(完整word版)《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》第七章緊致性學(xué)習(xí)筆記

頁(yè)** 共26頁(yè)第第io頁(yè)** 共26頁(yè)證明設(shè)X是一個(gè)緊致空間，Y是一個(gè)Hausdorff空間，f:X一Y是一個(gè)連續(xù)映射.如果A是緊致空間X中的一個(gè)閉子集.則它是緊致的（參見定理7.1.5）,因此它的象集f（A）是Hausdorff空間Y中的一個(gè)緊致子集（參見定理7.1.4）,所以又是閉集（參見推論7.2.2）.這證明f是一個(gè)閉映射.因?yàn)橐粋€(gè)既單且滿的開（或閉）的連續(xù)映射即是一個(gè)同胚，所以我們有：推論7.2.9從緊致空間到Hausdorff空間的任何一個(gè)既單且滿的（即一一的）連續(xù)映射都是同胚.作業(yè)：P1921.2.n維歐氏空間那中的緊致子集定義7.3.1設(shè)（X,p）是一個(gè)度量空間，AZX.如果存在實(shí)數(shù)g0使得p（x,y）<M對(duì)于所有x,yCA成立，則稱A是X的一個(gè)有界子集；如果X本身是一個(gè)有界子集，則稱度量空間（X,p）是一個(gè)有界度量空間.定理7.3.1 緊致度量空間是有界的.證明設(shè)(X,p)是一個(gè)緊致度量空間.由球形鄰域構(gòu)成的集族 {B(x,|xCX}是X的一個(gè)開覆蓋，它有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為{B(x1,1),B(x2,1),…，B(xn,1)}?令M=rnax{p(xi,xj)|1<i,j<n}+2如果x,y€X,則存在i,j,1&i,j&n,使得xCB(xi,l)和yCB(xj,l).于是p (x, y) <p(x,xi)+p (xi ,xj)十p (xj , y) <M因此度量空間中的每一個(gè)緊致子集都是有界子集.特別n維歐氏空間P的每一個(gè)緊致子集都是有界的.下面作為引理給出單位閉區(qū)間［0,1］是一個(gè)緊致空間的證明.盡管讀者可能早已熟知這個(gè)結(jié)論.引理7.3.2單位閉區(qū)間［0,1］是一個(gè)緊致空間.證明設(shè)A是［0,1］的一個(gè)開覆蓋.令P=｛xC［0,l］|A有一個(gè)有限子族覆蓋［0,x］｝它是［0,1］的一個(gè)子集.對(duì)于集合P,我們依次證明，）PH0.因?yàn)轱@然0CP;P是一一個(gè)開集.設(shè)xCP.則A有一個(gè)有限子族，設(shè)為｛二.二一..』」｝,覆蓋［0,x］.當(dāng)x=1時(shí)，易見P=［0,l］,它是一個(gè)開集.因此x是P的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).下設(shè)x<1.這時(shí)對(duì)于某一個(gè)i0,1&i0&n,有xC4。.由于4。是［0,1］中的一個(gè)開集，所以存在實(shí)數(shù)e>0使得［x,x+e）匚4.于是［0,x+e）-f二..這蘊(yùn)涵［0,x+e）匚P.由于［0,x+e）是［0,1］中的一個(gè)包含x的開集，所以x是P的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).以上證明了集合P中的任何一個(gè)點(diǎn)都是P的內(nèi)點(diǎn)，所以它是一個(gè)開集.P是一一個(gè)閉集.設(shè)xeP=［0,1］-P.根據(jù)集合P的定義可見，［x,1］UP.另外根據(jù)（1）可見.0Vx.選取選取ACA使彳mxCA.由于A是一個(gè)開集，所以存在實(shí)數(shù)&>0使得（x—￡,x］UA.假如（x—￡,x］APW0,設(shè)zC（x—e,x］nP.則A有一個(gè)有限子族A1覆蓋［0,z］,因此A的有限子族人1。伏｝覆蓋［0,x］,這與x即矛盾.所以（x-￡,x］np=0，即（x-￡,x］uP,從而（x-8,1］uF,因此x是p的一個(gè)內(nèi)點(diǎn).這證明F"是一個(gè)開集，即p是一個(gè)閉集.根據(jù)上述三條，P是［0,1］中的一個(gè)既開又閉的非空子集.由于［0,1］是一個(gè)連通空間，所以P=［0,1］,特別，1CP.這也就是說(shuō)A有一個(gè)有限子族覆蓋［0,1］.以上證明了［0,1］的任何一個(gè)開覆蓋有有限子覆蓋，故［0,1］是一個(gè)緊致空間.任何一個(gè)閉區(qū)間［a,b］(a<b),由于它和單位閉區(qū)間［0,1］同胚，所以是緊致的.并且作為緊致空間的積空間，可見n維歐氏空間片中任何一個(gè)閉方體值句,(a<b)也是緊致空間.定理7.3.3設(shè)A是n維歐氏空間必中的一個(gè)子集.則A是一個(gè)緊致子集當(dāng)且僅當(dāng)A是一一個(gè)有界閉集.|證明設(shè)p是n維歐氏空間R”的通常度量.“=>"：如果AC?是一個(gè)緊致子集，則根據(jù)定理7.3.1,它是有界的；由于R"是一個(gè)Hausdorff空間，根據(jù)推論7.2.2,它是一個(gè)閉集.“U”：設(shè)AUF是一個(gè)有界閉集.如果A=0,則A是緊致的.下設(shè)AH0.于是存在實(shí)數(shù)M>0使得對(duì)于任何x,yCA有p(x,y)<M任意選取X0CA,并且令N=M^p(0,x0),其中0=(0,0,…，0)￡R.容易驗(yàn)證(根據(jù)三角不等式)A匚［一設(shè)陰］因此A作為緊致空間［-MM”中的一個(gè)閉子集必定是緊致的.定理7.3.4 設(shè)X是一個(gè)非空的緊致空間，f:X-R是一個(gè)連續(xù)映射.則存在x0,x1€X使得對(duì)于任意xCX有f(x0)<f(x)<f(x1)換言之，從非空的緊致空間到實(shí)數(shù)空間R的任何一個(gè)連續(xù)映射都可以取到最大點(diǎn)與最小點(diǎn).證明由于X緊致，故根據(jù)定理7.1.4可見f(X)是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)緊致子集.由于R是一個(gè)Hausdorff空間，所以f(X)是一個(gè)閉集.設(shè)m和M分別為集合f(X)的下，上確界，則①M(fèi)Ef(X).因此存在x0,x1CX使得f(x0)=m和f(x1)=M.根據(jù)上，下確界的定義立即可見，對(duì)于任何xCX有f(x0)<f(x)<f(x1).止匕外，由于m維單位球面S鮑是一個(gè)有界閉集，所以是緊致的，n維歐氏空問(wèn)？不是緊致的，而緊致性又是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，所以：定理7.3.5設(shè)m，nCZ+.則m維單位球面S期與n維歐氏空間K*不同胚.這是通過(guò)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)區(qū)分不同胚的拓?fù)淇臻g的又一個(gè)例子.作業(yè)：P1961.2.幾種緊致性以及其間的關(guān)系本節(jié)重點(diǎn):掌握新定義的幾種緊致性的定義及它們之間的關(guān)系.讀者已從數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中知道了以下命題：實(shí)數(shù)空間？中的一個(gè)子集A如果滿足以下條件(l)?(4)中的任何一條，則滿足其他的幾條.A是一一個(gè)有界閉集；A的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋；A中的每一個(gè)無(wú)限子集都有凝聚點(diǎn)在A中；A中的每一個(gè)序列都有收斂的子序列收斂于A中的點(diǎn).這幾個(gè)條件的重要意義，讀者應(yīng)當(dāng)早就有所體會(huì)了.不難發(fā)現(xiàn)這四條中以惟有（1）中涉及的概念有賴于度量，其余（2）,（3）和（4）三條中所涉及的概念都只是牽連到拓?fù)?我們當(dāng)然希望在一般的拓?fù)淇臻g中還能建立條件（2）,（3）和（4）的等價(jià)性；假如不能，討論在何種條件下它們等價(jià)也是一件有意義的事.本節(jié)我們研究這個(gè)問(wèn)題.為了研究問(wèn)題時(shí)的方便，引進(jìn)以下條件（5）作為討論的中間站.（5）A的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋.定義7.4.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)可數(shù)緊致空間.以下兩個(gè)定理的證明十分容易，請(qǐng)讀者自己補(bǔ)證.定理7.4.1 每一個(gè)緊致空間都是可數(shù)緊致空間.定理7.4.2每一個(gè)Lindeloff的可數(shù)緊致空間都是緊致空間.定義7.4.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X的每一個(gè)無(wú)限子集都有凝聚點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)列緊空間.定理7.4.3每一個(gè)可數(shù)緊致空間都是列緊空間.證明設(shè)X是一個(gè)可數(shù)緊致空間.為了證明它是一個(gè)列緊空間，我們只要證明它的每一個(gè)可數(shù)的無(wú)限子集都有凝聚點(diǎn)，現(xiàn)在用反證法來(lái)證明這一點(diǎn).假設(shè)X有一個(gè)可數(shù)無(wú)限子集A沒有凝聚點(diǎn).首先這蘊(yùn)涵A是一個(gè)閉集.此外對(duì)于每一個(gè)aCA,由于a不是A的凝聚點(diǎn)，所以存在a的一個(gè)開鄰域 使得"anA={a}.于是集族{Qi|aCA}U{4}是X的一個(gè)開覆蓋.由于X是可數(shù)緊致空間，它有一個(gè)有限子覆蓋，不妨設(shè)為｛,「」17由于A與A無(wú)交，所以—｝必定覆蓋A.因此，A二（/叫3…口05）CA=｛a1,a2,…七口｝是一個(gè)有限集.這是一個(gè)矛盾.定義7.4.3設(shè)｛4｝/*是一個(gè)由集合構(gòu)成的序列，如果它滿足條件：474+1對(duì)于每一個(gè)iCZ+成立，即4口4口…則稱序列（4｝以+是一個(gè)下降序列.在某一個(gè)拓?fù)淇臻g中的一個(gè)由非空閉集構(gòu)成的下降序列也叫做一個(gè)非空閉集下降序列.引理7.4.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.則拓?fù)淇臻gX是一個(gè)可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)由X中任何一個(gè)非空閉集下降序列｛⑷g,有非空的交，即證明設(shè)可數(shù)緊致空間X中的非空閉集下降序列冉）良力使得E-。于是1kb處是X的一個(gè)開覆蓋，它有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為｛可，*，…用｝由此可得0=了”：.聞'=&%=%皿網(wǎng)這是一個(gè)矛盾.另一方面，設(shè)拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)非空閉集下降序列都有非空的交.如果X不是一個(gè)可數(shù)緊致空間，則X有一個(gè)可數(shù)開覆蓋，設(shè)為｛5，%，…｝，沒有有限子覆蓋.對(duì)于每一個(gè)iCZ+,令

則｛7，匕「｝也是X的一個(gè)開覆蓋，沒有有限子覆蓋，并且滿足條件：匕Mu…因此片，《…是一個(gè)非空閉集下降序列，所以。?。?。由此可見V%匕*X.也就是說(shuō)｛7，匕4｝不是X的一個(gè)覆蓋，這是一個(gè)矛盾.定理7.4.5每一個(gè)列緊的4空間都是可數(shù)緊致空間.證明設(shè)X是一個(gè)列緊的4空間.如果X不是一個(gè)可數(shù)緊致空間，則根據(jù)引理7.4.4,X中有一個(gè)非空閉集下降序列｛用小,使得小以耳二⑦在每一個(gè)4中選取一點(diǎn)人,并且考慮集合A=｛力際一｝如果A是一個(gè)有限集，則必有一點(diǎn)xCA和一個(gè)正整數(shù)的嚴(yán)格遞增序列n1,n2,…使得廣n2,…使得廣3飛廣于是對(duì)于任何iCZ+有x€這是因?yàn)?16F-cF.1c-cF-nJ￡量J'思一】J-11于是xen小耳，這與反證假設(shè)矛盾.設(shè)A是一個(gè)無(wú)限集.由于X是一個(gè)列緊空間，所以A有一個(gè)凝聚點(diǎn)，設(shè)為y.由于X是一個(gè)％空間（它的每一個(gè)有限子集都是閉集），易見對(duì)于每一個(gè)iCZ+,點(diǎn)y也是集合4=品1，'"的一個(gè)凝聚點(diǎn)；又由于4匚月二彩旦二入小立』.這也與反證假定矛盾.定義7.4.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.如果X中的每一個(gè)序列都有一個(gè)收斂的子序列，稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)序列緊致空間.定理7.4.6 每一個(gè)序列緊致空間都是可數(shù)緊致空間.證明設(shè)X是一個(gè)序列緊致空間，｛6,月，…｝是X中的一個(gè)非空閉集下降序列.在每月3｛赤孫…｝35mL…｝加/■.對(duì)于每一個(gè)iCZ+,,筋…0了￡門曲斗-G/+4’0,根據(jù)引理7,4,4X是一個(gè)可數(shù)緊致空間.定理7.4.7 每一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間都是序列緊致空問(wèn).證明設(shè)X是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間，設(shè)⑻皿匚】.對(duì)于每一個(gè)iez+,令區(qū)-（為小山…）和耳-耳.于是&&…是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)非空閉集下降序列，因此根據(jù)引理7.4.4,我們有門.宇0,證2+?由于X滿足第一可數(shù)性公理，根據(jù)定理5.1.8,在點(diǎn)x處有一個(gè)可數(shù)鄰域基｛%%,,"｝滿足條件：4°4°"百工4nU,0鳥,°對(duì)于任意j€Z+成立.令M=mm｛|中￡用力百）對(duì)于每一個(gè)i>1,令用二畫/eZ+l4嗎門“.田）,于是用,必■■是一個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)序列.并且與叫對(duì)于每一個(gè)iCZ+成立.我們來(lái)證明序列｛&｝的子序列｛電｝收斂于x：設(shè)U是x的一個(gè)鄰域.存在某一個(gè)kCZ+,使得"跖匚"，于是當(dāng)i>k時(shí)我們有以叫匚工3根據(jù)本節(jié)中的各個(gè)定理，我們可以得到圖表 7.2.= =>緊致空間.何數(shù)緊向空間一網(wǎng)緊空間

取於切 rt。J4一列緊致空司根據(jù)這個(gè)表立即可以知：推論7.4.8設(shè)X是一個(gè)滿足第二可數(shù)性公理的Z空間，A是X的一個(gè)子集.則下列條件等價(jià)：A的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋；A的每一個(gè)可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋；A中的每一個(gè)序列都有子序列收斂于A中的點(diǎn)；A中的每一個(gè)無(wú)限子集都有凝聚點(diǎn)在A中.特別，對(duì)于n維歐氏空間K*的子集以上推論成立，并且推論中的每一個(gè)條件都等價(jià)于A是一個(gè)有界閉集.作業(yè)：P2011度量空間中的緊致性本節(jié)重點(diǎn)：掌握度量空間中的緊致空間、可數(shù)緊致空間、序列緊致空間、列緊空間之問(wèn)的關(guān)系.由于度量空間滿足第一可數(shù)性公理，同時(shí)也是Z空間，所以上一節(jié)中的討論(參見表7.2)因此我們，一個(gè)度量空間是可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)它是列緊空間，也當(dāng)且僅當(dāng)它是序列緊致空間.但由于度量空間不一定就是 Lindeloff空間，因此從定理7.4.2并不能斷定列緊的度量空間是否一定就是緊致空間.本節(jié)研究這個(gè)問(wèn)題并給出肯定的回答.定義7.5.1設(shè)A是度量空間(X,p)中的一個(gè)非空子集.集合A的直徑diam(A)定義為diam(A)=sup{p(x,y)|x,yCA}若A是有界的diam(A)=00若A是無(wú)界的定義7.5.2設(shè)(X,p)是一個(gè)度量空間，A是X的一個(gè)開覆蓋.實(shí)數(shù)入>0稱為開覆蓋A的一個(gè)Lebesgue數(shù)，如果對(duì)于X中的任何一個(gè)子集A,只要diam(A)(入，則A包含于開覆蓋A的某一個(gè)元素之中.Lebesgue數(shù)不一定存在.例如考慮實(shí)數(shù)空間 R的開覆蓋{(-00,1)}U{(n-1/n,n+1+1/n)|nCZ+}則任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都不是它的Lebesgue數(shù).(請(qǐng)讀者自補(bǔ)證明.)定理7.5.1[Lebesgue數(shù)定理]序列緊致的度量空間的每一個(gè)開覆蓋有一個(gè)Lebesgue數(shù).證明設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間，A是X的一個(gè)開覆蓋.假若開覆蓋A沒有Lebesgue數(shù)，則對(duì)于任何iCZ+,實(shí)數(shù)1/i不是A的Lebesgue數(shù)，所以X有一個(gè)子集E,使得diam(E)<1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中.在每一個(gè)用之中任意選取一個(gè)點(diǎn)人,由于X是一個(gè)序列緊致空間，所以序列飛際…有一個(gè)收斂的子序列々V”，…TJ.由于A是X的一個(gè)開覆蓋，故存在ACA使得yCA,并且存在實(shí)數(shù)c>0使得球形鄰域B(y,e)UA.由Err-4V W于叫所以存在整數(shù)g0使得當(dāng)i>M時(shí)1 2.令k為任意一個(gè)整數(shù)，使得k>M+2/e,則對(duì)于任何"E%有p（x,y）wP（x,'如）+p（'蛇，y）<e這證明與一廠一；-a與“用的選取矛盾.定理7.5.2 每一個(gè)序列緊致的度量空間都是緊致空間.證明設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間，A是X的一個(gè)開覆蓋.根據(jù)定理7.5.1,X的開覆蓋A有一個(gè)Lebesgue數(shù)，設(shè)為人>0.令上｛B（x,入/3）｝.它是X的一個(gè)開覆蓋.我們先來(lái)證明B有一個(gè)有限子覆蓋.假設(shè)B沒有有限子覆蓋.任意選取一點(diǎn) CX.對(duì)于i>1,假定點(diǎn)1卜田二口對(duì)已經(jīng)取定，由于（貼，⑶貼疝3）廣月（如㈤幼不是X的覆蓋，選取' J33,按照歸納原則，序列小際…已經(jīng)取定.易見對(duì)于任何i,jCZ+,iwj,有PJ"j）>入/3.序列…沒有任何收斂的子序列.（因?yàn)槿魏蝭€X的球形鄰域B（y,入/6）中最多只能包含這個(gè)序列中的一個(gè)點(diǎn).）這與 X是序列緊致空間相矛盾.現(xiàn)在設(shè)｛（峋而無(wú)峋㈤獷g*#3）｝｝是開覆蓋B的-個(gè)有限子覆蓋.由于其中每一個(gè)元素的直徑都小于入，所以對(duì)于每一個(gè)i=1,2,…,n存在4*'使得bJl入⑶-4.于是｛ ｝是A的一個(gè)子覆蓋.因此，根據(jù)定理7.5.2以及前一節(jié)中的討論可見：定理7.5.3 設(shè)X是一個(gè)度量空間.則下列條件等價(jià)：X是一個(gè)緊致空間;X是一個(gè)列緊空間；X是一個(gè)序列緊致空間；X是一個(gè)可數(shù)緊致空間.我們將定理7.5.3的結(jié)論列為圖表7.3以示強(qiáng)調(diào).緊致空間今可數(shù)緊致空質(zhì)Q序列緊致空間O列緊空間作業(yè)：P2051.本章總結(jié):(1)重點(diǎn)是緊致性、緊致性與分離性的關(guān)系.(2)度量空間(特別是？)中的緊致性性質(zhì)要掌握.(3)緊致性是否是連續(xù)映射所能保持的、可積的、可遺傳的？證明時(shí)牽涉到的閉集要注意是哪個(gè)空間的閉集.局部緊致空間，仿緊致空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義.性質(zhì)；掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關(guān)系;掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系.定義7.6.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,如果X中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)緊致的鄰域，則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)局部緊致空間.由定義立即可見，每一個(gè)緊致空間都是局部緊致空間，因?yàn)榫o致空間本身便是它的每一個(gè)點(diǎn)的緊致鄰域.n維歐氏空間也是局部緊致空間，因?yàn)槠渲械娜魏我粋€(gè)球形鄰域的閉包都是緊致的.定理7.6.1 每一個(gè)局部緊致的空間都是正則空間.證明設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間，設(shè)xCX,U是x的一個(gè)開鄰域.令D是x的一個(gè)緊致鄰域，作為Hausdorff空間X的緊致子集，D是X中的閉集.由推論7.2.4,D作為子空間是一個(gè)緊致的Hausdorff空間，所以是一個(gè)正則空間.印門是x在子空間D中的一個(gè)開鄰域，其中是集合D在拓?fù)淇臻gX中的內(nèi)部.從而x在子空間D中有一個(gè)開鄰域V使得它在子空間D中的閉包包含于W一方面V是子空間D中的一個(gè)開集，并且又包含于W,因此V是子空間W中的一個(gè)開集，而W是X中的一個(gè)開集，所以V也是X中的開集.另一方面，由于D是X的閉集，所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包7因此點(diǎn)x在X中的開鄰域V使得了匚郎匚U.因此X是一個(gè)正則空間.定理7.6.2設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間,x€X,則點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基.證明設(shè)U是xCX的一個(gè)開鄰域.令D為x的一個(gè)緊致鄰域，則是x的一個(gè)開鄰域.因?yàn)閄是正則空間，所以存在x的開鄰域V使得「匚？門。°.閉集了是x的一個(gè)閉鄰域，并且作為緊致空間D中的閉子集，它是緊致的.以上證明了在x的任何開鄰域U中包含著某一個(gè)緊致鄰域 V.從前面兩個(gè)定理立即可以推出：推論7.6.3設(shè)X是一個(gè)局部緊致的Hausdorff空間,xCX.則點(diǎn)x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基.定理7.6.4 每一個(gè)局部緊致的正則空間都是完全正則空間.證明設(shè)X是一個(gè)局部緊致的正則空間.我們驗(yàn)證X是一個(gè)完全正則空間如下：設(shè)xCX和B是X中的一個(gè)閉集，使得=3'是x的一個(gè)開鄰域.由定理7.6.2,存在x的一個(gè)緊致閉鄰域V,使得『UU.V作為X的一個(gè)子空間是緊致的正則空間(正則是可遺傳的)，因此是完全正則的.因而存在連續(xù)映射g:V-[0,1],使得g(x)=0,和對(duì)于任何,一「。有g(shù)(y)=1.定義映射h:片TO口使得快吸艙)二1.顯然h是一一個(gè)連續(xù)映射定義映射f:X一[0,1],使得對(duì)于任何zCX既)嚴(yán)I首先，映射f的定義是確切的，因?yàn)槿绻?W泮C，,則有g(shù)(z)=1=h(z).其次，匕那’都是X中的閉集，從而根據(jù)黏結(jié)引理,f是連續(xù)的.最后，顯然有f(x)=0及對(duì)于」-/--I根據(jù)定理7.6.1,定理7.6.4及圖表6.1,立即可得圖表7.4

局部整問(wèn):空間完全正則空間7；空間oUTn局部整問(wèn):空間完全正則空間7；空間oUTn正則空間I與空間定義7.6.2設(shè)集族A和B都是集合X的覆蓋,如果A中的每一個(gè)元素包含于B中的某一個(gè)元素之中，則稱A是B的一個(gè)加細(xì).顯然，如果A是B的一個(gè)子覆蓋，則A是B的一個(gè)加細(xì)定義7.6.3 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A是X的子集A的一個(gè)覆蓋.如果對(duì)于每一個(gè)xCA,點(diǎn)x有一個(gè)鄰域U僅與A中有限個(gè)元素有非空的交,即：{ACA|AnUw0}是一個(gè)有限集，則稱A是集合A的一個(gè)局部有限覆蓋.有限覆蓋當(dāng)然是局部有限覆蓋.定義7.6.4設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X的每一個(gè)開覆蓋都有一個(gè)局部有限的開覆蓋是它的加細(xì)，則稱X是一個(gè)仿緊致空間.緊致空間自然是仿緊致的.離散空間也是仿緊致的 ，因?yàn)樗袉吸c(diǎn)集構(gòu)成集集族是離散空間的一個(gè)開覆蓋并且是它的任何一個(gè)開覆蓋的局部有限的加定理7.6.5每一個(gè)仿緊致的正則空間都是正規(guī)空間.證明：設(shè)X