2013第二學(xué)期微積分第三次月考試卷參考答案

2012-2013學(xué)年第二學(xué)期《微積分B》第三次月考試學(xué)

專

班 —二三四五六—二三四五六七八九十一、選擇題（315分）1．設(shè)xyz4x2y21截出的有限部分,ydS的值為（A（A） 3

3L．Ix2y2dxy2x2dy,其中L是由y0,x1,yx組成的閉曲線,取順時針方向,則I（C 3L（A） 是錐面z

2x2及平面z1zx2x2x2

dxdy（B （A）2ee

設(shè)函數(shù)fu連續(xù),區(qū)域Dx,yx2y22y,則fxydxdy等于 2y2y211

fxy

（B）20

fxy d2sinfr2sincos 2

d2sinfr2sincos zfxy,

2fx01,fyx0x,fxy為（C1x2y

1x2y

1xy

1xy二、填空題（315分LL為取正向的圓周x2y29則曲線積分2xy2ydxx24xdyL22x2x2y2

,divgradr

1,2,23設(shè)z2

0z1的下側(cè),則xdydz2ydzdx3z1dxdyx2x2x2設(shè)空間區(qū)域x2.8

z

所圍成的,zdV11x2設(shè)函數(shù)zzx,y由方程ze2x3z2y確定,則3zz （9分設(shè)曲線積分

xy2dxyxdy與路徑無關(guān)x連續(xù)可導(dǎo)00, 1,1xy2dxyx 解:由積分與路徑知y'x2xy, 3分所以'x2x,xx2C 5由00,得xx2 6

22所以1,1xy2dxyxdy1,1xy2dxyx2dyx

1 9（8分

S是由曲線

y11y3y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,y22向的夾 于,求Ix8y1dydz212S

dzdx4解:旋轉(zhuǎn)曲面為y1z2x2,1y3 1z2x2添加曲面S1:y 方向為y軸正方向,設(shè)S,S1圍成的立體為 3有公式S

x8y1dydz21y2dzdx43y1dyD 5y31y1而x8y1dydz21y2dzdx4 z2x2

16 7I x8y1dydz21y2dzdx4 8（9分LIy2z2dx2z2x2dy3x2y2dz,Lxyz2與柱面xy1的交線,z軸正向看去,L為逆時針方向.L:S為平面xyz2上L所圍部分的上側(cè),S的單位法向量為3331,1,333

, 公式 S2

xy9（8分222zSxy21的上半部分,PxyzS,SPz 面,x,y,z為點(diǎn)O0,0,0到平面的距離,求 dS.Sx,y,z解:S在點(diǎn)P處的切平面為xXxy(Yy) 即xXyYzZ1 2 所以xyz

x2x2y22 z由z

dS 1 1 y2 21z2z2 4x221 y2 2 dSSx,y,z

4x2y2 4x2y212d24r2rdr4 82（9分IL

x2y2ds,Lx2y2a2yxx解:設(shè)Aa,0,B2a,2a,則L由線段OA,圓弧AB,線段BO組成 2 OA的參數(shù)方程為yxx,0OA的參數(shù)方程為y

x2y2ds

aexdx0

1; 4xacos, AB的參數(shù)方程為ya

0 4 4

x2y2ds

4 e 4 xx,BO的參數(shù)方程為yx0x

2a

2x2 dsx2

e

2dxea1; 8 x2所以IL dsx2（9分

1 ae 94在過點(diǎn)O00A,0yasinxa0中,求一條曲L,使沿該曲線LOA的積分1y3dx2xydy的值為最小L解Ia

1y3dx2xy0 1a3sin3x2xasinxacosx 0 4a3 53 7I'a4a2 7a1曲線為

x 9（9分y2設(shè)y2

zz4圍成的空間區(qū)域,x2y2zdV2解:旋轉(zhuǎn)曲面為z1x2y2 22x2y2zdV4dzx2y2z 4 0 d 2 42z2dz256（9分

2zr2zrdr zx2y2求曲線y

xOy距離最短的點(diǎn) 解:設(shè)Fx,y,z,,z