(完整word版)《點集拓撲講義》第七章緊致性學(xué)習(xí)筆記

頁** 共26頁第第io頁** 共26頁證明設(shè)X是一個緊致空間，Y是一個Hausdorff空間，f:X一Y是一個連續(xù)映射.如果A是緊致空間X中的一個閉子集.則它是緊致的（參見定理7.1.5）,因此它的象集f（A）是Hausdorff空間Y中的一個緊致子集（參見定理7.1.4）,所以又是閉集（參見推論7.2.2）.這證明f是一個閉映射.因為一個既單且滿的開（或閉）的連續(xù)映射即是一個同胚，所以我們有：推論7.2.9從緊致空間到Hausdorff空間的任何一個既單且滿的（即一一的）連續(xù)映射都是同胚.作業(yè)：P1921.2.n維歐氏空間那中的緊致子集定義7.3.1設(shè)（X,p）是一個度量空間，AZX.如果存在實數(shù)g0使得p（x,y）<M對于所有x,yCA成立，則稱A是X的一個有界子集；如果X本身是一個有界子集，則稱度量空間（X,p）是一個有界度量空間.定理7.3.1 緊致度量空間是有界的.證明設(shè)(X,p)是一個緊致度量空間.由球形鄰域構(gòu)成的集族 {B(x,|xCX}是X的一個開覆蓋，它有一個有限子覆蓋，設(shè)為{B(x1,1),B(x2,1),…，B(xn,1)}?令M=rnax{p(xi,xj)|1<i,j<n}+2如果x,y€X,則存在i,j,1&i,j&n,使得xCB(xi,l)和yCB(xj,l).于是p (x, y) <p(x,xi)+p (xi ,xj)十p (xj , y) <M因此度量空間中的每一個緊致子集都是有界子集.特別n維歐氏空間P的每一個緊致子集都是有界的.下面作為引理給出單位閉區(qū)間［0,1］是一個緊致空間的證明.盡管讀者可能早已熟知這個結(jié)論.引理7.3.2單位閉區(qū)間［0,1］是一個緊致空間.證明設(shè)A是［0,1］的一個開覆蓋.令P=｛xC［0,l］|A有一個有限子族覆蓋［0,x］｝它是［0,1］的一個子集.對于集合P,我們依次證明，）PH0.因為顯然0CP;P是一一個開集.設(shè)xCP.則A有一個有限子族，設(shè)為｛二.二一..』」｝,覆蓋［0,x］.當(dāng)x=1時，易見P=［0,l］,它是一個開集.因此x是P的一個內(nèi)點.下設(shè)x<1.這時對于某一個i0,1&i0&n,有xC4。.由于4。是［0,1］中的一個開集，所以存在實數(shù)e>0使得［x,x+e）匚4.于是［0,x+e）-f二..這蘊涵［0,x+e）匚P.由于［0,x+e）是［0,1］中的一個包含x的開集，所以x是P的一個內(nèi)點.以上證明了集合P中的任何一個點都是P的內(nèi)點，所以它是一個開集.P是一一個閉集.設(shè)xeP=［0,1］-P.根據(jù)集合P的定義可見，［x,1］UP.另外根據(jù)（1）可見.0Vx.選取選取ACA使彳mxCA.由于A是一個開集，所以存在實數(shù)&>0使得（x—￡,x］UA.假如（x—￡,x］APW0,設(shè)zC（x—e,x］nP.則A有一個有限子族A1覆蓋［0,z］,因此A的有限子族人1。伏｝覆蓋［0,x］,這與x即矛盾.所以（x-￡,x］np=0，即（x-￡,x］uP,從而（x-8,1］uF,因此x是p的一個內(nèi)點.這證明F"是一個開集，即p是一個閉集.根據(jù)上述三條，P是［0,1］中的一個既開又閉的非空子集.由于［0,1］是一個連通空間，所以P=［0,1］,特別，1CP.這也就是說A有一個有限子族覆蓋［0,1］.以上證明了［0,1］的任何一個開覆蓋有有限子覆蓋，故［0,1］是一個緊致空間.任何一個閉區(qū)間［a,b］(a<b),由于它和單位閉區(qū)間［0,1］同胚，所以是緊致的.并且作為緊致空間的積空間，可見n維歐氏空間片中任何一個閉方體值句,(a<b)也是緊致空間.定理7.3.3設(shè)A是n維歐氏空間必中的一個子集.則A是一個緊致子集當(dāng)且僅當(dāng)A是一一個有界閉集.|證明設(shè)p是n維歐氏空間R”的通常度量.“=>"：如果AC?是一個緊致子集，則根據(jù)定理7.3.1,它是有界的；由于R"是一個Hausdorff空間，根據(jù)推論7.2.2,它是一個閉集.“U”：設(shè)AUF是一個有界閉集.如果A=0,則A是緊致的.下設(shè)AH0.于是存在實數(shù)M>0使得對于任何x,yCA有p(x,y)<M任意選取X0CA,并且令N=M^p(0,x0),其中0=(0,0,…，0)￡R.容易驗證(根據(jù)三角不等式)A匚［一設(shè)陰］因此A作為緊致空間［-MM”中的一個閉子集必定是緊致的.定理7.3.4 設(shè)X是一個非空的緊致空間，f:X-R是一個連續(xù)映射.則存在x0,x1€X使得對于任意xCX有f(x0)<f(x)<f(x1)換言之，從非空的緊致空間到實數(shù)空間R的任何一個連續(xù)映射都可以取到最大點與最小點.證明由于X緊致，故根據(jù)定理7.1.4可見f(X)是實數(shù)空間R中的一個緊致子集.由于R是一個Hausdorff空間，所以f(X)是一個閉集.設(shè)m和M分別為集合f(X)的下，上確界，則①MEf(X).因此存在x0,x1CX使得f(x0)=m和f(x1)=M.根據(jù)上，下確界的定義立即可見，對于任何xCX有f(x0)<f(x)<f(x1).止匕外，由于m維單位球面S鮑是一個有界閉集，所以是緊致的，n維歐氏空問？不是緊致的，而緊致性又是一個拓撲不變性質(zhì)，所以：定理7.3.5設(shè)m，nCZ+.則m維單位球面S期與n維歐氏空間K*不同胚.這是通過拓撲不變性質(zhì)區(qū)分不同胚的拓撲空間的又一個例子.作業(yè)：P1961.2.幾種緊致性以及其間的關(guān)系本節(jié)重點:掌握新定義的幾種緊致性的定義及它們之間的關(guān)系.讀者已從數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中知道了以下命題：實數(shù)空間？中的一個子集A如果滿足以下條件(l)?(4)中的任何一條，則滿足其他的幾條.A是一一個有界閉集；A的每一個開覆蓋都有有限子覆蓋；A中的每一個無限子集都有凝聚點在A中；A中的每一個序列都有收斂的子序列收斂于A中的點.這幾個條件的重要意義，讀者應(yīng)當(dāng)早就有所體會了.不難發(fā)現(xiàn)這四條中以惟有（1）中涉及的概念有賴于度量，其余（2）,（3）和（4）三條中所涉及的概念都只是牽連到拓撲.我們當(dāng)然希望在一般的拓撲空間中還能建立條件（2）,（3）和（4）的等價性；假如不能，討論在何種條件下它們等價也是一件有意義的事.本節(jié)我們研究這個問題.為了研究問題時的方便，引進以下條件（5）作為討論的中間站.（5）A的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋.定義7.4.1 設(shè)X是一個拓撲空間.如果X的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓撲空間X是一個可數(shù)緊致空間.以下兩個定理的證明十分容易，請讀者自己補證.定理7.4.1 每一個緊致空間都是可數(shù)緊致空間.定理7.4.2每一個Lindeloff的可數(shù)緊致空間都是緊致空間.定義7.4.2設(shè)X是一個拓撲空間.如果X的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓撲空間X是一個列緊空間.定理7.4.3每一個可數(shù)緊致空間都是列緊空間.證明設(shè)X是一個可數(shù)緊致空間.為了證明它是一個列緊空間，我們只要證明它的每一個可數(shù)的無限子集都有凝聚點，現(xiàn)在用反證法來證明這一點.假設(shè)X有一個可數(shù)無限子集A沒有凝聚點.首先這蘊涵A是一個閉集.此外對于每一個aCA,由于a不是A的凝聚點，所以存在a的一個開鄰域 使得"anA={a}.于是集族{Qi|aCA}U{4}是X的一個開覆蓋.由于X是可數(shù)緊致空間，它有一個有限子覆蓋，不妨設(shè)為｛,「」17由于A與A無交，所以—｝必定覆蓋A.因此，A二（/叫3…口05）CA=｛a1,a2,…七口｝是一個有限集.這是一個矛盾.定義7.4.3設(shè)｛4｝/*是一個由集合構(gòu)成的序列，如果它滿足條件：474+1對于每一個iCZ+成立，即4口4口…則稱序列（4｝以+是一個下降序列.在某一個拓撲空間中的一個由非空閉集構(gòu)成的下降序列也叫做一個非空閉集下降序列.引理7.4.4設(shè)X是一個拓撲空間.則拓撲空間X是一個可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)由X中任何一個非空閉集下降序列｛⑷g,有非空的交，即證明設(shè)可數(shù)緊致空間X中的非空閉集下降序列冉）良力使得E-。于是1kb處是X的一個開覆蓋，它有一個有限子覆蓋，設(shè)為｛可，*，…用｝由此可得0=了”：.聞'=&%=%皿網(wǎng)這是一個矛盾.另一方面，設(shè)拓撲空間X中的每一個非空閉集下降序列都有非空的交.如果X不是一個可數(shù)緊致空間，則X有一個可數(shù)開覆蓋，設(shè)為｛5，%，…｝，沒有有限子覆蓋.對于每一個iCZ+,令

則｛7，匕「｝也是X的一個開覆蓋，沒有有限子覆蓋，并且滿足條件：匕Mu…因此片，《…是一個非空閉集下降序列，所以。??；*。由此可見V%匕*X.也就是說｛7，匕4｝不是X的一個覆蓋，這是一個矛盾.定理7.4.5每一個列緊的4空間都是可數(shù)緊致空間.證明設(shè)X是一個列緊的4空間.如果X不是一個可數(shù)緊致空間，則根據(jù)引理7.4.4,X中有一個非空閉集下降序列｛用小,使得小以耳二⑦在每一個4中選取一點人,并且考慮集合A=｛力際一｝如果A是一個有限集，則必有一點xCA和一個正整數(shù)的嚴(yán)格遞增序列n1,n2,…使得廣n2,…使得廣3飛廣于是對于任何iCZ+有x€這是因為,16F-cF.1c-cF-nJ￡量J'思一】J-11于是xen小耳，這與反證假設(shè)矛盾.設(shè)A是一個無限集.由于X是一個列緊空間，所以A有一個凝聚點，設(shè)為y.由于X是一個％空間（它的每一個有限子集都是閉集），易見對于每一個iCZ+,點y也是集合4=品1，'"的一個凝聚點；又由于4匚月二彩旦二入小立』.這也與反證假定矛盾.定義7.4.4設(shè)X是一個拓撲空間.如果X中的每一個序列都有一個收斂的子序列，稱拓撲空間X是一個序列緊致空間.定理7.4.6 每一個序列緊致空間都是可數(shù)緊致空間.證明設(shè)X是一個序列緊致空間，｛6,月，…｝是X中的一個非空閉集下降序列.在每月3｛赤孫…｝35mL…｝加/■.對于每一個iCZ+,,筋…0了￡門曲斗-G/+4’0,根據(jù)引理7,4,4X是一個可數(shù)緊致空間.定理7.4.7 每一個滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間都是序列緊致空問.證明設(shè)X是一個滿足第一可數(shù)性公理的可數(shù)緊致空間，設(shè)⑻皿匚】.對于每一個iez+,令區(qū)-（為小山…）和耳-耳.于是&&…是拓撲空間X中的一個非空閉集下降序列，因此根據(jù)引理7.4.4,我們有門.宇0,證2+?由于X滿足第一可數(shù)性公理，根據(jù)定理5.1.8,在點x處有一個可數(shù)鄰域基｛%%,,"｝滿足條件：4°4°"百工4nU,0鳥,°對于任意j€Z+成立.令M=mm｛|中￡用力百）對于每一個i>1,令用二畫/eZ+l4嗎門“.田）,于是用,必■■是一個嚴(yán)格遞增的正整數(shù)序列.并且與叫對于每一個iCZ+成立.我們來證明序列｛&｝的子序列｛電｝收斂于x：設(shè)U是x的一個鄰域.存在某一個kCZ+,使得"跖匚"，于是當(dāng)i>k時我們有以叫匚工3根據(jù)本節(jié)中的各個定理，我們可以得到圖表 7.2.= =>緊致空間.何數(shù)緊向空間一網(wǎng)緊空間

取於切 rt。J4一列緊致空司根據(jù)這個表立即可以知：推論7.4.8設(shè)X是一個滿足第二可數(shù)性公理的Z空間，A是X的一個子集.則下列條件等價：A的每一個開覆蓋都有有限子覆蓋；A的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋；A中的每一個序列都有子序列收斂于A中的點；A中的每一個無限子集都有凝聚點在A中.特別，對于n維歐氏空間K*的子集以上推論成立，并且推論中的每一個條件都等價于A是一個有界閉集.作業(yè)：P2011度量空間中的緊致性本節(jié)重點：掌握度量空間中的緊致空間、可數(shù)緊致空間、序列緊致空間、列緊空間之問的關(guān)系.由于度量空間滿足第一可數(shù)性公理，同時也是Z空間，所以上一節(jié)中的討論(參見表7.2)因此我們，一個度量空間是可數(shù)緊致空間當(dāng)且僅當(dāng)它是列緊空間，也當(dāng)且僅當(dāng)它是序列緊致空間.但由于度量空間不一定就是 Lindeloff空間，因此從定理7.4.2并不能斷定列緊的度量空間是否一定就是緊致空間.本節(jié)研究這個問題并給出肯定的回答.定義7.5.1設(shè)A是度量空間(X,p)中的一個非空子集.集合A的直徑diam(A)定義為diam(A)=sup{p(x,y)|x,yCA}若A是有界的diam(A)=00若A是無界的定義7.5.2設(shè)(X,p)是一個度量空間，A是X的一個開覆蓋.實數(shù)入>0稱為開覆蓋A的一個Lebesgue數(shù)，如果對于X中的任何一個子集A,只要diam(A)(入，則A包含于開覆蓋A的某一個元素之中.Lebesgue數(shù)不一定存在.例如考慮實數(shù)空間 R的開覆蓋{(-00,1)}U{(n-1/n,n+1+1/n)|nCZ+}則任何一個正實數(shù)都不是它的Lebesgue數(shù).(請讀者自補證明.)定理7.5.1[Lebesgue數(shù)定理]序列緊致的度量空間的每一個開覆蓋有一個Lebesgue數(shù).證明設(shè)X是一個序列緊致的度量空間，A是X的一個開覆蓋.假若開覆蓋A沒有Lebesgue數(shù)，則對于任何iCZ+,實數(shù)1/i不是A的Lebesgue數(shù)，所以X有一個子集E,使得diam(E)<1/i并且Ei不包含于A的任何元素之中.在每一個用之中任意選取一個點人,由于X是一個序列緊致空間，所以序列飛際…有一個收斂的子序列々V”，…TJ.由于A是X的一個開覆蓋，故存在ACA使得yCA,并且存在實數(shù)c>0使得球形鄰域B(y,e)UA.由Err-4V W于叫所以存在整數(shù)g0使得當(dāng)i>M時1 2.令k為任意一個整數(shù)，使得k>M+2/e,則對于任何"E%有p（x,y）wP（x,'如）+p（'蛇，y）<e這證明與一廠一；-a與“用的選取矛盾.定理7.5.2 每一個序列緊致的度量空間都是緊致空間.證明設(shè)X是一個序列緊致的度量空間，A是X的一個開覆蓋.根據(jù)定理7.5.1,X的開覆蓋A有一個Lebesgue數(shù)，設(shè)為人>0.令上｛B（x,入/3）｝.它是X的一個開覆蓋.我們先來證明B有一個有限子覆蓋.假設(shè)B沒有有限子覆蓋.任意選取一點 CX.對于i>1,假定點1卜田二口對已經(jīng)取定，由于（貼，⑶貼疝3）廣月（如㈤幼不是X的覆蓋，選取' J33,按照歸納原則，序列小際…已經(jīng)取定.易見對于任何i,jCZ+,iwj,有PJ"j）>入/3.序列…沒有任何收斂的子序列.（因為任何y€X的球形鄰域B（y,入/6）中最多只能包含這個序列中的一個點.）這與 X是序列緊致空間相矛盾.現(xiàn)在設(shè)｛（峋而無峋㈤獷g*#3）｝｝是開覆蓋B的-個有限子覆蓋.由于其中每一個元素的直徑都小于入，所以對于每一個i=1,2,…,n存在4*'使得bJl入⑶-4.于是｛ ｝是A的一個子覆蓋.因此，根據(jù)定理7.5.2以及前一節(jié)中的討論可見：定理7.5.3 設(shè)X是一個度量空間.則下列條件等價：X是一個緊致空間;X是一個列緊空間；X是一個序列緊致空間；X是一個可數(shù)緊致空間.我們將定理7.5.3的結(jié)論列為圖表7.3以示強調(diào).緊致空間今可數(shù)緊致空質(zhì)Q序列緊致空間O列緊空間作業(yè)：P2051.本章總結(jié):(1)重點是緊致性、緊致性與分離性的關(guān)系.(2)度量空間(特別是？)中的緊致性性質(zhì)要掌握.(3)緊致性是否是連續(xù)映射所能保持的、可積的、可遺傳的？證明時牽涉到的閉集要注意是哪個空間的閉集.局部緊致空間，仿緊致空間本節(jié)重點：掌握局部緊致空間、仿緊致空間的定義.性質(zhì)；掌握局部緊致空間、仿緊致空間中各分離性公理空間之間的關(guān)系;掌握局部緊致空間、仿緊致空間與緊致空間之間的關(guān)系.定義7.6.1設(shè)X是一個拓撲空間,如果X中的每一個點都有一個緊致的鄰域，則稱拓撲空間X是一個局部緊致空間.由定義立即可見，每一個緊致空間都是局部緊致空間，因為緊致空間本身便是它的每一個點的緊致鄰域.n維歐氏空間也是局部緊致空間，因為其中的任何一個球形鄰域的閉包都是緊致的.定理7.6.1 每一個局部緊致的空間都是正則空間.證明設(shè)X是一個局部緊致的Hausdorff空間，設(shè)xCX,U是x的一個開鄰域.令D是x的一個緊致鄰域，作為Hausdorff空間X的緊致子集，D是X中的閉集.由推論7.2.4,D作為子空間是一個緊致的Hausdorff空間，所以是一個正則空間.印門是x在子空間D中的一個開鄰域，其中是集合D在拓撲空間X中的內(nèi)部.從而x在子空間D中有一個開鄰域V使得它在子空間D中的閉包包含于W一方面V是子空間D中的一個開集，并且又包含于W,因此V是子空間W中的一個開集，而W是X中的一個開集，所以V也是X中的開集.另一方面，由于D是X的閉集，所以V在D中的閉包便是V在X中的閉包7因此點x在X中的開鄰域V使得了匚郎匚U.因此X是一個正則空間.定理7.6.2設(shè)X是一個局部緊致的正則空間,x€X,則點x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓撲空間X在點x處的一個鄰域基.證明設(shè)U是xCX的一個開鄰域.令D為x的一個緊致鄰域，則是x的一個開鄰域.因為X是正則空間，所以存在x的開鄰域V使得「匚？門?！?閉集了是x的一個閉鄰域，并且作為緊致空間D中的閉子集，它是緊致的.以上證明了在x的任何開鄰域U中包含著某一個緊致鄰域 V.從前面兩個定理立即可以推出：推論7.6.3設(shè)X是一個局部緊致的Hausdorff空間,xCX.則點x的所有緊致鄰域構(gòu)成的集族是拓撲空間X在點x處的一個鄰域基.定理7.6.4 每一個局部緊致的正則空間都是完全正則空間.證明設(shè)X是一個局部緊致的正則空間.我們驗證X是一個完全正則空間如下：設(shè)xCX和B是X中的一個閉集，使得=3'是x的一個開鄰域.由定理7.6.2,存在x的一個緊致閉鄰域V,使得『UU.V作為X的一個子空間是緊致的正則空間(正則是可遺傳的)，因此是完全正則的.因而存在連續(xù)映射g:V-[0,1],使得g(x)=0,和對于任何,一「。有g(shù)(y)=1.定義映射h:片TO口使得快吸艙)二1.顯然h是一一個連續(xù)映射定義映射f:X一[0,1],使得對于任何zCX既)嚴(yán)I首先，映射f的定義是確切的，因為如果2W泮C，,則有g(shù)(z)=1=h(z).其次，匕那’都是X中的閉集，從而根據(jù)黏結(jié)引理,f是連續(xù)的.最后，顯然有f(x)=0及對于」-/--I根據(jù)定理7.6.1,定理7.6.4及圖表6.1,立即可得圖表7.4

局部整問:空間完全正則空間7；空間oUTn局部整問:空間完全正則空間7；空間oUTn正則空間I與空間定義7.6.2設(shè)集族A和B都是集合X的覆蓋,如果A中的每一個元素包含于B中的某一個元素之中，則稱A是B的一個加細.顯然，如果A是B的一個子覆蓋，則A是B的一個加細定義7.6.3 設(shè)X是一個拓撲空間,A是X的子集A的一個覆蓋.如果對于每一個xCA,點x有一個鄰域U僅與A中有限個元素有非空的交,即：{ACA|AnUw0}是一個有限集，則稱A是集合A的一個局部有限覆蓋.有限覆蓋當(dāng)然是局部有限覆蓋.定義7.6.4設(shè)X是一個拓撲空間，如果X的每一個開覆蓋都有一個局部有限的開覆蓋是它的加細，則稱X是一個仿緊致空間.緊致空間自然是仿緊致的.離散空間也是仿緊致的 ，因為所有單點集構(gòu)成集集族是離散空間的一個開覆蓋并且是它的任何一個開覆蓋的局部有限的加定理7.6.5每一個仿緊致的正則空間都是正規(guī)空間.證明：設(shè)X