高等數(shù)學(同濟)下冊期末考試題和答案(5套)

...wd......wd......wd...高等數(shù)學〔下冊〕考試試卷〔一〕一、填空題〔每題3分，共計24分〕1、=的定義域為D=。2、二重積分的符號為。3、由曲線及直線，所圍圖形的面積用二重積分表示為，其值為。4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為那么弧長元素。5、設(shè)曲面∑為介于及間的局部的外側(cè)，那么。6、微分方程的通解為。7、方程的通解為。8、級數(shù)的和為。二、選擇題〔每題2分，共計16分〕1、二元函數(shù)在處可微的充分條件是〔〕〔A〕在處連續(xù)；〔B〕，在的某鄰域內(nèi)存在；〔C〕當時，是無窮?。弧睤〕。2、設(shè)其中具有二階連續(xù)導數(shù)，那么等于〔〕〔A〕；〔B〕；(C)；(D)0。3、設(shè)：那么三重積分等于〔〕〔A〕4；〔B〕；〔C〕；〔D〕。4、球面與柱面所圍成的立體體積V=〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕。5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，那么〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕。6、以下說法中錯誤的選項是〔〕方程是三階微分方程；方程是一階微分方程；方程是全微分方程；方程是伯努利方程。7、曲線經(jīng)過原點，且在原點處的切線與直線平行，而滿足微分方程，那么曲線的方程為〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕。8、設(shè),那么〔〕〔A〕收斂；〔B〕發(fā)散；〔C〕不一定；〔D〕絕對收斂。三、求解以下問題〔共計15分〕1、〔7分〕設(shè)均為連續(xù)可微函數(shù)。，求。2、〔8分〕設(shè)，求。四、求解以下問題〔共計15分〕。1、計算。〔7分〕2、計算，其中是由所圍成的空間閉區(qū)域〔8分〕五、〔13分〕計算，其中L是面上的任一條無重點且分段光滑不經(jīng)過原點的封閉曲線的逆時針方向。六、〔9分〕設(shè)對任意滿足方程，且存在，求。七、〔8分〕求級數(shù)的收斂區(qū)間。高等數(shù)學〔下冊〕考試試卷〔二〕1、設(shè)，那么。2、。3、設(shè)，交換積分次序后，。4、設(shè)為可微函數(shù)，且那么。5、設(shè)L為取正向的圓周，那么曲線積分。6、設(shè)，那么。7、通解為的微分方程是。8、設(shè)，那么它的Fourier展開式中的。二、選擇題〔每題2分，共計16分〕。1、設(shè)函數(shù),那么在點〔0，0〕處〔〕〔A〕連續(xù)且偏導數(shù)存在；〔B〕連續(xù)但偏導數(shù)不存在；〔C〕不連續(xù)但偏導數(shù)存在；〔D〕不連續(xù)且偏導數(shù)不存在。2、設(shè)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足及，那么〔〕〔A〕最大值點和最小值點必定都在D的內(nèi)部；〔B〕最大值點和最小值點必定都在D的邊界上；〔C〕最大值點在D的內(nèi)部，最小值點在D的邊界上；〔D〕最小值點在D的內(nèi)部，最大值點在D的邊界上。3、設(shè)平面區(qū)域D：，假設(shè)，那么有〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕不能比較。4、設(shè)是由曲面及所圍成的空間區(qū)域，那么=〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕。5、設(shè)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為，其中在上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，那么曲線積分〔〕(A)；(B)；(C)；(D)。6、設(shè)是取外側(cè)的單位球面，那么曲面積分=〔〕(A)0；(B)；(C)；(D)。7、以下方程中，設(shè)是它的解，可以推知也是它的解的方程是〔〕(A)；(B)；(C)；(D)。8、設(shè)級數(shù)為一交織級數(shù)，那么〔〕(A)該級數(shù)必收斂；(B)該級數(shù)必發(fā)散；(C)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)假設(shè)，那么必收斂。三、求解以下問題〔共計15分〕1、〔8分〕求函數(shù)在點A〔0，1，0〕沿A指向點B〔3，-2，2〕的方向的方向?qū)?shù)。2、〔7分〕求函數(shù)在由直線所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解以下問題〔共計15分〕1、〔7分〕計算，其中是由及所圍成的立體域。2、〔8分〕設(shè)為連續(xù)函數(shù)，定義，其中，求。五、求解以下問題〔15分〕1、〔8分〕求，其中L是從A〔a，0〕經(jīng)到O〔0，0〕的弧。2、〔7分〕計算，其中是的外側(cè)。六、〔15分〕設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階導數(shù)，并使曲線積分與路徑無關(guān)，求函數(shù)。高等數(shù)學〔下冊〕考試試卷〔三〕一、填空題〔每題3分，共計24分〕1、設(shè)，那么。2、函數(shù)在點〔0，0〕處沿的方向?qū)?shù)=。3、設(shè)為曲面所圍成的立體，如果將三重積分化為先對再對最后對三次積分，那么I=。4、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，那么，其中。5、，其中。6、設(shè)是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)，，在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，那么三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系式：，該關(guān)系式稱為公式。7、微分方程的特解可設(shè)為。8、假設(shè)級數(shù)發(fā)散，那么。二、選擇題〔每題2分，共計16分〕1、設(shè)存在，那么=〔〕〔A〕；〔B〕0；〔C〕2；〔D〕。2、設(shè)，結(jié)論正確的選項是〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕。3、假設(shè)為關(guān)于的奇函數(shù)，積分域D關(guān)于軸對稱，對稱局部記為，在D上連續(xù)，那么〔〕〔A〕0；〔B〕2；〔C〕4；(D)2。4、設(shè)：，那么=〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕。5、設(shè)在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L，在點處的線密度為，那么曲線?。痰闹匦牡淖鴺藶椤病场玻痢?；〔B〕=；〔C〕=；〔D〕=,其中M為曲線弧Ｌ的質(zhì)量。６、設(shè)為柱面和在第一卦限所圍成局部的外側(cè)，那么曲面積分＝〔〕〔A〕0；〔B〕；〔C〕；〔D〕。７、方程的特解可設(shè)為〔〕〔A〕，假設(shè)；〔B〕，假設(shè)；〔C〕，假設(shè)；〔D〕，假設(shè)。８、設(shè)，那么它的Fourier展開式中的等于〔〕〔A〕；〔B〕0；〔C〕；〔D〕。三、〔１２分〕設(shè)為由方程確定的的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)，求。四、〔８分〕在橢圓上求一點，使其到直線的距離最短。五、〔８分〕求圓柱面被錐面和平面割下局部的面積Ａ。六、〔１２分〕計算，其中為球面的局部的外側(cè)。七、〔10分〕設(shè)，求。八、〔10分〕將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。高等數(shù)學〔下冊〕考試試卷〔一〕參考答案一、1、當時，；當時，；2、負號；3、；4、；5、180；6、；7、；8、1；二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；三、1、；；2、；；四、1、；2、；五、令那么，；于是=1\*GB3①當L所圍成的區(qū)域D中不含O〔0，0〕時，在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得：I=0；=2\*GB3②當L所圍成的區(qū)域D中含O〔0，0〕時，在D內(nèi)除O〔0，0〕外都連續(xù)，此時作曲線為，逆時針方向，并假設(shè)為及所圍成區(qū)域，那么六、由所給條件易得：又=即即又即七、令，考慮級數(shù)當即時，亦即時所給級數(shù)絕對收斂；當即或時，原級數(shù)發(fā)散；當即時，級數(shù)收斂；當即時，級數(shù)收斂；級數(shù)的半徑為R=1，收斂區(qū)間為[1，3]。高等數(shù)學〔下冊〕考試試卷〔二〕參考答案一、1、1；2、-1/6；3、；4、；5、；6、；7、；8、0；二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；三、1、函數(shù)在點A〔1，0，1〕處可微，且；；而所以,故在A點沿方向?qū)?shù)為：++2、由得D內(nèi)的駐點為且，又而當時，令得于是相應且在D上的最大值為，最小值為四、1、的聯(lián)立不等式組為所以2、在柱面坐標系中所以五、1、連接，由公式得：2、作輔助曲面，上側(cè)，那么由Gauss公式得：+===六、由題意得：即特征方程，特征根對應齊次方程的通解為：又因為是特征根。故其特解可設(shè)為：代入方程并整理得：即故所求函數(shù)為：高等數(shù)學〔下冊〕考試試卷〔三〕參考答案一、1、；2、；3、；4、；6、，公式；7、8、。二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B三、由于，由上兩式消去，即得：四、設(shè)為橢圓上任一點，那么該點到直線的距離為；令，于是由：得條件駐點：