課件匯總附案例-3.0建模創(chuàng)新思維方法

1.3建模創(chuàng)新思維方法現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型翻譯為實際解答始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界一、概論數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁，怎樣構(gòu)架這座橋梁？數(shù)學(xué)建模過程分為若干有明顯差別的階段性工作

求解數(shù)學(xué)模型

實際問題分析建立數(shù)學(xué)模型提交論文與報告

模型及模型解的分析及檢驗

此流程具有指導(dǎo)意義，應(yīng)注意

*流程應(yīng)用是彈性的，切不能生搬硬套.*建模過程往往是一個反復(fù)循環(huán)的過程.*數(shù)學(xué)建模沒有普遍適用的方法與技巧.

*數(shù)學(xué)建模與問題性質(zhì)、建模目的以及建模工作者自身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和專長有關(guān).*有一些普遍適用的思想方法與思維方式.

數(shù)學(xué)建模過程是一種創(chuàng)新過程，在思考方法和思維方式上與其他數(shù)學(xué)課程有較大差別.重要的科學(xué)思維方式之一是創(chuàng)新思維,創(chuàng)新思維是創(chuàng)新能力的核心與靈魂.數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維…….等等.類比思維歸納思維逆向思維發(fā)散思維猜測思維直覺思維數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比.類比思維:類比是根據(jù)兩個或多個對象內(nèi)部屬性、關(guān)系等某些問題的相似性，而推出他們在其他方面也可能相似的一種推理思維形式，是數(shù)學(xué)探索中常用的一種創(chuàng)新思維方法歸納思維從眾多的事物和記錄中找出共性和本質(zhì)屬性的抽象化思維.對眾多個別事物的經(jīng)驗認(rèn)識的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，并總結(jié)出原理，從觀察一類事物的部分對象具有某一屬性,而歸納出該類事物都具有這一屬性的推理方法直覺思維是根據(jù)某些已知的事實和知識對研究的問題提出合理的猜想或突然領(lǐng)悟的思維過程，通常包括直覺、靈感、潛意識等非邏輯的思維活動.

直覺思維是通過背景材料提出猜想的一種途徑，是創(chuàng)造性思維不可缺少的一部分.直覺和猜測思維:發(fā)散思維是一種不依常規(guī)、不受約束，充分展現(xiàn)聯(lián)想和想象的思維.發(fā)散思維是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問題的多種方案.介紹幾種數(shù)學(xué)建模工作各環(huán)節(jié)用到的創(chuàng)造性思維方法：問題解決法、思想表達法等.對于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺方法的共同特點:

不輕易否定別人的意見，懷疑一般常識，努力發(fā)現(xiàn)別人尚未察覺的事物等.1．小組群體思維類似于現(xiàn)代科研工作，數(shù)學(xué)建?；顒邮侨后w的合作活動.*傳統(tǒng)教育模式使學(xué)生,善于獨立思考，卻拙于交流、與人合作.

*數(shù)學(xué)建模是一種集體創(chuàng)新過程,需要一種集體創(chuàng)新思維方式.*在合作過程中缺乏相互理解、相互協(xié)調(diào)、相互交流、從而集思廣益的意識及能力.

集體思考法(BrainStorming，簡稱BS法)

是一種較好的集體創(chuàng)新思維方式為使合作者互相啟發(fā),互相學(xué)習(xí),發(fā)揮特長.

良好合作的要素：需要、提倡、避免.需要：相互尊重、平等相待.

提倡：積極思考、學(xué)會傾聽、善于表達、勇于爭辯、懂得妥協(xié).避免：武斷評價、回避責(zé)任、孤高自傲、喪失信心.突破問題的靈感與思想的火花往往產(chǎn)生于激烈的爭論之中

2．發(fā)散性思維方法面對新問題，應(yīng)盡量打開自己的思路：

發(fā)散性思維和猜測思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分1.不要輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結(jié)論.

2.

盡量多一些想法，多一些猜測.思考、思考、再思考.幫助展開思路的方法：

②

關(guān)鍵詞聯(lián)想法①提問題法①提問題法

面臨難題,束手無策時通過提出一系列問題來導(dǎo)出一些想法或一個好的方案.借助于一系列問題來展開思路如：

(l)這個問題和什么問題有類似之處？(2)假如變動問題的某些條件將會怎樣？(4)重新組合又會怎樣？(3)將問題分解成若干部分再考慮會怎樣？為進一步打開思路可提以下問題：

(5)我們還可以做什么工作？(6)有無需要進一步完善的內(nèi)容？(7)可否換一種數(shù)學(xué)工具來解決此問題？

針對問題和初始方案可以先設(shè)計出類似的問題清單，然后反復(fù)展開.

例1.3.1穿越公路模型（P23實例七）

一條馬路交通不太擁擠,以致人們養(yǎng)成“沖”過馬路的習(xí)慣,不愿行走到鄰近較遠處的“斑馬線”.當(dāng)?shù)亟煌ü芾聿块T不允許任意橫穿公路,為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點增設(shè)一批“斑馬線”,讓行人可穿越馬路,并且還要保證行人的平均等待時間不超過15秒.1.考慮問題的立場,司機或行人的哪方面的利益更為重要？2.公路情況:是否有彎道？車道間是否設(shè)有安全隔離帶？……3.車流情況:車流的密度大?。?.行人情況:穿越公路的速度大??？穿越公路的人群密度？穿越公路者的性質(zhì)？增設(shè)“斑馬線”需考慮哪些方面的問題？

問題分析此問題的特點是機理復(fù)雜,受到較多隨機因素的影響.類似渡口模型可采用統(tǒng)計模擬方法加以解決.

一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進銷售，比如不惜血本大做廣告等等.他們都希望對這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進貨.例1.3.2新產(chǎn)品銷售模型

怎樣建立一個數(shù)學(xué)模型描述新產(chǎn)品(電飯煲)推銷速度，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn).想一想

此問題與我們遇到的哪一個建模問題相類似？重新分析Logistic人口模型,t

時刻的人口數(shù)為改寫為

數(shù)學(xué)分析1.若

r＜0,則S＜0,隨著,有2.若

r＞0,討論Logistic曲線特征，有N(t)是單調(diào)上升函數(shù).

K是使得人口凈增長率r(K)=0的人口數(shù)，可理解為該地區(qū)能容納的人口上限.t00N0KK/2

人口不會無限增長，存在一個轉(zhuǎn)折時間點t0

，過此點以后增長速度會減緩.

(1)一般每戶只需用1～2只電飯煲就足夠,一個地區(qū)的需求量是有限的；

電飯煲的銷售情況類似于人口增長情況,可利用類比方法建立模型.Logistic模型特點初期高速增長，過一個特定時間點后增長速度減緩，且有上界控制.對電飯煲銷售問題的分析：(2)初期在廣告之類推銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時銷售速度會減緩.

記x(t)為t時刻已售出的電飯煲總數(shù),市場的飽和量(最大需求量)為M,利用Logistic模型來描述電飯煲的銷售速度變化情況.實際情況與Logistic銷售曲線十分吻合.

當(dāng)銷售量小于最大需求量的一半時，銷售速度增長很快，產(chǎn)品最為暢銷,其后銷售速度將開始下降.

結(jié)論新產(chǎn)品取得較高的經(jīng)濟效益應(yīng)采取的措施(1)初期采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；(2)銷售量處于最大需求量的20%～80%時，是該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較適合時期；(3)當(dāng)銷售量超過最大需求量的80%，應(yīng)考慮適時轉(zhuǎn)產(chǎn).討論

現(xiàn)實中哪些變量的變化可用Logistic模

型進行描述？

現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內(nèi)發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財產(chǎn)損失.

大樓內(nèi)居住人員的安全保障在于無論發(fā)生什么情況,都能使人員有組織,有秩序地進行疏散撤離.

一座大樓的管委會想進行一次緊急疏散人員的演習(xí).例1.3.3“9.11”事件的反思

問題分析

演習(xí)之前需要考慮許多方面,如大樓內(nèi)的設(shè)施、人員的分布情況、撤離路線的設(shè)計、撤離的步驟等等,這是一個較龐大的系統(tǒng)工程.(見P16

實例3疏散模型).可考慮將此問題分解成為若干個子問題，如*一個房間內(nèi)人員的撤離；*一個通道的撤離；*一層樓人員的撤離；……最后,將各個子問題重新組合起來.小型飛機內(nèi)艙練習(xí)題大中小三類飛機旅客上機流程設(shè)計中型飛機內(nèi)艙大型飛機內(nèi)艙②關(guān)鍵詞聯(lián)想法主要步驟如下：(1)抓住問題或方案的關(guān)鍵詞,不受任何約束地進行聯(lián)想；(2)把聯(lián)想到的內(nèi)容用關(guān)鍵詞的方式登記在卡片上,進一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進一步想出新的主意；(3)再把積攢的卡片相互搭配,形成解決問題的初步思路與步驟.有效的發(fā)散思維方式

例3.1.4

一個飛行管理問題

在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行.區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度均由計算機記錄其數(shù)據(jù),以便進行飛行管理.當(dāng)一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的飛機發(fā)生碰撞.如果會碰撞,則應(yīng)計算如何調(diào)整各架（包括新進入的）飛機飛行方向角，以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：……請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型,列出計算步驟,對以下數(shù)據(jù)進行計算(方向角誤差不超過0.01度).要求飛機飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為：……

試根據(jù)實際應(yīng)用背景對你的模型進行評價與推廣.飛行管理問題

*對問題仔細閱讀,首先抓住題目中的關(guān)鍵詞“管理”進行聯(lián)想.

*

抓住諸如“碰撞”、“調(diào)整”、“避免碰撞”、“立即”、“判斷”等等詞語.

*聯(lián)系解決問題的方案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來.

立即判斷

碰撞

條件

實時

算法

避免碰撞

調(diào)整方向角

實時

幅度盡量小

相對距離優(yōu)化問題優(yōu)化算法優(yōu)化調(diào)整方案問題的初步理解及把握:

飛行管理問題是優(yōu)化問題,在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時，還必須注意調(diào)整方案及算法的實時性.

作業(yè)題1.網(wǎng)上查找全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題“2010年上海世博會影響力的定量評估”,需給出網(wǎng)址.2.用關(guān)鍵詞聯(lián)想法分析題目,形成對問題的初步理解和解決問題的思路.2010年上海世博會是首次在中國舉辦的世界博覽會.從1851年倫敦的“萬國工業(yè)博覽會”開始，世博會正日益成為各國人民交流歷史文化、展示科技成果、體現(xiàn)合作精神、展望未來發(fā)展等的重要舞臺.請你們選擇感興趣的某個側(cè)面，建立數(shù)學(xué)模型，利用互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)，定量評估2010年上海世博會的影響力.2010年上海世博會影響力的定量評估有兩種把握住問題的全貌的有效方法：

(1)層次結(jié)構(gòu)法

(2)問題分解法

有專著介紹

問題分解法是一種簡單而有效的把握問題整體的方法.③整體把握問題的方法將問題分解為“三要素”的三個部分.

問題分解三要素

初態(tài)

目標(biāo)態(tài)

過程

覺察到的現(xiàn)在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等).

覺察到的希望目標(biāo)(想要什么、希望達到什么等).

能在“初態(tài)”和“目標(biāo)態(tài)”之間發(fā)生作用的行動(能做什么).例1常見數(shù)學(xué)題目模式

已知求（證）解題初態(tài)目標(biāo)態(tài)過程教師的主要教學(xué)目標(biāo)

*解決實際問題時，分析出問題的初態(tài)和目標(biāo)態(tài)很困難.

*未清晰地描述出問題的“初態(tài)”和“