《微積分（第二版）》課件第二節(jié)多元函數(shù)

一、二元函數(shù)二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)三、多元函數(shù)第二節(jié)多元函數(shù)

導(dǎo)言：多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學(xué)研究的對(duì)象，同一元函數(shù)類似對(duì)于多元函數(shù)也有極限、連續(xù)等基本概念.這些內(nèi)容作為一元函數(shù)在多元函數(shù)中的推廣，它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容類似且密切相關(guān)，在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與一元函數(shù)的對(duì)比.在研究方法上把握一般與特殊之間辯證關(guān)系.第二節(jié)多元函數(shù)一、二元函數(shù)例矩形面積S與長(zhǎng)x，寬y之間關(guān)系為

S=xy(x>0,y>0)其中長(zhǎng)x和寬y是兩個(gè)獨(dú)立的變量,在它們變化范圍內(nèi),當(dāng)x,y的值取定后,矩形面積S有惟一確定值對(duì)應(yīng).

例在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，著名的生產(chǎn)函數(shù)為，這里為常數(shù)，分別表示投入的勞動(dòng)力數(shù)量和資本數(shù)量，Q表示產(chǎn)量，Q是一個(gè)依賴于K和L的變化而變化的量．當(dāng)K,L的值取定后,Q就

有惟一確定的值相對(duì)應(yīng).

定義設(shè)D為中的一個(gè)非空點(diǎn)集，若有一個(gè)映射f，使得對(duì)于D中每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，都有惟一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱映射f為定義在D上的二元函數(shù)，記為f：D→R

，又記為，其中稱為自變量，z稱為因變量，的變化范圍D稱為函數(shù)的定義域，記為實(shí)數(shù)z的取值范圍稱為值域，記為.zDyxzf

二元函數(shù)的定義域

當(dāng)用某個(gè)解析式表達(dá)二元函數(shù)時(shí)，凡是使解析式有意義的自變量所組成的平面點(diǎn)集為該二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的定義域通常為平面區(qū)域.例解要使函數(shù)有意義須滿足所以函數(shù)的定義域?yàn)閤y例解要使函數(shù)有意義須滿足所以函數(shù)的定義域?yàn)槔庖购瘮?shù)有意義須滿足函數(shù)的定義域?yàn)槔庖购瘮?shù)有意義須滿足所以函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

二元函數(shù)的幾何圖形

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈.對(duì)于任意取定的點(diǎn),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為.這樣,就確定空間一點(diǎn).當(dāng)(x,y)取遍D上的一切點(diǎn)時(shí),得到空間點(diǎn)集這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形.該幾何圖形通常是一張曲面.而定義域D正是這曲面在Oxy平面上的投影.例例二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)

定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義,如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在該鄰域內(nèi)以任意方式趨于定點(diǎn)

時(shí),函數(shù)值f(x,y)趨于一個(gè)確定常數(shù)A,則稱A為函數(shù)z=f(x,y),當(dāng)時(shí)的極限，記作或(1)對(duì)于二元函數(shù)極限的存在是指當(dāng)P(x,y)以任意方式與方向趨于定點(diǎn)P0(x0,y0),函數(shù)都無(wú)限接近于A.即極限趨近方式具有任意性特征.二元函數(shù)極限的說(shuō)明：(2)對(duì)于二元函數(shù)極限的不存在,則有若當(dāng)點(diǎn)P(x,y)以不同路徑趨于點(diǎn)時(shí),函數(shù)趨于不同的值;或在某一路徑上點(diǎn)P(x,y)趨于點(diǎn)的極限不存在,則可以斷定函數(shù)在點(diǎn)的極限不存在.xy-1.0-0.5-0.200.20.51.0-1.00.000.600.921.000.920.600.00-0.5-0.600.000.721.000.720.00-0.60-0.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.000.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920.5-0.600.000.721.000.720.00-0.601.00.000.600.921.000.920.600.00

例考察函數(shù)在處的極限是否存在.做出函數(shù)在點(diǎn)附近的函數(shù)值表，如下函數(shù)在處的極限不存在.

例證明函數(shù)在處的極限不存在.

證讓沿直線而趨于，則有它將隨k的不同而具有不同的值.因此，極限不存在.

二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類似的性質(zhì)與運(yùn)算法則.例求極限解例求極限解由有界變量與無(wú)窮小乘積為無(wú)窮小知2.二元函數(shù)的連續(xù)性

定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù).

定義若在點(diǎn)P0(x0,y0)處,自變量x,y各取增量△x,△y時(shí)，函數(shù)隨之取得增量△z，即若則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù)

如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱點(diǎn)P0(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的不連續(xù)點(diǎn)，或稱間斷點(diǎn).(1)在點(diǎn)P0(x0,y0)沒(méi)有定義，(2)極限不存在，(3)則點(diǎn)P0(x0,y0)為函數(shù)的z=f(x,y)的間斷點(diǎn).如果函數(shù)z=f(x,y)有下列情形之一：

二元函數(shù)間斷的情況要比一元函數(shù)復(fù)雜,它除了有間斷點(diǎn)外,還可能有間斷線.例此函數(shù)對(duì)于x軸與y軸上的點(diǎn)均間斷.此函數(shù)在原點(diǎn)(0,0)處間斷.二元函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)

由變量x，y的基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或復(fù)合步驟而構(gòu)成的，且用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)稱為二元初等函數(shù).

定理二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域(是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域)內(nèi)是連續(xù).

定理連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)與復(fù)合仍連續(xù).

定理在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有最大值和最小值.例求極限解三、多元函數(shù)

一般地，稱函數(shù)為上的n元函數(shù)．

若n元有序?qū)崝?shù)組用點(diǎn)表示，這樣n元函數(shù).也可以表示為稱其為點(diǎn)函數(shù).

例如，一個(gè)公司用n種原料制造食品，每種原料i的單價(jià)為，在食品的制造中，有數(shù)量為的原料i被使用，因此總費(fèi)用是受原