信號(hào)與線性系統(tǒng)第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域

第二章、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析主要內(nèi)容：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)奇異函數(shù)與信號(hào)的時(shí)域分解沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)卷積

§2.1引言連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析，歸結(jié)為建立并且求解線性常系數(shù)微分方程，求解微分方程通常有兩種方法：一是直接求解，因涉及的函數(shù)變量都是時(shí)間t，所以稱時(shí)域分析法；二是變換的方法，即將時(shí)間變量變換為其他變量，所以也稱變換域分析法。這一章我們主要討論時(shí)域分析法，下面先看一個(gè)RLC串聯(lián)電路列回路方程可得:或一、經(jīng)典解法這種形式的方程其解法在高等數(shù)學(xué)中已學(xué)過。求解過程可分為三步：1、求出齊次方程的通解。（稱自由響應(yīng)）2、根據(jù)激勵(lì)函數(shù)的具體形式求特解。（稱受迫響應(yīng)）3、根據(jù)初始條件求待定系數(shù)。這種方法對(duì)于簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)或指數(shù)函數(shù)、直流激勵(lì)時(shí)求解比較簡(jiǎn)單，但對(duì)于一些復(fù)雜的激勵(lì)信號(hào)求解就比較困難了。

二、疊加積分法這種方法將全響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)r(t)=rzi(t)+rzs(t)初態(tài)≠0系統(tǒng)初態(tài)=0系統(tǒng)初態(tài)=0系統(tǒng)初態(tài)=0系統(tǒng)1、求解齊次方程，根據(jù)初始狀態(tài)求出待定系數(shù)得rzi(t)2、將e(t)分解為基本函數(shù)，分別求解系統(tǒng)對(duì)這些基本函數(shù)的響應(yīng)。3、根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理將它們相加得rzs(t)4、r(t)=rzi(t)+rzs(t)§2.2系統(tǒng)方程的算子表示法對(duì)于n階線性非時(shí)變系統(tǒng)其輸入輸出方程為引入算子則方程可改寫為：進(jìn)一步可寫成：p就不能隨意消去，除非x(-∞)=0，另外由px=py

也不能推出x=y

這是因?yàn)榻Y(jié)論：1、代數(shù)量的的運(yùn)算規(guī)則則對(duì)于算子子符號(hào)一般般也適用，，只是在分分子分母或或等式兩邊邊的相同算算子符號(hào)不能隨意約約去。2、它表達(dá)的的是一個(gè)運(yùn)運(yùn)算過程，，應(yīng)把它作作為整體看看待，書寫寫時(shí)也應(yīng)把把它寫在變變量的左邊邊，表示該該運(yùn)算過程程作用于某某個(gè)變量。。3、算子形式的的方程實(shí)質(zhì)質(zhì)上還是一一個(gè)微分方方程。因此對(duì)于零零輸入響應(yīng)應(yīng)就是解齊齊次方程D(p)r(t)=0，而求零狀狀態(tài)響應(yīng)則則要解方程程r(t)=H(p)e(t)。下面我們先先看一個(gè)例例子例:電路如圖所所示，寫出出i1(t),i2(t)的轉(zhuǎn)移算子子。解：直接用用算子符號(hào)號(hào)列方程：：討論：1、在電路中中有三個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能能元件，為一個(gè)三階階系統(tǒng)，特特征方程應(yīng)應(yīng)為三次方方程，即H(p)的分母多多項(xiàng)式的的最高次次數(shù)應(yīng)為為三次。。2、所以這這類題目目也可直直接求解解，最后后通過核核對(duì)電路路的階數(shù)數(shù)來確定定是否能能消去分分子分母母中的公公共因子子?！?.3系統(tǒng)的零零輸入響響應(yīng)前面已經(jīng)經(jīng)指出求求零狀態(tài)態(tài)響應(yīng)就就是求解解齊次方方程：先看一階階、二階階的簡(jiǎn)單單情況，，然后再再推廣到到一般情情況。其中的C為常數(shù)，，需要系系統(tǒng)的初初始條件件來確定定。設(shè)初初始條件件為：t=0時(shí)r=r(0)一般地，，設(shè)初始始條件為為：t=t0時(shí)r=r(t0)顯然r1(t)，r2(t)都滿足原原方程，，所以解解的一般般形式可可寫為：：若t=0時(shí)的初試試條件為為r(0),r’(0)，代入上式式得：解之便可可得C1，C2對(duì)于一般般的n階齊次方方程可設(shè)其特特征方程程有n個(gè)根λ1,λ2…λn稱特征根根,也稱為系系統(tǒng)自然頻率率，或稱為為轉(zhuǎn)移算算子H(p)的n個(gè)極點(diǎn)。。下面分分根的三三種不同同情況來來討論。。一、特征征根為異異（實(shí)））根算子方程程寫為：：由前面的的討論可可寫出解解的一般般形式：：若給定系系統(tǒng)的n個(gè)初始條條件：我們就可可以確定定其中的的待定常常數(shù)C1，C2，…Cn。將初始條條件代入入r(t)就得到一個(gè)線性方方程組：：二、特征征根為共共軛復(fù)根根因?yàn)樘卣髡鞣匠痰牡南禂?shù)為為實(shí)數(shù)，，所以如如果出現(xiàn)現(xiàn)復(fù)根則則必定成成對(duì)出現(xiàn)現(xiàn)。設(shè)特特征根λ1，λ2為一對(duì)共共軛復(fù)根根，即λ1=α+jβ，λ2=α-jβ則對(duì)應(yīng)的的解為：：所以特征征根為一一對(duì)共軛軛復(fù)根時(shí)時(shí)解的一一般形式式寫為：：其中的C1，C2同樣可由由初始條條件求出出。三、特征征根為k階重根設(shè)特征根根λ為k階重根，，這種情情況說明明特征多多項(xiàng)式D(p)中有因子子(p-λλ)k，根為其其它的情情況前面面已作出出討論，，所以我我們只要要求解方方程(p-λλ)kr=0即可。如此推下下去可得得：所以方程程(p-λλ)kr=0解的一般般形式為為：常數(shù)C1，C2，…Ck同樣可由由初始條條件求出出。例2-1如圖RLC串聯(lián)諧振振電路，，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω初始條件件為：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分別求上上述兩種種情況下下回路電電流的零零輸入響響應(yīng)。解：前面面我們已已經(jīng)列出出了它的的微分方方程寫成算子子形式：：1、初始條條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時(shí)2、初始條條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時(shí)初始條件件uc(0)=10V不能直接接用于確確定常數(shù)數(shù)C1,C2所以必須須轉(zhuǎn)化為為i’(0)。代入零輸輸入響應(yīng)應(yīng)的一般般形式得得：1、初始條條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時(shí)2、初始條條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時(shí)1、由于電電容C上的初始始電壓為為10V方向?yàn)樽笞笳邑?fù)負(fù)，所以以電容放放電，方方向與參參考方向向相反，，曲線在在橫軸下下方，由由于電路路中存在在電阻將將損耗能能量，最最終電流流變?yōu)榱懔恪?、第一種種情況i’(0)=1A/s相當(dāng)于電電容C上的初始始電壓為為-1V方向?yàn)橛矣艺筘?fù)負(fù)，所以以電容放放電方向向與參考考方向相相同，曲曲線在橫橫軸上方方。電路路的工作作過程與與第二種種情況一一樣。例2-2上例中將將電阻改改為R=2ΩΩ初始條件件仍為：：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電電流的零零輸入響響應(yīng)。解:討論：這這種情況況特征根根為二階階重根，，在電路路理論中中屬于臨臨界阻尼尼的情況況，電路路工作過過程與例例2-1一樣。而而例2-1在電路理理論中屬屬于過阻阻尼的情情況，臨臨界阻尼尼和過阻阻尼的零零輸入響響應(yīng)電流流都不出出現(xiàn)振蕩蕩。如果果繼續(xù)減減小電阻阻則零輸輸入響應(yīng)應(yīng)電流將將出現(xiàn)衰衰減的振振蕩，在在電路理理論中稱稱欠阻尼尼。例2-3上例中將將電阻改改為R=1ΩΩ初始條仍仍件為：：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電電流的零零輸入響響應(yīng)。解：1、i’(0)=1A/s相當(dāng)于電電容C上的初始始電壓為為-1V方向?yàn)橛矣艺筘?fù)負(fù)，所以以電容放放電方向向與參考考方向相相同，曲曲線在橫橫軸上方方。電容容放電時(shí)時(shí)將電容容中的電電能轉(zhuǎn)化化為電感感中的磁磁能；討論：2、接下來來電感中中的磁能能向電容容釋放，，當(dāng)電感感中的磁磁能全部部轉(zhuǎn)化為為電容中中的電能能時(shí)電感感中的電電流為零零；3、電容中中的電能能反向釋釋放，曲曲線在橫橫軸下方方，電容容中的電電能轉(zhuǎn)化化為電感感中的磁磁能；4、電感中中的磁能能向電容容釋放方方向與2相反，當(dāng)當(dāng)電感中中的磁能能全部轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為電電容中的的電能時(shí)時(shí)，電感感中的電電流又變變?yōu)榱悖唬?、接下來來從1開始重復(fù)復(fù)這個(gè)過過程，由由于電路路中存在在電阻將將損耗能能量，所所以振蕩蕩幅度逐逐步減小小，最終終衰減為為零。零輸入響響應(yīng)小結(jié)結(jié)：求解零輸輸入響應(yīng)應(yīng)就是解解齊次方方程D(p)r(t)=0，可根據(jù)據(jù)特征方方程D(p)=0根的三種種不同情情況寫出出解的一一般形式式。對(duì)于復(fù)雜雜的系統(tǒng)統(tǒng)其特征征根中可可能既有有異實(shí)根根又有重重根還可可能有共共軛復(fù)根根，則系系統(tǒng)零輸輸入響應(yīng)應(yīng)的一般般形式我我們可以以根據(jù)根根的不同同情況分分別寫出出，例如如系統(tǒng)的的特征根根中λ1，λ2為兩個(gè)不同的的實(shí)根，λ3=α+jβ，λ4=α-jβ為一對(duì)共軛復(fù)復(fù)根，λ5為三階重根則則系統(tǒng)零輸入入響應(yīng)的一般般形式寫為：：§2.4奇異函數(shù)系統(tǒng)的全響應(yīng)應(yīng)是零輸入響響應(yīng)和零狀態(tài)態(tài)響應(yīng)之和，，上一節(jié)討論論了零輸入響響應(yīng)的求法，，后面幾節(jié)將將討論零狀態(tài)態(tài)響應(yīng)的求法法。本節(jié)先介介紹幾個(gè)很有有用的信號(hào)函函數(shù)，由于這這些信號(hào)在實(shí)實(shí)際中并不存存在，只是數(shù)數(shù)學(xué)上對(duì)某些些信號(hào)的一種種抽象和理想想化，所以稱稱為奇異函數(shù)數(shù)。一、單位階躍躍函數(shù)ε(t)單位階躍函數(shù)延遲t0的單位階躍函數(shù)任意一個(gè)函數(shù)數(shù)f(t)乘ε(t)以后，其乘積積在階躍之前前為0，之后則保持持f(t)不變。我們來看下面面的一個(gè)電路路系統(tǒng)，原來來輸入端沒有有輸入，在t＝0時(shí)接入電源E。等效因此，階躍函函數(shù)可以用來來表示理想化化了的開關(guān)接接通一信號(hào)源源的情況。二、單位沖激激函數(shù)δ(t)單位沖激函數(shù)數(shù)δ(t)除了t=0外其余均為0。δ(t)函數(shù)在t=0處的值沒有定定義，但其面積積為1，即：，，其面積稱為單單位沖激函數(shù)數(shù)的沖激強(qiáng)度。在圖象上用用括號(hào)括起來來，表示沖激激強(qiáng)度而不是是函數(shù)的幅度度；其幅度有有時(shí)也將它看看成無窮大，，在圖象上用用箭頭表示。。單位沖激函數(shù)數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)質(zhì)：ε(t)和δ(t)這二個(gè)奇異函函數(shù)特別重要要，要求重點(diǎn)點(diǎn)掌握。有了了這二個(gè)函數(shù)數(shù)對(duì)一些分段段表示的函數(shù)數(shù)表達(dá)起來就就比較方便，，另外對(duì)一些些不連續(xù)的函函數(shù)也可以求求導(dǎo)數(shù)了。例如：如圖所所示的函數(shù)可可分段表示為為：實(shí)際上對(duì)于這這種函數(shù)的求求導(dǎo)，通過圖圖形來求更方方便。在函數(shù)數(shù)連續(xù)的部分分用常規(guī)的求求導(dǎo)方法求，，而在函數(shù)有有跳變的地方方則有一個(gè)沖沖激存在，沖沖激的方向取取決于向上還還是向下跳變變，沖激的強(qiáng)強(qiáng)度則取決于于它的跳躍量量。三、單位斜變變函數(shù)R(t)四、門函數(shù)我們把幅度為為1寬度為τ的對(duì)稱矩形脈脈沖信號(hào)稱為為門函數(shù)，記記為Gτ(t)，下標(biāo)τ表示其寬度。。則寬度為τ幅度為1/τ的門函數(shù)記為為1/τGτ(t)。五、單位沖激激偶δ’(t)我們注意到門門函數(shù)1/τGτ(t)，不管τ取何值它的面面積總是1，當(dāng)τ變小時(shí)它的幅幅度增大，但但面積保持不不變。所以，，當(dāng)τ→0時(shí)1/τGτ(t)→δδ(t)而1/τG’τ(t)→δδ’(t)δ’(t)為一正一負(fù)兩兩個(gè)沖激，因因此稱單位沖激偶，帶括號(hào)的1標(biāo)在中間，它它并不表示沖沖激的強(qiáng)度，，而表示單位位沖激函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)。沖激偶有下面面的性質(zhì)§2.5信號(hào)的時(shí)域分分解一、周期脈沖沖信號(hào)表示為為奇異函數(shù)之之和1、有始周期矩矩形脈沖2、有始周期鋸鋸齒形脈沖信信號(hào)二、任意信號(hào)號(hào)分解為異函函數(shù)任意信號(hào)表示示為沖激函數(shù)數(shù)的積分當(dāng)Δt→0時(shí)為無窮小量量，用dτ表示；kΔt→連續(xù)變量，記記為τ；求和→積分分；近似相等等→相等?！?.6階躍響應(yīng)與沖沖激響應(yīng)一、單位階躍躍響應(yīng)與單位位沖激響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)單位階階躍函數(shù)ε(t)的零狀態(tài)響應(yīng)稱單位階躍響響應(yīng)，用rε(t)表示；系統(tǒng)對(duì)單位沖沖激函數(shù)δ(t)的零狀態(tài)響應(yīng)稱單位沖激響響應(yīng)，用h(t)表示。對(duì)于線性非時(shí)時(shí)變系統(tǒng)有：：證明：所以對(duì)于線性性非時(shí)變系統(tǒng)統(tǒng)，還有如下下的結(jié)論：若：e(t)→r(t)則：e’(t)→→r’(t)可見rε(t)，h(t)只要求出其中中之一，另一一個(gè)也就相應(yīng)應(yīng)地確定下來來了。在實(shí)際際的系統(tǒng)分析析中更重要的的是單位沖激激響應(yīng)h(t)。所以，下面面我們主要討討論單位沖激激響應(yīng)h(t)的求法。二、單位沖激激響應(yīng)h(t)的求法h(t)是系統(tǒng)在單位位沖激函數(shù)δ(t)激勵(lì)下的零狀狀態(tài)響應(yīng)。所所以當(dāng)系統(tǒng)的的激勵(lì)為δ(t)時(shí)，輸入輸出出算子方程寫寫為：1、由轉(zhuǎn)移算子子H(p)求h(t)設(shè)特征方程有有n個(gè)根λ1,λ2…λn。它們是特征征根，也稱為為轉(zhuǎn)移算子H(p)的n個(gè)極點(diǎn)，或叫叫系統(tǒng)自然頻頻率。下面要分幾幾種不同情況況來討論。(1)、H(p)有n個(gè)單極點(diǎn)λ1,λ2…λn且n>m則H(p)可寫寫成成部部分分分分式式的的形形式式(2)、H(p)有n個(gè)單單極極點(diǎn)點(diǎn)λ1,λλ2…λλn但n≤≤m這時(shí)時(shí)我我們們可可以以把把H(p)化為為一一個(gè)個(gè)多多項(xiàng)項(xiàng)式式和和一一個(gè)個(gè)真真分分式式之之和和，，然然后后將將真真分分式式寫寫成成部部分分分分式式的的形形式式。。即即：：(3)、H(p)有兩個(gè)個(gè)互為為共軛軛的極極點(diǎn)λ1=α+jββ，λ2=α-jββ(4)、H(p)有k階極點(diǎn)點(diǎn)λ證明：：例1：已知知系統(tǒng)統(tǒng)的微微分方方程為為:求單位位沖激激響應(yīng)應(yīng)h(t)。解：1、求轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移算算子H(p)2、將H(p)分解例2：已知知系統(tǒng)統(tǒng)的微微分方方程為為:求單位沖沖激響響應(yīng)h(t)。解：例3如圖RLC串聯(lián)諧諧振電電路，，已知知L=1H,C=1F,R=1Ω,e(t)=δ(t)求回路路電流流i(t)和電感感上電電壓uL(t)的零狀狀態(tài)響響應(yīng)。。解：1、由算算子的的概念念可直直接寫寫出關(guān)關(guān)于電電流i(t)的H(p)2、由算算子的的概念念可直直接寫寫出關(guān)關(guān)于電電壓uL(t)的H(p)討論：：在電路路理論論中往往往強(qiáng)強(qiáng)調(diào)電電感中中的電電流和和電容容上的的電壓壓不能能突變變，在在本例例中系系統(tǒng)的的初始始狀態(tài)態(tài)為0，即電電感中中的初初始電電流應(yīng)應(yīng)為0，但在在t=0時(shí)電感感中的的電流流發(fā)生生了突突變。。原因因是電電路所所受的的激勵(lì)勵(lì)為δ(t)，這是是一種種理想想的電電源，，在實(shí)實(shí)際中中并不不存在在，它它的幅幅度為為無窮窮大。。所以以，當(dāng)當(dāng)δ(t)在t=0時(shí)作用用于系系統(tǒng)的的瞬間間就使使電感感中的的電流流達(dá)到到某一一數(shù)值值，電電流發(fā)發(fā)生了了突變變，在在響應(yīng)應(yīng)的圖圖形中中我們們同時(shí)時(shí)畫出出了電電感兩兩端的的電壓壓，可可以看看到在在t=0時(shí)有一一沖激激電壓壓存在在，正正是這這個(gè)沖沖激電電壓使使得電電流發(fā)發(fā)生的的突變變；電電容上上的電電壓也也發(fā)生生了突突變。。例4：如圖圖RC串聯(lián)電電路受受沖激激電壓壓激勵(lì)勵(lì)，求求回路路電流流i(t)和電容容上電電壓uc(t)的零狀狀態(tài)響響應(yīng)。解：關(guān)關(guān)于電電流i(t)的H(p)關(guān)于電電壓uc(t)的H(p)uc(t)也可以以由i(t)的積分分來求求：由H(p)求單位位沖激激響應(yīng)應(yīng)小結(jié)結(jié)：求單位位沖激激響應(yīng)應(yīng)就是是求解解微分分方程程1、H(p)有n個(gè)單極極點(diǎn)λ1,λλ2…λλn且n>m其中Kii=1,2,…,n為部分分分式式系數(shù)數(shù)2、H(p)有n個(gè)單極極點(diǎn)λ1,λλ2…λλn但n≤m其中Kii=1,2,…,n為部分分分式式系數(shù)數(shù),C0,C1,…,Cm-n為多項(xiàng)項(xiàng)式系系數(shù)。。3、H(p)有兩個(gè)個(gè)互為為共軛軛的極極點(diǎn)λ1=α+jββ，λ2=α-jββ其中KR為部分分分式式系數(shù)數(shù)的實(shí)實(shí)部，，KI為部分分分式式系數(shù)數(shù)的虛虛部。。4、H(p)有k階極點(diǎn)點(diǎn)λ其中C1,C2,…,Ck為部分分分式式系數(shù)數(shù)。2、用求求零輸輸入響響應(yīng)的的方法法求h(t)沖激響響應(yīng)也也與方方程的的特征征根有有關(guān)，，而且且也可可以分分為三三種不不同的的情況況。比比較沖沖激響響應(yīng)與與零輸輸入響響應(yīng)的的公式式發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在n>m時(shí)它們們的形形式是是完全全一樣樣的，，所不不同的的是零零輸入入響應(yīng)應(yīng)中的的系數(shù)數(shù)是由由系統(tǒng)統(tǒng)的初初始狀狀態(tài)決決定的的，而而沖激激響應(yīng)應(yīng)中的的系數(shù)數(shù)是由由部分分分式式的系系數(shù)決決定的的。其實(shí)這這種現(xiàn)現(xiàn)象并并不是是偶然然的。。因?yàn)闉?，沖沖激響響應(yīng)是是激勵(lì)勵(lì)為δ(t)時(shí)的系系統(tǒng)響響應(yīng)。。在t=0時(shí)作用用于系系統(tǒng)，，所以以在t>0時(shí)系統(tǒng)統(tǒng)的激激勵(lì)已已為0，因此此我們們完全全可以以用前前面講講過的的求零零輸入入響應(yīng)應(yīng)的方方法求求h(t)。關(guān)鍵鍵問題題是要要求出出δ(t)在t=0時(shí)作用用于系系統(tǒng)后后在0+時(shí)刻系統(tǒng)留留下的的初始始狀態(tài)態(tài)。所以對(duì)對(duì)于線線性非非時(shí)變變系統(tǒng)統(tǒng)有：：稱卷積積積分分§2.7疊加積分—卷積稱卷積積分，并并用“*”表表示兩個(gè)函數(shù)數(shù)的卷積運(yùn)算算，所以上式式可寫為r(t)=e(t)*h(t)；更一般地對(duì)對(duì)于任意兩個(gè)個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)，它們的卷積積運(yùn)算定義為為：任意一個(gè)函數(shù)數(shù)與δ(t)卷積等于它自自己?！?.8卷積及其性質(zhì)質(zhì)一、卷積的計(jì)算過過程如果我們將f1(t)和f2(t)的卷積結(jié)果記記為g(t)，則卷積可寫寫成：由卷積的定義義式可以看出出，卷積的過過程可以分為為三個(gè)步驟：1、將f1(t)和f2(t)兩個(gè)函數(shù)的變變量由t換成τ；2、將f2(τ)反折并移動(dòng)；；3、將兩個(gè)函數(shù)數(shù)相乘并求積積分。下面我們以下下圖兩個(gè)有始始函數(shù)來說明明卷積的計(jì)算算過程。f1(t)tf2(t)tf2(τ)τf1(τ)τ將t換成τ將f2(τ)反折并移動(dòng)將兩個(gè)函數(shù)相相乘并求積分分因此，對(duì)于兩兩個(gè)有始的函函數(shù)卷積，則則可簡(jiǎn)單地寫寫為：例1：計(jì)算矩形脈脈沖和指數(shù)函數(shù)的卷積解：作圖1、2、3、最后，卷積的的結(jié)果可用圖圖形表示為：：或用數(shù)學(xué)表達(dá)達(dá)式表示為：：這種完全用作作圖的方法確確定積分限計(jì)計(jì)算卷積的方方法稱圖解法法。這是要求求同學(xué)重點(diǎn)掌掌握的。我們們也可以將函函數(shù)直接代入入公式計(jì)算。。這種方法雖雖然簡(jiǎn)單，但但對(duì)卷積的計(jì)計(jì)算過程的理理解沒有幫助助，所以這種種方法不推薦薦。例如上例例的卷積可計(jì)計(jì)算如下：從上面計(jì)算卷卷積的過程可可以看出，計(jì)計(jì)算卷積的實(shí)實(shí)質(zhì)是二個(gè)具具體化：1、函數(shù)形式的的具體化；2、積分限的具具體化。二、卷積的性質(zhì)設(shè)有三個(gè)函數(shù)數(shù)u(t),v(t),w(t)1、交換律、分分配律和結(jié)合合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*[v(t)+w(t)]=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*[v(t)*w(t)]=[u(t)*v(t)]*w(t)交換律證明：：結(jié)合律證明：：例2：用交換律重重做前例12、卷積后的微微分兩個(gè)函數(shù)卷積積后的導(dǎo)數(shù)等等于其中之一一求導(dǎo)后與另另一函數(shù)的卷卷積。證明：由交換律知由這個(gè)性質(zhì)得得到的直接推推論是：任何何函數(shù)與δ’(t)卷積相當(dāng)于對(duì)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)：：3、卷積后的積積分兩個(gè)函數(shù)卷積積后的積分等等于其中之一一求積分后與與另一函數(shù)的的卷積。證明：由交換律知由這這個(gè)個(gè)性性質(zhì)質(zhì)得得到到的的直直接接推推論論是是：：任任何何函函數(shù)數(shù)與與ε(t)卷積積相相當(dāng)當(dāng)于于對(duì)對(duì)函函數(shù)數(shù)求求積積分分：：4、兩兩函函數(shù)數(shù)的的卷卷積積等等于于其其中中一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的微微分分和和另另一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的積積分分由卷卷積積后后的的微微分分和和卷卷積積后后的的積積分分不不難難證證明明：：由這這個(gè)個(gè)性性質(zhì)質(zhì)我我們們可可以以直直接接推推出出杜杜阿阿美美爾爾積積分分利用用這這個(gè)個(gè)性性質(zhì)質(zhì)還還可可以以簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化卷卷積積的的計(jì)計(jì)算算。。5、函函數(shù)數(shù)延延遲遲后后的的卷卷積積證明明：：前面面已已指指出出任任意意一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)與與δ(t)卷積積等等于于它它自自己己，，即即：：f(t)*δδ(t)=f(t)由此此性性質(zhì)質(zhì)我我們們又又可可得得出出結(jié)結(jié)論論：：任任意意一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)與與δ(t)的延延遲遲卷卷積積等等于于函函數(shù)數(shù)本本身身作作相相應(yīng)應(yīng)的的延延遲遲，，即即：：f(t)*δδ(t-t0)=f(t-t0)例3：利利用用性性質(zhì)質(zhì)4、5重做做例例1解：：6、相相關(guān)關(guān)卷卷積積兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)x(t)與y(t)的相相關(guān)關(guān)定定義義為為：：所以以，，兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)x(t)與y(t)的相相關(guān)關(guān)也也定定義義為為：：如果果兩兩個(gè)個(gè)相相同同的的函函數(shù)數(shù)進(jìn)進(jìn)行行相相關(guān)關(guān)運(yùn)運(yùn)算算，，則則稱稱自相相關(guān)關(guān)，記記為為Rxx(t)相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)反反映映了了兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)的的相相似似程程度度。。Rxx(0)為信信號(hào)號(hào)能能量量，，且且Rxx(0)≥≥Rxx(t)。這這是是因因?yàn)闉槔?求兩兩個(gè)個(gè)相相同同的的門門函函數(shù)數(shù)的的卷卷積積g(t)。解：：我們們將將這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)果果總總結(jié)結(jié)為為：：1、兩兩個(gè)個(gè)相相同同的的門門函函數(shù)數(shù)（（對(duì)對(duì)稱稱的的））的的卷卷積積是是一一個(gè)個(gè)三三角角形形；；2、寬度增加加一倍；3、最大值為為兩個(gè)相同同的門函數(shù)數(shù)重合時(shí)函函數(shù)值之積積再乘以門門函數(shù)的寬寬度。這是一個(gè)典典型例子，，很重要，，希望把它它記住。這這個(gè)結(jié)論以以后可以作作為一個(gè)定定理使用前面已經(jīng)指指出計(jì)算卷卷積的實(shí)質(zhì)質(zhì)是二個(gè)具具體化：函函數(shù)形式的的具體化和和積分限的的具體化。。其中積分分限的具體體化更重要要些。下面面列出幾種種特殊的情情況：例5、RC串聯(lián)電路，，及激勵(lì)信信號(hào)如圖所所示。其中中R=0.5Ω，C=2F電路初始狀狀態(tài)為零，，求響應(yīng)電電流i(t)。解：在前面面的例題中中已求得，，該電路的的沖激響應(yīng)應(yīng)為：激勵(lì)電壓可可寫為：則有線性非非時(shí)變系統(tǒng)統(tǒng)的定義：：§2.9線性系統(tǒng)響響應(yīng)的時(shí)域域求解一、時(shí)域分分析小結(jié)r(t)=rzi(t)+rzs(t)系統(tǒng)物理模模型系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)移算子H(p)沖激響應(yīng)h(t)卷積積分零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)rzs(t)全響應(yīng)r(t)階躍響應(yīng)rε(t)杜阿美爾積積分零輸入響應(yīng)應(yīng)rzi(t)初始狀態(tài)激勵(lì)e(t)二、指數(shù)函函數(shù)激勵(lì)下下的系統(tǒng)響響應(yīng)s0≠λj第一部分為為零輸入響應(yīng)應(yīng)，第二部分分則為零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)。系統(tǒng)的全全響應(yīng)中只只包含λ1，λ2，…，λn分量稱自然頻率分分量；另外還有有s0分量相應(yīng)地地稱為激勵(lì)頻率分分量。如果將上式式寫為：第一部分只只包含自然然頻率分量量，第二部部分只包含含激勵(lì)頻率率分量。所所以，第一一部分稱自然響應(yīng)或自由響應(yīng)；第二部就就稱為受迫響應(yīng)。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)穩(wěn)定系統(tǒng)，，系統(tǒng)的響響應(yīng)或最終終趨于零或或最終趨于于一個(gè)常數(shù)數(shù)。所以我我們將系統(tǒng)統(tǒng)的響應(yīng)中中最終趨于于零的部分分稱瞬態(tài)響應(yīng)；最終趨于于一個(gè)常數(shù)數(shù)的部分稱稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。結(jié)論：1、系統(tǒng)的全全響應(yīng)可分分為零輸入入響應(yīng)（輸輸入為零））和零狀態(tài)態(tài)響應(yīng)（狀狀態(tài)為零））；自然響響應(yīng)（只含含系統(tǒng)自然然頻率）和和受迫響應(yīng)應(yīng)（只含激激勵(lì)頻率））；瞬態(tài)響響應(yīng)（最終終趨于零））和穩(wěn)態(tài)響響應(yīng)（最終終趨于一個(gè)個(gè)常數(shù)）。。2、指數(shù)函函數(shù)激勵(lì)勵(lì)通過線線性非時(shí)時(shí)變系統(tǒng)統(tǒng)后仍保保持原指指數(shù)函數(shù)數(shù)的形式式。3、指數(shù)函函數(shù)也是是一種典典型的基基本信號(hào)號(hào)，今后后還會(huì)看看到一般般的信號(hào)號(hào)也可以以分解為為指數(shù)信信號(hào)。例：如圖RC串聯(lián)電路路，已知知R=1ΩΩ，C=1F，e(t)=(1+e-3t)ε(t)；電容上上的初始始電壓uc(0-)=1V求電容上上的響應(yīng)應(yīng)電壓uc(t)。解：直接接列算子子方程由H(p)還可求得得:又例：已已知線性性非時(shí)變變連續(xù)時(shí)時(shí)間系統(tǒng)統(tǒng)的自然然響應(yīng)為，，受迫迫響應(yīng)為為。。則下列說說法正確確的是？？1、該系統(tǒng)統(tǒng)一定是是二階系系統(tǒng)；2、該系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)定；；3、零輸入入響應(yīng)一一定包含含；；4、零狀態(tài)態(tài)響應(yīng)一一定包含含。。而又可寫寫成：零零輸入響響應(yīng)＋零零狀態(tài)響響應(yīng)只含自然然頻率含自然頻頻率和激激勵(lì)頻率率零輸入響響應(yīng)可寫寫成：零狀態(tài)響響應(yīng)則寫成：：三、矩形形脈沖信信號(hào)激勵(lì)勵(lì)下RC電路的響響應(yīng)求RC串聯(lián)電路路在e(t)作用下uc(t)的零狀態(tài)態(tài)響應(yīng)。。e(t)=E[ε(t)-εε(t-τ0)]前面已求求得沖激激響應(yīng)其中的RC稱為時(shí)間間常數(shù)，，一般用用τ表示。它它表示電電容充放放電的快快慢，τ越大充放放電越慢慢，反之之越快。。還可以寫寫出電阻阻上的電電壓對(duì)于RL電路有類類似的結(jié)結(jié)論。四、梯形形信號(hào)作作用于系系統(tǒng)首先，我我們看一一個(gè)簡(jiǎn)單單的例子子，激勵(lì)勵(lì)為如下下的一個(gè)個(gè)梯形信信號(hào)，并并假定系系統(tǒng)的沖沖激響應(yīng)應(yīng)為h(t)。將梯形信信號(hào)進(jìn)行行二次微微分后就就變?yōu)橐灰幌盗械牡臎_激，，而與沖沖激信號(hào)號(hào)的卷積積最容易易求。最最后我們們只要對(duì)對(duì)r’’(t)求二次積積分便可可求得系系統(tǒng)的響響應(yīng)。需需要注意意的是在在微分過過程中可可能將直直流分量量丟失，，遇到這這種情況況需要另另外求系系統(tǒng)對(duì)直直流的響響應(yīng)。這個(gè)例子子告訴我我們對(duì)于于任意的的信號(hào)還還可以用用折線來來近似，，然后用用上面的的方法求求解。顯顯然，所所取的線線段越多多結(jié)果越越正確。。當(dāng)然，，線段越越多計(jì)算算量也越越大，但但我們可可以用計(jì)計(jì)算機(jī)來來進(jìn)行數(shù)數(shù)值計(jì)算算?！?.10系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)的數(shù)值值計(jì)算法法信號(hào)的分分解雖然然有多種種方法，，但用得得比較普普遍的還還是卷積積。所以以，我們們下面討討論卷積積的數(shù)值值計(jì)算。。求系統(tǒng)統(tǒng)的零狀狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)就是計(jì)計(jì)算卷積積，即計(jì)計(jì)算積分分：如果假定定激勵(lì)是是有始的的系統(tǒng)是是因果的的，并令令則卷積可可寫為：：顯然計(jì)算算這個(gè)積積分就是是計(jì)算被被積函數(shù)數(shù)f(t,τ)在區(qū)間[0,t]下的面積積。我們將區(qū)區(qū)間[0,t]分為n個(gè)等分,間隔為T，只要把把這n個(gè)矩形的的面積加加起來就就是這個(gè)個(gè)卷積的的近似。。如果我們們只計(jì)算算一些離離散點(diǎn)上上的值，，即t=nT上的值，，并記為為ra(nT)那么若將上式式中的符符號(hào)分別別簡(jiǎn)記為為：那么結(jié)合合圖我們們可以看看出：分別將e(t)和h(t)以T為間隔等等分得到到兩個(gè)數(shù)數(shù)列e0,e1,e2,...和h1,h2,h3,...在編寫計(jì)計(jì)算程序序時(shí)可將將它們放放在各自自的一維維數(shù)組中中，然后后按下圖圖的規(guī)律律計(jì)算。。9、靜夜四無無鄰，荒居居舊業(yè)貧。。。1月-231月-23Saturday,January7,202310、雨中黃黃葉樹，，燈下白白頭人。。。18:23:5018:23:5018:231/7/20236:23:50PM11、以以我我獨(dú)獨(dú)沈沈久久，，愧愧君君相相見見頻頻。。。。1月月-2318:23:5018:23Jan-2307-Jan-2312、故人江江海別，，幾度隔隔山川。。。18:23:5018:23:5018:23Saturday,January7,202313、乍見見翻疑疑夢(mèng)，，相悲悲各問問年。。。1月-231月-2318:23:5018:23:50January7,202314、他鄉(xiāng)生白白發(fā)，舊國國見青山。。。07一月月20236:23:50下下午午18:23:501月月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月236:23下午午1月-2318:23January7,202316、行動(dòng)出成成果，工作作出財(cái)富。。。2023/1/718:23:5018:23:5007January202317、做做前前，，能能夠夠環(huán)環(huán)視視四四周周；；做做時(shí)時(shí)，，你你只只能能或或者者最最好好沿沿著著以以腳腳為為起起點(diǎn)點(diǎn)的的射射線線向向前前。。。。6:23:50下下午午6:23下下午午18:23:501月月-239、沒沒有有失失敗敗，，只只有有暫暫時(shí)時(shí)停停止止成成功功！！。。1月月-231月月-23Saturday,January7