2023年湖北省襄樊市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)

2023年湖北省襄樊市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數(shù)法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

2.

3.方程y"+3y'=x2的待定特解y*應取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)4.設y=e-5x，則dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

5.A.dx+dy

B.

C.

D.2(dx+dy)

6.函數(shù)f(x)=lnz在區(qū)間[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

7.

8.函數(shù)z=x2-xy+y2+9x-6y+20有

A.極大值f(4,1)=63B.極大值f(0,0)=20C.極大值f(-4,1)=-1D.極小值f(-4,1)=-19.設函數(shù)f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

10.

A.

B.

C.

D.

11.

12.微分方程(y)2=x的階數(shù)為()A.1B.2C.3D.4

13.

14.A.(1/3)x3

B.x2

C.2xD.(1/2)x15.設在點x=1處連續(xù)，則a等于()。A.-1B.0C.1D.2

16.

A.2B.1C.1/2D.0

17.

18.設f'(x)=1+x，則f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

19.（）。A.3B.2C.1D.0

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.過M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直線方程為______．26.27.

=_________．

28.

29.

30.31.32.設區(qū)域D為y=x2，x=y2圍成的在第一象限內的區(qū)域，則=______．

33.

34.曲線y=x3-6x的拐點坐標為______．

35.

36.

37.

38.

39.過原點且與直線垂直的平面方程為______．

40.

三、計算題(20題)41.

42.求函數(shù)一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．43.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則44.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．45.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

46.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

47.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

48.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

50.

51.

52.求微分方程的通解．53.求曲線在點(1，3)處的切線方程．54.55.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．56.57.證明：

58.

59.求函數(shù)y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．60.四、解答題(10題)61.設z=ysup>2</sup>esup>3x</sup>，求dz。

62.

63.

64.用洛必達法則求極限：

65.

66.

67.68.69.

70.

五、高等數(shù)學(0題)71.當x>0時，曲線

()。

A.沒有水平漸近線B.僅有水平漸近線C.僅有鉛直漸近線D.有水平漸近線，又有鉛直漸近線六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

2.B

3.D本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性微分方程特解y*的取法．

由于相應齊次方程為y"+3y'0，

其特征方程為r2+3r=0，

特征根為r1=0，r2=-3，

自由項f(x)=x2，相應于Pn(x)eαx中α=0為單特征根，因此應設

故應選D．

4.A

5.C

6.D由拉格朗日定理

7.D

8.D本題考查了函數(shù)的極值的知識點。

9.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

10.C本題考查的知識點為復合函數(shù)導數(shù)的運算．

由復合函數(shù)的導數(shù)鏈式法則知

可知應選C．

11.D

12.A

13.C

14.C本題考查了一元函數(shù)的一階導數(shù)的知識點。

Y=x2+1,(dy)/(dx)=2x

15.C本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念。

由于y為分段函數(shù)，x=1為其分段點。在x=1的兩側f(x)的表達式不同。因此討論y=f(x)在x=1處的連續(xù)性應該利用左連續(xù)與右連續(xù)的概念。由于

當x=1為y=f(x)的連續(xù)點時，應有存在，從而有，即

a+1=2。

可得：a=1，因此選C。

16.D本題考查的知識點為重要極限公式與無窮小量的性質．

17.D解析：

18.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

可知應選C．

19.A

20.A21.0

本題考查的知識點為無窮小量的性質．

22.

23.

本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性微分方程的求解．

24.

25.本題考查的知識點為直線方程的求解．

由于所求直線與平面垂直，因此直線的方向向量s可取為已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直線的點向式方程可知所求直線方程為

26.

27.。

28.3x2siny3x2siny解析：

29.

30.R31.0．

本題考查的知識點為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

32.1/3；本題考查的知識點為二重積分的計算．

33.-ln234.(0，0)本題考查的知識點為求曲線的拐點．

依求曲線拐點的一般步驟，只需

(1)先求出y"．

(2)令y"=0得出x1，…，xk．

(3)判定在點x1，x2，…，xk兩側，y"的符號是否異號．若在xk的兩側y"異號，則點(xk，f(xk)為曲線y=f(x)的拐點．

y=x3-6x，

y'=3x2-6，y"=6x．

令y"=0，得到x=0．當x=0時，y=0．

當x＜0時，y"＜0；當x＞0時，y"＞0．因此點(0，0)為曲線y=x3-6x的拐點．

本題出現(xiàn)較多的錯誤為：填x=0．這個錯誤產生的原因是對曲線拐點的概念不清楚．拐點的定義是：連續(xù)曲線y=f(x)上的凸與凹的分界點稱之為曲線的拐點．其一般形式為(x0，f(x0))，這是應該引起注意的，也就是當判定y"在x0的兩側異號之后，再求出f(x0)，則拐點為(x0，f(x0))．

注意極值點與拐點的不同之處!

35.

36.

37.(-33)

38.ee解析：39.2x+y-3z=0本題考查的知識點為平面方程和平面與直線的關系．

由于已知直線與所求平面垂直，可知所給直線的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面過原點，由平面的點法式方程，可知所求平面方程為2x+y-3z=0

40.1

41.

42.

列表：

說明

43.由等價無窮小量的定義可知

44.

45.

46.由二重積分物理意義知

47.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

48.

49.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

50.由一階線性微分方程通解公式有

51.

則

52.53.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點