二項(xiàng)式定理-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊同步講義（機(jī)構(gòu)專用）

PAGE6.3二項(xiàng)式定理知識梳理知識梳理1、二項(xiàng)式定理：其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：2、二項(xiàng)式定理的性質(zhì)（1）對稱性（2）增減性與最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時取得最大值（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于知識典例知識典例題型一二項(xiàng)式定理展開式例1求的展開式.【答案】【分析】直接利用二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)求的展開式：【分析】直接利用二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】題型二特殊項(xiàng)例2在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于__________．（用數(shù)字作答）【答案】-160【分析】的展開式的通項(xiàng)為，取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為：-160鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中的系數(shù)是________.（用數(shù)字填寫答案）【答案】80【分析】先根據(jù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32求出的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求解.【詳解】因?yàn)檎归_式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，所以.展開式的通項(xiàng)為，令.所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：80題型三參數(shù)問題例3的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【分析】由，分別寫出和的展開式通項(xiàng)，分別令的指數(shù)為，求出對應(yīng)的參數(shù)值，代入通項(xiàng)可得出關(guān)于的等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，的展開式通項(xiàng)為，所以，的展開式通項(xiàng)為，令，可得，由題意可得，解得.故答案為：.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為180，則_________________.【答案】2或【分析】先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的值為180，求得的值．【詳解】解：展開式中的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得它的常數(shù)項(xiàng)為，故，故答案為：．題型四系數(shù)之和問題例4(1－x)6展開式中，x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為（）A．32 B．－32C．0 D．－64【答案】B【分析】首先求二項(xiàng)展開式，再求奇次項(xiàng)系數(shù)的和.【詳解】，所以x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為，故選：B.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)的展開式中，的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】先將展開，再利用賦值法求出奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和.【詳解】設(shè)，令，則，令，則，兩式相減，整理得.故選：A題型五兩個式子的二項(xiàng)式定理例5展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】利用展開式的一次項(xiàng)與的一次項(xiàng)相乘，展開式的二次項(xiàng)與的常數(shù)項(xiàng)相乘，即可得到的展開式中含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】展開式通項(xiàng)，令可得，令可得；含項(xiàng)的系數(shù)為：.故選：.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)求的展開式中的系數(shù).【答案】【分析】根據(jù)，由得，得求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中含的項(xiàng)為，所以其系數(shù)為.故答案為：600題型六最大項(xiàng)問題例6若的展開式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且的系數(shù)為7，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【分析】先由二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，確定，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，得出的系數(shù)，列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以為唯一最大值，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得：，則，其展開式的通項(xiàng)公式為，令得，所以，由解得.即實(shí)數(shù)的值為.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)在二項(xiàng)式展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．求：（1）展開式中各項(xiàng)系數(shù)和；（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1）（2），【分析】（1）利用通項(xiàng)公式求出展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)等差中項(xiàng)列式出，然后令可求得結(jié)果；（2）設(shè)

展

開

式

中

第

r+1

項(xiàng)

系

數(shù)

最

大，根據(jù)解得結(jié)果即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以?/p>

由

題

意

得

2×=1+×，化為：n2-9n+8=0，解得n=1（舍去）或8，∴n=8，在

中，令x=1，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為=；（2）

設(shè)

展

開

式

中

第

r+1

項(xiàng)

系

數(shù)

最

大，則

Tr+1==，則，即，即，即，解得

2≤r≤3，因

此

r=2

或

3，即

展

開

式

中

第

3

項(xiàng)

和

第

4

項(xiàng)

系

數(shù)

最

大，且

T3==，T4==．∴展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)分別為：，．鞏固提升鞏固提升1、二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是________.(用數(shù)字作答).【答案】【分析】求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，可得，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.2、的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】【分析】先求得展開式的通項(xiàng)公式，再分1乘以和乘以兩種情況求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)1乘以時，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)乘以時，令，解得，常數(shù)項(xiàng)為；所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-5，故答案為：-53、若在展開式中，若奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則含的系數(shù)是______.【答案】-6【分析】由題意可知，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為，求出，然后求出展開式的通項(xiàng)，利用的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，然后將參數(shù)的值代入通項(xiàng)，即可求出含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)為，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為，解得，展開式的通項(xiàng)為，令，得，因此，展開式中含的系數(shù)為.故答案為：.4、若的展開式關(guān)于x的系數(shù)和為64，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______.【答案】18【分析】令，由系數(shù)和求得，再利用二項(xiàng)式定理得的系數(shù)．【詳解】由題意，解得，展開式中系數(shù)是，的系數(shù)是，∴所求系數(shù)為．故答案為：18．5、的展開式中的系數(shù)為_____________.【答案】【分析】將代數(shù)式變形為，寫出展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求得參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】，展開式通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開式中的系數(shù)為.故答案為：.6、在的展開式中，的系數(shù)為______(用數(shù)字作答).【答案】【分析】本題首先可以寫出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，然后令的冪的指數(shù)等于，求出的值，即可求得的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，令，解得，則，的系數(shù)為，故答案為：.7、二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是_______.（用數(shù)字作答）【答案】60【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】有題意可得，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為：令可得，此時.8、若展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_____.(用數(shù)字作答)【答案】10【解析】∵展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為32，∴=32解得n=5，n展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)r=2時，常數(shù)項(xiàng)為=109、若的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則常數(shù)項(xiàng)為____（用數(shù)字作答）【答案】-20【分析】由條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n＝6，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】若的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64可得2n＝64，n＝6，∴，它的展開式的通項(xiàng)公式為，令6﹣2r＝0，得r＝3，可得常數(shù)項(xiàng)為﹣，故答案為：﹣20．10、在的展開式中.求：（1）所有項(xiàng)的系數(shù)和；（2）的系數(shù)；（3）系數(shù)最大的