現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課后習(xí)題

現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課后習(xí)題課后習(xí)題：P10:6,86.設(shè)A為可列集，B是A的全體有限子集構(gòu)成的集合，證明： B是可列集—*設(shè)避0—EdMM?。?- 產(chǎn)力?N為一個尸格單調(diào)缺忖,郵JLhi <j.比怖力工的全體"/*?定義聯(lián)咐F@*%N"F眼?■:71/1）*口*（2》/***%（*））€ 尸"""M.WK是一Xf—?時?周北3H網(wǎng)tf列眼.千足已匕=—m』，「川/…山￡3，，胃產(chǎn)，口即V*的嚴(yán),可川<jj,U10H），械。埋叫*L si8.證明以有理數(shù)位中心且以有理數(shù)為半徑的區(qū)間全體是可列集。/建人，任一中心力有.我一,瞪辦.我,的懺一鼻城所|1這更IKK全修為，干是作?蜀F'?fQXQ*?逾爨Q墨#尊....是正有..*.ff4F（A）-（r.nQXQ,昆竹F看一金片,因此H是町列集，| 同用，岫閑區(qū)間，左開右用，左即有JF建三JSN間郵.州■,P16:8，.西設(shè),e?+8）,則存在。>。?使工0w（^,+?>）,x彼一”<筱一“h而爆故￡射“收斂，故￡代在q.+b）上一致收斂，于是/（力在工?"i fl"1連■

工征Jr一事|= —Ji|小+"J+/|汐工+-/II-T*-2j%++/I。J|一/|L故|八二)一人力|工1?一3上于姑對匕A0.瞅#VJ則&證明/("=：*>一/31<，&證明/("=：*>一/31<，■M■MP42:1,5,61出記??=一」”上一也=工Z1工,1， ZI、,卜■-1■】由Young不等式?.機*C+得——— 4-1」區(qū)」'(W)+%的產(chǎn)空-Wit■T ?T JT|求和得Sl*dI 1 1工1二i? 70^—=1(2E「)"zi打骨"q?-1 ■—]故￡"」《(￡g')〃￡iw)+.…?*|…5.設(shè)/,g在（0,1）內(nèi)為非負(fù)可測函數(shù)，'g;6L?（0,1）,且在（0,1〉內(nèi)幾乎父處成立/T4/?（工）屋/）?求證：4<1/（/）必|4（“）（1/? —.證^由不等式工t4/(x)g(x)得工一+ (X)/(工)故Jz+c￡r&j廣(N)儲(x)dr&(J/(x)cLr)?*(1?(*)公)[而|：HT<tr=2,于是不等式得證.^.證明？(WI6I)2<^SI〃「??=1 6.證，由Holder不等式（〃=q=2）得一—一《[（￡產(chǎn)）+?人■:）+]:▲=1 ?TU）=上-1 ElP48:2,3,4、時i,、Er.規(guī)篁=yIx-y\.證明，R?p)走距離空劃,把所有玳效敦利的集合死為j時工"€廣,*={1/■了=(y)3=1.2「7?(jr,v)—supIj_，—,！.證明："*產(chǎn))是距離身間.二談X1.度量變間,在X中若J".一上，Mrfy5一8).證明年(上"y.)f,([P52:1,2,5,6,8.設(shè)M球乩(工?)=3訊n)*門,普6B?(?“且上■—.由于「(、?*?)+61.~)Wr+^(x?fjF)—Hw^(jrJr/O?1lyE瓦.設(shè)工EA\Wz￡A的內(nèi)點?于是3r>0.ftB4J)C^弭力可尚個￥e8(工》.存在八，。.使It(v)CA，那幺yEA，即從J)Ua?4H*是開爆.5.itX是一度量變閏.工*￡X,衽用1/(丁)產(chǎn)屢l"八是X上的連城的敕6.設(shè)K是度量空間,FuX是一個非空間集，時/￡X，記g『〔/_rT)?3否(工*).證明：咐任志f>0,集合]工￡X|/m,F)<“是開集?ft,謖X是度量空間.AUX■若4e*，證明；時任意1>0,集An8（工，建）是無解集.8.若4rlB（-r（f*r）足有限集*記為彳出以，…,%）,再記p=min/（口，，Hj）口.云工」==I*2」"1）>0,則AH<B（xaf八]]：））=￡,這芍4■能才畸IP62:10,11才一■ ??一.10.證明，緊集的連續(xù)像是聚集， ,：2jIL設(shè)X是度量空間,AuX是緊集.BuX是閉集.記p（A,B）—inf（^p（a,6）|aWA.bWB｝若p（A.B）=0,則Af]Bf0. H],設(shè)A是緊集，f.A-*Y是連續(xù)映射.來證,5）妲F中紫裝.對E口2、3工.WA使，?一/（工?），由于A是聚集.三式￡4及千列｛1.｝使工，■*&,由f連續(xù)得N”，=/（工、）f?）€〃A）,故人A）是?紫集.1L征：存在%￡A及兒66使pQ.RJf0?義A是緊集，存在于列1%J及口￡A使p（?，。）f。.從而pl%而<〃*..仇J+pS,川-0.而H是閉集，故口￡H即口6408#0*P69:1.用壓縮映像原理證明方程x=asinx只有唯一的根x=0,其中a屬于（0,1）..當(dāng)[工I>1時，方程無根，因為|父1=lasinjr|式口V1.取K=[—I*1],產(chǎn)（r.U=,f一力.那么（X,p）是完備度量空間,定義映射。X-X為九嫌「1丁工*Ty）=Ia雪in上一口加丫1=加啦0三下^。8三點』了故丁是壓靠映射.從而丁有唯一不動點H=0.P75:33.設(shè)X,Y是兩個線性空間，T:X-Y是線性算子，證明：ker(T)和R(T)分別是X及Y的子空間。3.設(shè)*5ER(r),則存在上…八EX便山=4?于是對任觸▲1?A工41箱加十k力=A1Trl+九7>，+尢?心)WR(T)故R(T)是子空間，同理可證ker(T)也是于空間.P83:2,4,7?注X最跋范線法空間,{，}是X中Cauchy列,證明：，J1有界集?2.對.=1,存?自落數(shù)N,當(dāng)71,m》N，，ff||工,一工.IIV1特別II■?一八口VI即NmJ<1+||hwII故取M=({1"-kII,| 11+1M#|||xJl<Al1—I?在連續(xù)函4t空間C[。/]上定義兩個范敦JI/IIi=(J*I/<上)I%上)，||*|j=(JIl-(l+x)±ri明JI?IIi與H?k等儕*7.因SV收斂，那么二工￡工：是CHUchy列，于砧；i，J?,即f05fg>.P93:1,4,5!設(shè)Te/ex1)?證明，Kb(T)=(r|n=外走X的閉子空間.L設(shè)工i.i16kerCT)^!皿6F,由于Tr】=丁打=8,則丁(。5$+。/門=]!>?+口丁h=8,即o.十。中Wkw(T),故ker(T)是子空間.若H.WkeMT)且工.一工,由于連續(xù)得Tjt=】imfr.=0,故hWker(T),即kcr(T)是閉干空間.■一，L祺X為所有有界敦利罐成的線性空圖，尼依為||jr|]rsupIa,(工={aj)中T特定尤雪建苒7人滿足斗中2!% 定義芥子丁冰fX為T.r=y.<I-1f4只"工>?1證叫i『FL(XOH||T||.*upX1/K*一

L由于IITx\=平|:司4%￡T|）MqJ=Gup￡|g|U#[,I■】 I4J二i 1 j*-JJ*'I** j-,1 J *jT0我IIT||<supj「即丁EtCX.Xk另一方面時Vt>0,存在io使用j.1TOC\o"1-5"\h\zIf 0VI；,r[>sup |tJi—e.取。1=第。（%）,工。=（則必則|八||二】?故不口*rft . ■T>IITroII>I￡；%#/=Sl%/>*up￡￡I-*，由E的任穩(wěn)件用

17=i 尸? E|Ti|。耳up￡g,即II"一噌"，1 n?1 . .UfUf.YKJ在XP134:2,3,4,5P134:2,3,4,5IIM13=ZIj-I（H=（11，*T，…,*曲）€RM）『■】.IyIII=ZIMI（y=（贄小—?*%）eRE）31矩陣A=Q”）田.定義算子為3—Tx=4r.?證明"ITI）=maxI與i.Kj五■r|<SSkjuj-￡（￡i?j）ei父H *-*E餐門“寸MlI，故g"魄堂嗎x（2凡I）（&I/1 ig，t濡足ma*《￡l。"）一￡"“」,取以=（°?f■L那么IITH>hTrJ-，I，」）

2.若II”那么II工II-

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’二11上||上一\y||=U,若X=R?表示菱形的網(wǎng)條對角線相*X#則IIIrII-UIII工,一才IIf0,即40.即《工q.JF2*Ct.h&Ir+yII1—IIxIP+i+<》，工)+\y\!?IIIIi■一II1+xI!?+i<上，y>—Ky，工》+II了1卜IIi■一II1+；|M-y『+iIJT+II需要掌握證明的定理:P8:例例**有理系數(shù)多項式全體為可列集*證俞^事寞匕，容易知道零次有理系數(shù)多項式即為勺理數(shù)，因而其全：體是有理數(shù)集Q.故可列.對每個固定的力€N.我們證明全體次數(shù)小于或等于打的有理系數(shù)多項式的集合可列,任取次數(shù)小于或等于u有理系數(shù)多項式ux*+由工1+…+疝+口*=P?（*）則其與宜積集IIQ.中元素（％，外?外■…，川）一一對應(yīng)，其中Q*=Q（A=L2l.”+13故椎.6數(shù)小于或等于界有理系數(shù)全體可列.從而有理系數(shù)多項式全體U｛?？趍"+出工1+…+4\a*￡Q.A=0,1,2?方〉w-d是可列集.

P17:定理P61:定理定理LI』設(shè)為是度代空間X中的一個聚集J是定義在A上的?個連續(xù)函敦.顰么f是有界的.且上下確界可達(dá).證明 先證/布格若不然,則存在E.￡A,使1im|八人）|一幻，由于從足紫■-**的,工.有子列在月中收斂,即有4WA.使工，?八，由于/在上「點連續(xù).flJ｛才J=lim八'1從而f（#u）=8,這是不可能的.所以/在在上是有界的.正A-AZZ-/=』?/1X）,由上確界定義.同樣可找到A中點列以，，滿足/,由A’常件.存在于列3/及孔€A,使.r’f丸凌f8>,由f在工口點連續(xù)，得/（，』=hm/（1.J孑3,顯然小工"<網(wǎng)于是人工口）=?.同理可證下俺界可達(dá).L 關(guān)于判斷索要空間C|>』］中子集的列紫性有卜述著芯的Arzda-Ascoli定電P64:定理定理（Banach壓縮映像原理） 設(shè)X是完備度量空間，T:X-X是壓縮映像，那么T存在唯一的不動點。量收趣儀量收趣儀I-g「可*lL*p(r.i,?r.)制-R)?因此金J足Cauchy點列從血fp在一X中j便1,一我們東證一是丁的不動點,平賓上由Tx?■1*) ptTj-Tr.)+/>?TIr*,—?1*得八Tr*：M0*8SMTr?tj7a>=O*fcTV?=#?.融后來證噬一性，ift另有一不動點k?,即宥Ty,"A*，因所以沸l(wèi)r.1y.）二口』即工.=y八,『畢*P78:性質(zhì)性質(zhì)2.4B?IL強于卜ho存在常數(shù)a>0,使llxlliCAllxlhUtX）， J；運明 若上述不等式成立，顯然n?比。?■強，充分性得口匕J 下面證明必蜜性.用反證法:若不等式不成立.剜對任何自然數(shù)叫存在工，W尤使■上.II?>nII工,III，令*=1|；：||J于是h=1,且口*"L||X.III、31一0（世一8）,但I(xiàn)I乂III?僅18）不成立，這與H*'3比jL強矛麻Hn證畢.I' .- 15 ,II卜；_I處跖7riE電/，力：欣物工-：P87:定理定理3.3設(shè)X,y是兩個賦范統(tǒng)性空間，T是從X的干空間門（丁）到丫中的理性算子，則F是連續(xù)的充要條件是T是有界的.證明 充分性.設(shè)丁有界，則存在常數(shù)M>0,使對一切工€。（丁）?II"匕H;MJ||*從而對］.十工5一3）,《工」UD（T）有||Tr?—Tjc||=||T（x?—j*）||<M||工"一illf0f4f—）即Txn_Tl5fB3所漢?丁是連續(xù)的.必要性,若丁連續(xù)但了是無界的，那么對每個打GN,必存在八G口（?。?，使:|Ti\||>r||工?II*令，?r"iJJ"h，那么II%II="-*0（yT-*oo）fB|Jy,由丁的連續(xù)性.Ty*一儀kf8）*但是另一方面15.IIIn*|nJj,||II乃J=|El|AgT=i引出矛盾，故T有界.I 機證:附任何A然1k〃?#1且橫a，時|z?--r,|^?_r.I-hJ+1112-Hi1+一十|.一_