn)镠非空，必然存在a∈H，所以a﹡a-1∈H，即e∈H；a∈H，由e,a∈H可得出e﹡a-1∈H，即a-1∈H；a,b∈H，那么b-1∈H，所以a﹡(b-1)-1∈H，即a﹡b∈H。由性質(zhì)2知，<H,﹡>為<G,﹡>的子群。子群的判斷方法。

第三十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質(zhì)性質(zhì)4

對(duì)于群<G,﹡>，H為G的有限非空子集，且H對(duì)運(yùn)算“﹡”封閉，那么<H,﹡>為<G,﹡>的子群。設(shè)H中含有n個(gè)元素。在H中任取元素a，考察n+1個(gè)元素：a,a2,…,an,an+1。由運(yùn)算的封閉性知，這些元素都屬于H，但H中僅有n個(gè)元素，所以這些元素中至少有兩個(gè)元素相同，不妨設(shè)為ai=ai+k=ai﹡ak(1≤k≤n)。由群的性質(zhì)知，ak為G上關(guān)于運(yùn)算是幺元，即e=ak，當(dāng)然，也是H上關(guān)于運(yùn)算的幺元。如果k=1，即ak=a，則a為幺元，a的逆元為其本身，所以a-1

∈H;如果k>1，即ak=e，則a﹡ak-1=ak-1﹡a=e，a的逆元為ak-1，即a-1=ak-1;綜上所述并由性質(zhì)2知，<H,﹡>為<G,﹡>的子群。有限子群的判定方法。第三十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日子群的性質(zhì)性質(zhì)5

對(duì)于群<G,﹡>，a∈G，且|a|=k，令A(yù)={a,a2,…,ak}，那么<A,﹡>為<G,﹡>的k階子群。首先證明<A,﹡>為<G,﹡>的子群，為此只需證明運(yùn)算“﹡”在A上滿足封閉性。對(duì)于ai,aj∈A(1≤i≤k,1≤j≤k)，ai﹡aj=ai+j。當(dāng)i+j≤k時(shí)，ai+j∈A;當(dāng)i+j>k時(shí)，ai+j=ai+j-k+k=ai+j-k﹡ak=ai+j-k﹡e=ai+j-k

∈A;因此，運(yùn)算在A上滿足封閉性。所以，由性質(zhì)4知<A,﹡>為<G,﹡>的子群。再證明<A,﹡>的階為k，即需證明A中k個(gè)元素各不相同。用反證法。設(shè)A中有兩個(gè)元素相同，不妨設(shè)ai=ai+p，即ai=ai﹡ap，并且應(yīng)有p<k。由群的性質(zhì)可知ap=e，這和|a|=k矛盾。因此，

<A,﹡>為<G,﹡>的k階子群。

第四十頁，共五十九頁，2022年，8月28日練習(xí)找出Klein四元群的所有子群。﹡eabceeabcaaecbbbceaccbae注：由于是有限群，只需要考察封閉性。第四十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.1.3特殊群定義7.11

對(duì)于群<G,﹡>，如果運(yùn)算“﹡”滿足交換律，則稱<G,﹡>為交換群(commutativeroup)，或者稱為阿貝爾群(Abelgroup)。加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都滿足交換律，因此，群<R,＋>和群<Z,×>都是交換群；模k加法運(yùn)算也滿足交換律，所以群<Nk,⊕k>也是交換群。第四十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日例子令K4={e,a,b,c}，對(duì)二元運(yùn)算*定義如下：則：

封閉的結(jié)合律單位元逆元交換律阿貝爾群Klein四元群4階阿貝爾群第四十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日例子判斷下列代數(shù)系統(tǒng)是否為(交換)半群、(交換)獨(dú)異點(diǎn)、(交換)群。<Z+,+>交換半群，不是獨(dú)異點(diǎn)<N,+>交換獨(dú)異點(diǎn)，不是群<Z,+>交換群，阿貝爾群<P(S),>，其中的S是一個(gè)非空集合交換獨(dú)異點(diǎn)，不是群（幺元：）<P(S),>，其中的S是一個(gè)非空集合交換獨(dú)異點(diǎn)，不是群（幺元：S）階為1的代數(shù)系統(tǒng)<{a},>交換群aaa第四十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日交換群定理7.8

群<G,﹡>為交換群的充分必要條件是：對(duì)于x,y∈G，有(x﹡y)﹡(x﹡y)=(x﹡x)﹡(y﹡y)證明（必要性）設(shè)<G,﹡>為交換群，那么，x﹡y=y﹡x因此，(x﹡y)﹡(x﹡y)=x﹡(y﹡x)﹡y=x﹡(x﹡y)﹡y=(x﹡x)﹡(y﹡y)（充分性）對(duì)于x,y∈G，有(x﹡y)﹡(x﹡y)=(x﹡x)﹡(y﹡y)

因?yàn)椋?x﹡x)﹡(y﹡y)=x﹡(x﹡y)﹡y

(x﹡y)﹡(x﹡y)=x﹡(y﹡x)﹡y由消去律可得，x﹡y=y﹡x所以，<G,﹡>為交換群。第四十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群定義7.12

對(duì)于群<G,﹡>，如果存在元素a∈G，使得G的任何元素都可表示為a的冪(約定a0=e)，即G={ak|k∈Z}，則稱<G,﹡>為循環(huán)群(cyclicgroup)，記為G=<a>，并稱元素a為該循環(huán)群的生成元(generatingelement)。具有有限個(gè)元素的循環(huán)群，稱為有限循環(huán)群(finitecyclicgroup)；具有無限個(gè)元素的循環(huán)群，稱為無限循環(huán)群(infinitecyclicgroup)。群<N5,⊕5>是循環(huán)群，元素1是生成元；集合A={2i|i∈Z}，代數(shù)系統(tǒng)<A,×>是無限循環(huán)群，生成元是2群<Z,＋>是無限循環(huán)群，生成元為1或-1。第四十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日例子試證明：<N4,⊕4>是循環(huán)群。（N4={0,1,2,3}）證明：已知<N4,⊕4>是群，又11＝1，12＝2，13＝3，14＝0。即：N4中元素均可表示為的1k形式,

因此，<N4,⊕4>是以1為生成元的循環(huán)群。證畢。

第四十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群定理7.9

設(shè)<G,﹡>是n階群，a∈G是G的n階元素，則a是群<G,﹡>的生成元，<G,﹡>是循環(huán)群，且G={a0,a,a2,…,an-1}={a,a2,a3,…,an}。證明考察元素a,a2,a3,…,an。由于a∈G是n階元素，所以，這n個(gè)元素各不相同，否則，若有ai=ai+k=ai﹡ak(k<n)，由群的性質(zhì)知ak為幺元，即e=ak，這和a是n階元素矛盾。因此，a,a2,a3,…,an各不相同。進(jìn)而，G中n個(gè)元素可分別用a,a2,a3,…,an中之一表示。故a是<G,﹡>的生成元，<G,﹡>是循環(huán)群，且G={a0,a,a2,…,an-1}={a,a2,a3,…,an}（約定a0=e）。證畢。第四十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群定理7.11

設(shè)f為循環(huán)群<S,﹡>到代數(shù)系統(tǒng)<T,?>的同態(tài)映射，則<f(S),?>是循環(huán)群。證明由群的性質(zhì)，知<f(S),?>是群。下證明<f(S),?>中含有生成元。設(shè)a為<S,﹡>的生成元，那么，對(duì)于x∈S，都有x=ak。對(duì)于y∈f(S)有，x∈S，使得f(x)=y，從而有f(ak)=y即f(a﹡a﹡a﹡…﹡a)=yf(a)?f(a)?f(a)?…?f(a)=(f(a))k=y由此可知，f(a)是<f(S),?>的生成元，<f(S),?>是循環(huán)群。證畢。第四十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質(zhì)性質(zhì)1

循環(huán)群是交換群。證明設(shè)<G,﹡>是循環(huán)群，a是生成元，對(duì)于G中任意元素x和y，能表示成x=ai，y=aj，由此可知，

x﹡y=ai﹡aj=ai+j=aj﹡ai=y﹡x

所以<G,﹡>是交換群。第五十頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質(zhì)性質(zhì)2

對(duì)于生成元為a的n階循環(huán)群，則有|a|=n，且n階循環(huán)群G={a0,a,a2,…,an-1}同構(gòu)于<Nn,⊕n>。證明用反證法。設(shè)生成元a的階數(shù)為k，且k≠n。由群的性質(zhì)知，元素的階數(shù)不會(huì)超過群的階數(shù)，即k<n。由于ak=e，所以，ak+1=ak﹡a=e﹡a=a，ak+2=ak﹡a2=e﹡a2=a2，…，由此可知a的冪僅能表示G中的k個(gè)元素，而不能表示G中的所有元素。這和a是G的生成元矛盾。對(duì)于G={a0,a,a2,…,an-1}和Nn，建立一一映射：f(ai)=i(i=0,1,…,n-1)。由于f(ai﹡aj)=f(ai+j),如果i+j≥n,則f(ai+j)=f(ai+j-n+n)=f(ai+j-n﹡an)=f(ai+j-n﹡e)=f(ai+j-n)=i+j-n;如果i+j<n，則f(ai+j)=i+j。又由于f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj，如果i+j≥n,則f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj=i+j-n；如果i+j<n，則f(ai)⊕nf(aj)=i⊕nj=i+j。所以f(ai﹡aj)=

f(ai)⊕nf(aj)。從而，f為<G,﹡>到<Nn,⊕n>的同構(gòu)映射，即n階循環(huán)群同構(gòu)于<Nn,⊕n>。第五十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質(zhì)性質(zhì)3

生成元為a的無限循環(huán)群，有兩個(gè)生成元a和a-1，且G={a0,a±1,a±2,…,a±n,…}并同構(gòu)于<Z,＋>。令A(yù)={a0,a±1,a±2,…,a±n,…}。由于a∈G，則a-1∈G，ak∈G且(ak)-1=(a-1)k=a-k∈G,所以，AG；對(duì)于x∈G，必有x=ak∈A,所以，GA。綜上述知，G=A。再證明G只有兩個(gè)生成元a和a-1。設(shè)G=<b>，由a∈G知，s∈Z，使得a=bs。又由b∈G知，t∈Z，使得b=at。所以，a=bs=(at)s=ats=ats-1﹡a。由群的性質(zhì)得，ats-1=e。由于<G,﹡> 是無限循環(huán)群，所以，ts-1=0，從而，s=t=1或s=t=-1。因此，b=a或者b=-a。對(duì)于G和Z建立一一映射：f(ai)=i(i∈Z)。由f(ai﹡aj)=f(ai+j)=i+j，所以，f(ai﹡aj)=f(ai)+f(aj)。從而，f為<G,﹡>到<Z,+>的同構(gòu)映射，即無限循環(huán)群同構(gòu)于<Z,+>。第五十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質(zhì)性質(zhì)4循環(huán)群的子群都是循環(huán)群。設(shè)<G,﹡>為以a為生成元的循環(huán)群，<H,﹡>為其子群。當(dāng)然，H中元素均可表示為ak的形式。如果H={e}，顯然H=<e>，H是循環(huán)群。如果H≠{e}，那么ak∈H(k≠0)。由于H是子群，必有(ak)-1=(a-1)k=a-k∈H。不失一般性，可設(shè)k為正整數(shù)，并且它是H中元素的最小正整數(shù)指數(shù)。下證H是由ak生成的循環(huán)群。對(duì)于am∈H,令m=pk+q，其中p為k除m的商，q為余數(shù)，0≤q<k。于是am=apk+q=apk﹡aq,aq=a-pk﹡am。由于apk=(ak)p,a-pk=(a-k)p且apk

∈H,a-pk∈H,am∈H,故aq∈H。又k為H中元素的最小正整數(shù)指數(shù)，結(jié)合0≤q<k知，只有aq=e，即q=0,從而am=apk=(ak)p。綜上述知，<H,﹡>是循環(huán)群。第五十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日循環(huán)群的性質(zhì)性質(zhì)5對(duì)于生成元為a的n階循環(huán)群，能整除n的正整數(shù)k，那么該循環(huán)群有k階循環(huán)子群，且僅有一個(gè)k階循環(huán)子群。設(shè)<G,﹡>為以a為生成元的n階循環(huán)群，G={a,a2,a3,…,an}。因?yàn)閗能整除n，所以令n=pk，構(gòu)造H={ap,a2p,a3p