山東省日照市中國百強中學2023年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

山東省日照市中國百強中學2023年高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（n）=+++…+，則（）A．f（n）中共有n項，當n=2時，f（2）=+B．f（n）中共有n+1項，當n=2時，f（2）=++C．f（n）中共有n2﹣n項，當n=2時，f（2）=++D．f（n）中共有n2﹣n+1項，當n=2時，f（2）=++參考答案：D【考點】數(shù)列的求和．【分析】觀察數(shù)列的通項公式，可得分母n，n+1，n+2…n2構成以n為首項，以1為公差的等差數(shù)列，從而可得項數(shù)為n2﹣n+1【解答】解：分母n，n+1，n+2…n2構成以n為首項，以1為公差的等差數(shù)列項數(shù)為n2﹣n+1故選D2.在平面直角坐標中，O為坐標原點，設向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C點所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是（）A．B．C．D．參考答案：A略3.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，則等于

A．

B．

C．

D．參考答案：D將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，即將向右平移嗎，得到，所以，所以，又，定義當時，，選D.4.設A，B，C，D是同一個球面上四點，△ABC是斜邊長為6的等腰直角三角形，若三棱錐D-ABC體積的最大值為27，則該球的表面積為A．36π B．64π C．100π D．144π參考答案：C5.設是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)為A.

B.

C.

D.參考答案：D6.若函數(shù)f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．（﹣3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣4，+∞） D．[﹣4，+∞）參考答案：A【考點】復合函數(shù)的單調性．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】由復合函數(shù)為增函數(shù)，且外函數(shù)為增函數(shù)，則只需內函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增且其最小值大于0，由此列不等式組求解a的范圍．【解答】解：令t=x2+ax﹣a﹣1，∵函數(shù)f（x）=lg（x2+ax﹣a﹣1）在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，又外層函數(shù)y=lgt為定義域內的增函數(shù)，∴需要內層函數(shù)t=x2+ax﹣a﹣1在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，且其最小值大于0，即，解得：a＞﹣3．∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣3，+∞）．故選：A．【點評】本題考查了復合函數(shù)的單調性，關鍵是注意真數(shù)大于0，是中檔題．7.不等式x2﹣2|x|﹣3＜0的解集是（）A．（﹣3，3） B．（﹣3，1） C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣1，0）∪（0，1）參考答案：A【考點】其他不等式的解法．【分析】根據(jù)題意對x進行分類討論，分別化簡不等式后，由一元二次不等式的解法求出解集，最后再并在一起．【解答】解：①當x＞0時，不等式x2﹣2|x|﹣3＜0為x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3；②當x＜0時，不等式x2﹣2|x|﹣3＜0為x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1；綜上可得，不等式的解集是（﹣3，3），故選A．8.集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，則（?RA）∩B=（）A．（0，+∞） B．{﹣2，﹣1，1，2} C．{﹣2，﹣1} D．{1，2}參考答案：C【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】根據(jù)補集和交集的定義，寫出運算結果即可．【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，則?RA={x|x≤0}，所以（?RA）∩B={﹣2，﹣1}．故選：C．9.在復平面內，復數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復數(shù)z===i+1對應的點（1，1）位于第一象限．故選：A．【點評】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10.對于平面，，和直線，，，，下列命題中真命題是

（

）A．若,則；

B．若則；C．若,則；

D．若,則.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)在定義域（）內存在反函數(shù)，若=

，則

.參考答案：答案：8

；－2

12.已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象過點，則=．參考答案：2略13.與圓外切，且與直線相切的動圓圓心的軌跡方程是參考答案：14.已知在中，角的對邊分別是，其滿足，點在邊上且，則的取值范圍是

．參考答案：（2，+∞）15.若命題“，有”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：[-4，0]略16.若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S9=－36，S13=－104，則a5a7的值為

．參考答案：3217.復數(shù)的虛部是

.參考答案：-1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知⊙O：x2+y2=1和定點A（2，1），由⊙O外一點P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|．（1）求實數(shù)a，b間滿足的等量關系；（2）求線段PQ長的最小值；（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點，試求半徑最小值時⊙P的方程．參考答案：【考點】圓的標準方程；圓的切線方程．【專題】壓軸題；直線與圓．【分析】（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化簡可得a，b間滿足的等量關系．（2）由于PQ==，利用二次函數(shù)的性質求出它的最小值．（3）設⊙P的半徑為R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函數(shù)的性質求得OP=的最小值為，此時，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1，從而得到圓的標準方程．【解答】解：（1）連接OQ，∵切點為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化簡可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故當a=時，線段PQ取得最小值為．（3）若以P為圓心所作的⊙P的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故當a=時，PO取得最小值為，此時，b=﹣2a+3=，R取得最小值為﹣1．故半徑最小時⊙P的方程為+=．【點評】本題主要考查求圓的標準方程的方法，圓的切線的性質，兩點間的距離公式以及二次函數(shù)的性質應用，屬于中檔題．19.。參考答案：證明：要證明成立20.本小題滿分12分）已知橢圓的對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,又點在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的方程;（Ⅱ）已知直線的方向向量為,若直線與橢圓交于、兩點,求面積的最大值.參考答案：解:(Ⅰ)由已知拋物線的焦點為,故設橢圓方程為.

將點代入方程得,整理得,

解得或(舍).

故所求橢圓方程為.-------------------（6分）

(Ⅱ)設直線的方程為,設代入橢圓方程并化簡得,

由,可得

.

()由,故.

又點到的距離為,

故,當且僅當,即時取等號(滿足式)所以面積的最大值為.

---------（12分）略21.已知函數(shù)。（為常數(shù)，）（1）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；（2）求證：當時，在上是增函數(shù)；（3）若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：解⑴（1）由已知，得且，…3分（2）當時，

當時，

又

故在上是增函數(shù)

……………6分（3）時，由（2）知，在上的最大值為于是問題等價于：對任意的，不等式恒成立?！?分記則……………9分當時，

在區(qū)間上遞減，此時由于，時不可能使恒成立，故必有……………11分若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有，與恒成立相矛盾，故，這時，在上遞增，恒有，滿足題設要求，

即

實數(shù)的取值范圍為

……………14分略22.設函數(shù)f（x）=（a∈R）（Ⅰ）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導數(shù)的綜合應用．【分析】（I）f′（x）=，由f（x）在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．對x分類討論：當x＜x1時；當x1＜x＜x2時；當x＞x2時．由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，可知：x2=≤3，解得即可．解法二：“分離參數(shù)法”：由f（x）在[3，+∞）上為減函數(shù)，可得f′（x）≤0，可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用導數(shù)研究其最大值即可．【解答】解：（I）f′（x）==，∵f（x）在x=0處取得極值，∴f′（0）=0，解得a=0．當a=0時，f（x）=，f′（x）=，∴f（1）=，f′（1）=，∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為，化為：3x﹣ey=0；（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．當x＜x1時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)；當x1＜x＜x2時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當x＞x2時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）為減函數(shù)．