第五課分式比例的性質(zhì)

第五課分式，比率的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解分式的基本性質(zhì)，會(huì)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行簡單恒等變形；理解比率的性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用比率的性質(zhì)化簡。一、基本看法1.分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變,這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)。．．．．．．．用式子表示是A=A；A=A（其中M是不為零的整式）。BBBB2．（1）當(dāng)分子、分母都含有負(fù)號(hào)時(shí)，分子、分母應(yīng)同乘以-1,使分式的值不變，且分子分母都不含負(fù)號(hào)。當(dāng)分子或分母含有負(fù)號(hào)時(shí)，利用分式的基本性質(zhì)及有關(guān)法規(guī)，把分子或分母的符號(hào)變?yōu)開__________的符號(hào)。3．合比性質(zhì)的表達(dá)文字：在一個(gè)比率里，第一個(gè)比的前后項(xiàng)的和與它后項(xiàng)的比，等于第二個(gè)比的前后項(xiàng)的和與它的后項(xiàng)的比，這稱為比率中的合比定理，這種性質(zhì)稱為合比性質(zhì)。字母：已知，且有，若是，則有。推導(dǎo)過程：．分比性質(zhì)的表達(dá)文字：在一個(gè)比率等式中，第一個(gè)比率的前后項(xiàng)之差與第一個(gè)比率的后項(xiàng)的比，等于第二個(gè)比率的前后項(xiàng)之差與第二個(gè)比率的后項(xiàng)的比。字母：已知，且有，若是，則有。推導(dǎo)過程合分比性質(zhì)的表述文字：在一個(gè)比率等式中，第一個(gè)比率的前后項(xiàng)之和與第一個(gè)比率的前后項(xiàng)之差的比，等于第二個(gè)比率的前后項(xiàng)之和與第二個(gè)比率的前后項(xiàng)之差的比。字母：已知，且有，若是，則有。推導(dǎo)過程令則等比性質(zhì)的表達(dá)文字：在一個(gè)比率等式中，兩前項(xiàng)之和與兩后項(xiàng)之和的比率與原比率相等字母：已知，且有，若是，則有。推導(dǎo)過程證法一令，則證法二由合比性質(zhì)即推論已知，且有，若是，則有更比性質(zhì)的表達(dá)文字：把一個(gè)比率的一個(gè)比的前項(xiàng)與另一個(gè)比的后項(xiàng)互調(diào)后,所得結(jié)果仍是比率.字母：若是a/b=c/d那么a/c=b/d（b、d≠0）推導(dǎo)過程a/b=c/d等號(hào)兩邊同乘bd得ad=cb同除dc得a/c=b/d外項(xiàng)的積等于內(nèi)項(xiàng)的積文字：兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比率的基本性質(zhì)。字母：若是（，，，都不等于零），那么＝

．推導(dǎo)過程用去乘的兩邊，得·bd＝·，所以＝．二、典型例題例1．若a、x、

y都是不為

0的數(shù)，將

1的分子與分母都乘以

y，獲取

y

，x

xy則分式

1x

與

yxy

相等嗎？(

相等

)將分式

2xax

的分子與分母都除以

x，獲取

2，分式a

2xax

與

2相等嗎？(a

相等

)例2：1、若a1,則ab____,ab_____,a2b____b2bbb剖析：ab3,ab1,a2b5b2b2b22、如圖，已知AE2，EC3且ADAEDBEC則AB______DB剖析：ABADDBAEEC235DBDBEC333、已知x2,則xx_____;xy____y3y2xy剖析：x22;xy235yx3252xy22314、若ace2,則ace____;a2c3e____bdfbdfb2d3f（其中bdf0,b2d3f0)剖析：ace2b2c2f2;a2c3e2bdfbdfb2d3f、若ace2且ace，則bdf____dfb3（其中bdf0)剖析：ace2,且ace4，則ace4bdf6bdf3bdf6例3．、已知x:y:z1:2:3,則x2yz1zx______x2yzx4x3x4剖析：zx3xx12、已知xyz,且2xyz4,則xyz______235剖析：xyzk,責(zé)2xyz4k3k5k4,235k2則xyz2k3k5k203、若2x3y4z,則x:y:z______;xz____xy剖析：3y4z12k,則x:y:z6:4:3;2xxz6k3k9xy6k4k2三、當(dāng)堂檢測1、下面各組中的分式相等嗎？為什么？（1）mn與2m2n（2）aab與b1a2aacc（3）a與a（4）a與abbbb2、下面的式子正確嗎？為什么？（1）x=2x（2）6m12n=m2nx12x18m12n2m3n3、若3x2y,則x_____y4、若mxny,則x_____y5、若abc0,設(shè)abacbck,則k_______cba四、課堂小結(jié)與反思五、課后練習(xí)1、若23，則x______x42、若3,x2,4,x1成比率，則x______3、若am2,那么am____;am____bn3bnbn（其中bn0,bn0)4、已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足abcbca則△ABC的形狀是_______5、若2x5y,則以下比率式成立的是（）A)xyB)xyC)x2D)x52552y53y6、若abck,則k_______cacabb第六課因式分解學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)會(huì)十字相乘法，公式法，分組分解等各種方法進(jìn)行因式分解，熟記平方差，圓滿平方等常用的一些因式分解公式。一、基本看法定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解與整式乘法為相反變形，同時(shí)也是解一元二次方程中公式法的重要步驟.二、因式分解三原則1．分解要圓滿（可否有公因式，可否可用公式）2．最后結(jié)果只有小括號(hào)3．最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（比方：3x2xx(3x1)）三、基本方法（一）提公因式法mambmcm(abc)若是一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，能夠把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步驟：1）若各項(xiàng)系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的最大合約數(shù)；2）取相同的字母，字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；3）取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的指數(shù)取次數(shù)最低的；4）所有這些因式的乘積即為公因式.（5）若是多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)，提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶.（二）公式法由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，若是把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式.1、平方差公式：a2b2(ab)(ab)2、圓滿平方公式：a22abb2(ab)23、立方和公式：3b3(ab)(2ab2b)aa4、立方差公式：3b3(ab)(2ab2b)aa5、a2b2c22ab2bc2ca(abc)26、圓滿立方公式：a33a2b3ab2b3(ab)37、a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)（三）分組分解法能分組分解的多項(xiàng)式一般有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法、三一分法.（四）十字相乘法口訣：首尾分解，交錯(cuò)相乘，求和湊中二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)進(jìn)行分解特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1；2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和2.二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式——ax2bxc條件：（1）aa1a2a1c1（2）cc1c2a2c2（3）ba1c2a2c1ba1c2a2c1分解結(jié)果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例、分解因式：a28ab128b2剖析：將b看作常數(shù)，把原多項(xiàng)式看作關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。18b-16b8b+(-16b)=-8b解：a28ab128b2=a2[8b(16b)]a8b(16b)4.二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例、2x27xy6y2例、x2y23xy21-2y把xy看作一個(gè)整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)（五）換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，能夠選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，整體代入，今后進(jìn)行因式分解，最后再變換回來，這種方法叫做換元法.注意：換元后勿忘還元.（六）拆項(xiàng)、添項(xiàng)法這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)翻開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解.要注意，必定在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.（七）配方法關(guān)于某些不能夠夠利用公式法的多項(xiàng)式，能夠?qū)⑵渑涑梢粋€(gè)圓滿平方式，今后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法.屬于拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的一種特別情況。也要注意必定在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形.（八）主元法先選定一個(gè)字母為主元，今后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解.（九）特別值法將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適合的組合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式.（十）待定系數(shù)法第一判斷出分解因式的形式，今后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解.（十一）長除法不足的項(xiàng)要用0補(bǔ)，除的時(shí)候，必定要讓第一項(xiàng)抵消二、典型例題（一）提公因式法例1．分解因式x32x2x解：x32x22xx(x2x1)（二）公式法例2、分解因式a24ab4b2解：a24ab4b2(a2b)2例3、已知a,b,c是ABC的三邊，且a2b2c2abbcca，則ABC的形狀是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca2220abc(ab)(bc)(ca)（三）分組分解法例4、分解因式amanbmbn.解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每組之間還有公因式！(mn)(ab)例5、分解因式2ax10ay5bybx解法一：第一、二項(xiàng)為一組；解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。第二、三項(xiàng)為一組。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)（四）十字相乘法例6、分解因式：x25x6剖析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中能夠發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5.x26=x212解：5x(23)x2313=(x2)(x3)1×2+1×3=5用此方法進(jìn)行分解的要點(diǎn)：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù).例7、2x27xy6y2例8、x2y23xy21-2y把xy看作一個(gè)整體1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)（五）換元法例9、分解因式(x2x1)(x2x2)12解：令yx2x則原式(y1)(y2)12y23y10(y5)(y2)(x2x5)(x2x2)(x2x5)(x2)(x1)（六）拆項(xiàng)、添項(xiàng)法例10、分解因式解：原式

bc(bc)ca(cbc(caab)bc(ca)bc(abc(ca)ca(c(bcca)(ca)c(ca)(ba)

a)ab(aca(ca)b)ca(cbc(a(bcab)(ab(ca)(a

b)ab(ab)a)ab(ab)ab(ab)b)b)(cb)(ca)(ba)（七）配方法例11、分解因式x24x3解：原式x24x443(x2)21(x21)(x21)(x3)(x1)（八）主元法例12、分解因式a2(bc)b2(ca)c2(ab)解：原式a2(bc)a(b2c2)(b2cc2b)(bc)[a2a(bc)bc](bc)(ab)(ac)（九）特別值法例13、分解因式x39x223x15解：令x2，則x39x223x158364615105將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105357注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值則x39x223x15(x1)(x3)(x5)（十）待定系數(shù)法例14、分解因式x4x35x26x4解：由剖析知，這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，所以只能分解為兩個(gè)二次因式于是設(shè)x4x35x26x4(x2axb)(x2cxd)x4(ac)x3(acbd)x2(adbc)xbd所以ac1acbd5adbc6bd4解得a1，b1，c2，d4所以x4x35x2226x4(xx1)(x2x4)（十一）長除法例15、分解因式3x35x22解：提示：x1能夠使該式0，有因式(x1)，以以以下列圖，所以原式(x1)(3x22x2)三、當(dāng)堂檢測1．分解因式：a28ab128b22.分解因式：3x211x103.分解因式（1）2005x2(200521)x2005（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x24.（）當(dāng)m為什么值時(shí)，多項(xiàng)式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多項(xiàng)式.1（2）若是x3ax2bx8有兩個(gè)因式為x1和x2，求ab的值.四、課堂小結(jié)與反思五、課后練習(xí)1．分解因式：x2y2axay分解因式：a22abb2c2分解因式：x27x64.分解因式x2xy6y2x13y65、分解因式x25xy6y28x18y126、分解因式abb2ab2第七課解方程（組）的方法學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)會(huì)解一元一次方程，一元二次方程，簡單的分式方程，及學(xué)會(huì)解二元一次方程組。一、基本看法解一元一次方程的步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；獲取方程的解x=b/a.、解一元二次方程的基本思想方法是經(jīng)過“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：（1）、直接開平方法；（2）、配方法；（3）、公式法；（4）、因式分解法。解分式方程的基本思想就是想法將分式方程“轉(zhuǎn)變”為整式方程。（1）解分式方程的基本方法——去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程兩邊同時(shí)乘以各分式的最簡公分母，使分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)檎椒匠?，但要注意，可能?huì)產(chǎn)生增根，所以，必定驗(yàn)根。（2）解分式方程的其他方法拆項(xiàng)法2.通分法3.交錯(cuò)相乘法二元一次方程組的解法（1）代入消元法（2）加減消元法“消元”是解二元一次方程的基本思路。所謂“消元”就是減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，使多元方程最后轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉匠淘俳獬鑫粗獢?shù)。這種將方程組中的未知數(shù)個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。二、典型例題例1．一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字少1，若把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字跟個(gè)位數(shù)字對調(diào)，獲取的新三位數(shù)比原三位數(shù)小396，求原三位數(shù)】剖析：先找要點(diǎn)句---“若把三位數(shù)的百位數(shù)字跟個(gè)位數(shù)字對調(diào)今后獲取的新三位數(shù)比原三位數(shù)小396”，做這道題還要會(huì)用x表示三位數(shù)。若設(shè)原三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x，由題意十位數(shù)字為x+1，百位數(shù)字是2（x+1）原來三位數(shù)大小可表示為2（x+1）×100+（x+1）×10+x對調(diào)后新的三位數(shù)個(gè)位數(shù)字是2（x+1），則十位數(shù)字為x+1，百位數(shù)字是x新三位數(shù)大小可表示為100x+（x+1）×10+2（x+1）解：設(shè)原來三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是x由題意獲取方程（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+3962（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+396（約去代數(shù)式)2（x+1）×100+x=100x+2（x+1）+396(去括號(hào)）200x+200+x=100x+2x+2+396（移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)）99x=198（系數(shù)化為1）x=2原來的數(shù)字個(gè)位2，十位x+1=3，百位2（x+1）=6。該三位數(shù)為632答：原來的三位數(shù)是632例2：（1）.解方程：2x2＋3＝5x．解：移項(xiàng)，得：2x2-5x＋3＝0，2）解方程：2x2+7x-4＝0a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝813）解方程：x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)9a2-8a2-4ab+4b2a2-4ab+4b2(a-2b)2當(dāng)(a-2b≥0)時(shí)，得(4)2x25x20解：能夠分解為（x-2)(2x-1)=0解得x1x21=2=212例3：（1）x1x21解：方程兩邊都乘x1x1，約去分母，得：x12,x1。檢驗(yàn)：當(dāng)x1時(shí)，x1x10。所以：x1是增根，即：原方程無解。x7x3x4x6(2)解方程：x9x5x6x8。x92x52x62x82解：x9x5x6x8，121212129x6x8，即xx51111移項(xiàng)，整理，得x9x8x6x5，x8x9x5x6x9x8x6x5，11x9x8x6x5，去分母，得x6x5x9x8，解得：x7。經(jīng)檢驗(yàn)，x7原方程的根。x3x4x1x2(3)解方程：x4x5x2x3。方程兩邊分別通分，得x＋3x5x42＝x1x3x22x5x＋4x2x3，11即x5x4x3x2，∴x5x4x2x3，x7解得2。x7經(jīng)檢驗(yàn)，2是原方程的根。x

7∴原方程的根是2。23x32x(4)解方程：3x12x2。7解：原方程化為23x2x232x3x1，整理得13xx7，∴13。7經(jīng)檢驗(yàn)x13是原方程的根。x7∴原方程的根是13。xy8