高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題之?dāng)?shù)列

..高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題之?dāng)?shù)列一、數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列是中學(xué)階段的兩種重要數(shù)列,也是各年高考、競(jìng)賽的重點(diǎn),現(xiàn)將它們的主要性質(zhì)及內(nèi)容對(duì)照討論如下：性質(zhì)1：若是等差〔等比數(shù)列,那么仍是等差〔等比數(shù)列。性質(zhì)2：若為等差數(shù)列,且,那么〔腳標(biāo)和相同則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的和相同；若為等比數(shù)列,且,那么〔腳標(biāo)和相同則對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的積相同。性質(zhì)3：若為等差數(shù)列,記,那么仍為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,記,那么仍為等比數(shù)列。性質(zhì)4：若為等比數(shù)列,公比為q,且|q|〈1,則。例1、若、為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和分別為,若,則〔A.1B.C.D.例2、等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)的和為〔A.130B.170C.210D.260例3、、為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和分別為,若〔1求的值,〔2求使為整數(shù)的所有正整數(shù)n。例4、在等差數(shù)列中,若,則有等式成立,類(lèi)比上述性質(zhì),相應(yīng)地：在等比數(shù)列中,若,則有等式成立。例5、一個(gè)正數(shù),其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其本身成等比數(shù)列,則該數(shù)為。例6、設(shè)},是的元素個(gè)數(shù),是所有元素的和,則。例7、設(shè)A={1,2,…n},是A的所有非空真子集元素的和,表示A的子集個(gè)數(shù),求的值。例8、設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前n項(xiàng)和。方法：首先找出的通項(xiàng)式,在找出的通項(xiàng)式例9、設(shè)為等差數(shù)列,為等比數(shù)列,且,又,試求的通項(xiàng)公式。例10、設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,數(shù)列的通項(xiàng)式為,〔1求數(shù)列的通項(xiàng)公式,〔2若,則稱(chēng)d為數(shù)列與的公共項(xiàng),按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新的數(shù)列,證明：的通項(xiàng)公式為。例11、個(gè)正數(shù)排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列,每一列的數(shù)成等比數(shù)列,并且所有的公比相等,已知,求+++的值。作業(yè)：1、將正奇數(shù)集合{1,3,5,…}由小到大按n組有<2n-1>個(gè)奇數(shù)進(jìn)行分組：{1}、{3,5,7}、{9,11,13,15,17}….,則1991位于組中。2、在等差數(shù)列中,公差,的等比中項(xiàng),已知數(shù)列成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、設(shè)正數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足,〔1求數(shù)列的通項(xiàng)公式,〔2設(shè),試求M的最小值。二、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法在一定程度上考察了以下能力：〔1從整體上直接領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的能力；〔2從數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)式關(guān)系中洞察對(duì)象本質(zhì)的能力；〔3從解題思路和問(wèn)題結(jié)果中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題,滿(mǎn)足以下條件：〔1是成立的,〔2假設(shè)成立能推出成立,則命題對(duì)一切自然數(shù)n都成立。第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題,滿(mǎn)足以下條件：〔1是成立的,〔2假設(shè),,…成立能推出成立,則命題對(duì)一切自然數(shù)n都成立。解題思維過(guò)程：嘗試——觀(guān)察——?dú)w納、猜想——證明,即從特殊關(guān)系中概括一般規(guī)律,建立猜想,給出嚴(yán)格證明。解題策略：從數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)式關(guān)系、解題思路和問(wèn)題結(jié)果等特征去思考問(wèn)題。例1、已知對(duì)任意自然數(shù)n,有,求證〔1989年高中例2、用表示的各數(shù)的最大奇數(shù)因子之和,求證：例3、設(shè)是正數(shù)數(shù)列且滿(mǎn)足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。方法：嘗試——觀(guān)察——?dú)w納、猜想——證明例4、已知數(shù)列滿(mǎn)足：,當(dāng)時(shí),有,試求數(shù)列的通項(xiàng)公式。方法：嘗試——觀(guān)察——?dú)w納、猜想——證明例5、一個(gè)數(shù)列定義如下：,證明：對(duì)于自然數(shù)n,有。這里表示不超過(guò)的最大整數(shù)。〔IMO18-6方法：變化形式例6、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：,這里,求證：對(duì)所有的自然數(shù)n,有。〔1977年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克例7、已知是n個(gè)正數(shù)且滿(mǎn)足,求證：例8、已知a,b是正實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足,試證：對(duì)每一個(gè)自然數(shù)n,有三、遞推數(shù)列,熱點(diǎn)問(wèn)題是求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式1、轉(zhuǎn)化：最常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化為等差〔等比數(shù)列的通式和求和類(lèi)型：〔1,化歸成型；〔2,化歸成型；〔3,化歸成型；〔4,化歸成型；〔5,化歸成型；〔6型例1、、已知數(shù)列滿(mǎn)足：,,試求數(shù)列的通項(xiàng)公式。方法：開(kāi)方轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列的形式例2、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：,求的通項(xiàng)公式。例3、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：,求。例4、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：,求。2、變換〔代換：三角代換、代數(shù)代換例1、已知,求。方法：觀(guān)察特點(diǎn),聯(lián)想到正切公式例2、數(shù)列滿(mǎn)足：,求方法：含根式,通過(guò)代換轉(zhuǎn)化為不含根式的遞推式例3、設(shè)滿(mǎn)足關(guān)系式,則方法：倒數(shù)關(guān)系不易求解,通過(guò)代換轉(zhuǎn)化為熟悉的形式例4、給定正整數(shù)n和正數(shù)M,對(duì)于滿(mǎn)足條件：的所有等差數(shù)列,試求的最大值。方法：根據(jù)特點(diǎn),三角代換3、特征方程及特征根求解遞推式對(duì)于二階線(xiàn)性遞推數(shù)列數(shù)列滿(mǎn)足：..〔1其中為常數(shù),若有等比數(shù)列滿(mǎn)足等式〔1,則x必滿(mǎn)足相應(yīng)的方程：…….〔2,稱(chēng)此方程〔2為〔1的特征方程。數(shù)列的通項(xiàng)公式與特征方程的根有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí),方程〔2有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根,則數(shù)列、均是〔1的解,并且對(duì)任意常數(shù)有也是〔1的解〔通解,由初值確定。當(dāng)時(shí),方程〔2有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根,則數(shù)列、均是〔1的解,并且對(duì)任意常數(shù)有也是〔1的解〔通解,由初值確定。當(dāng)時(shí),方程〔2有兩個(gè)共軛復(fù)根,則數(shù)列、均是〔1的解,并且對(duì)任意常數(shù)有也是〔1的解〔通解,由初值確定。求斐波那鍥數(shù)列的通項(xiàng)公式：。方法：利用特征方程求解注：設(shè)數(shù)列是k階線(xiàn)性遞推數(shù)列,其特征方程為,設(shè)其前n項(xiàng)的和,則是k+1階線(xiàn)性遞推數(shù)列,其特征方程為例2、已知數(shù)列滿(mǎn)足：,求此數(shù)列的前n項(xiàng)和。例3、設(shè)數(shù)列、滿(mǎn)足：且〔,求證：是完全平方數(shù)〔n=0,1,2,…方法：將其轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的遞推式4、利用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)原理求解數(shù)列通項(xiàng)公式定理1：設(shè),數(shù)列由初始值確定,那么當(dāng)且僅當(dāng)是的不動(dòng)點(diǎn)時(shí),數(shù)列是公比為a的等比數(shù)列。定理2：設(shè)數(shù)列由遞推關(guān)系確定,設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則：〔1當(dāng)時(shí),則數(shù)列是等比數(shù)列,公比為；〔2當(dāng)時(shí),則數(shù)列是等差數(shù)列,公差為。例1、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：,求證：。例2、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：,前n項(xiàng)和為,則滿(mǎn)足不等式的最小整數(shù)n=。例3、設(shè)正數(shù)列滿(mǎn)足,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。方法：變形、轉(zhuǎn)化形成熟悉結(jié)構(gòu)例4、運(yùn)動(dòng)會(huì)連續(xù)開(kāi)了n天,一共發(fā)了m枚獎(jiǎng)牌,第一天發(fā)1枚加上剩下的,第二天發(fā)2枚加上剩下的,以后每天均按此規(guī)律發(fā)放獎(jiǎng)牌,在最后一天,即第n天發(fā)n枚而無(wú)剩余,問(wèn)運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)了幾天？共發(fā)多少枚獎(jiǎng)牌？5、利用高階差分?jǐn)?shù)列求數(shù)列通式定義1：〔差分?jǐn)?shù)列對(duì)于數(shù)列,稱(chēng)為的一階差分,為數(shù)列的的一階差分?jǐn)?shù)列；數(shù)列的一階差分：,稱(chēng)為數(shù)列的的二階差分?jǐn)?shù)列；一般地,稱(chēng)為的k階差分,稱(chēng)為數(shù)列的的k階差分?jǐn)?shù)列。例1、求數(shù)列0,1,4,11,26,57,…的通項(xiàng)公式。例2、求數(shù)列-2,1,7,16,28,…的通項(xiàng)公式。定義2〔高階等差數(shù)列若數(shù)列的的k階差分?jǐn)?shù)列是一個(gè)非零常數(shù)列,而k+1階差分?jǐn)?shù)列是一個(gè)零常數(shù)列,則稱(chēng)的的k階等差數(shù)列。定理1：設(shè)是m階等差數(shù)列,則,約定。定理2：數(shù)列是m階等差數(shù)列的充要條件是是一個(gè)關(guān)于n的m次多項(xiàng)式。定理3、數(shù)列是m階等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)之和為,則是m+1階等差數(shù)列,且例3、求的求和公式,并給出證明。定理4：給定,其中為關(guān)于n的函數(shù),則此一階非線(xiàn)性齊次遞推數(shù)列所確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式為：例4、已知數(shù)列滿(mǎn)足：,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例5、已知數(shù)列滿(mǎn)足：,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。四、數(shù)列的性質(zhì)〔反證法、周期性、有界性、整數(shù)性1、數(shù)列中的反證法問(wèn)題例1、設(shè)等差數(shù)列包含1和,證明：數(shù)列中任意三項(xiàng)均不構(gòu)成等比數(shù)列。例2、設(shè)是定義在自然數(shù)集且取自然數(shù)值的嚴(yán)格遞增函數(shù),,當(dāng)m,n互質(zhì)時(shí),有,求證：對(duì)任意自然數(shù)n,都有。例3、數(shù)列為正數(shù)數(shù)列,滿(mǎn)足條件,求證：對(duì)一切自然數(shù)k,為無(wú)理數(shù)。2、數(shù)列的周期性例1、已知整數(shù)數(shù)列滿(mǎn)足,如果前1492項(xiàng)之和為1985,而前1985項(xiàng)之和為1492,則該數(shù)列前2006項(xiàng)之和是多少？方法：考察數(shù)列的周期性例2、設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,為的個(gè)位數(shù),求的值。方法：考察數(shù)列的周期性例3、已知數(shù)列滿(mǎn)足：,求證：對(duì)一切自然數(shù)n,有。方法：考察數(shù)列的