第 七 章 應(yīng)力和應(yīng)變分析強度理論

1材 料 力 學南京航空航天大學陶秋帆等第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析

強度理論2第七章 應(yīng)力和應(yīng)變分析 強度理論本章內(nèi)容:1 應(yīng)力狀態(tài)概述2 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實例3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析??

解析法4 二向應(yīng)力狀態(tài)分析??

圖解法5 三向應(yīng)力狀態(tài)6 位移與應(yīng)變分量7 平面應(yīng)變狀態(tài)分析8 廣義胡克定律33 二向應(yīng)力狀態(tài)分析??

解析法4 二向應(yīng)力狀態(tài)分析??

圖解法5 三向應(yīng)力狀態(tài)6 位移與應(yīng)變分量7 平面應(yīng)變狀態(tài)分析8 廣義胡克定律9 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的變形比能10 強度理論概述11 四種常用強度理論12 莫爾強度理論13 構(gòu)件含裂紋時的斷裂準則4§7.

1 應(yīng)力狀態(tài)概述1 問題的提出· 低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗。

低碳鋼的拉伸實驗。

鑄鐵的拉伸實驗問題：為什么低碳鋼拉伸時會出現(xiàn)

45o

滑移線？5· 低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實驗。

低碳鋼的扭轉(zhuǎn)實驗。

鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實驗問題：為什么鑄鐵扭轉(zhuǎn)時會沿

45o

螺旋面斷開？所以，不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。62 應(yīng)力的三個重要概念· 應(yīng)力的點的概念同一物體內(nèi)不同點的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點的概念。· 應(yīng)力的面的概念MzNQ7· 應(yīng)力的面的概念過同一點的不同方向的截面上的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的面的概念。

所以，講到應(yīng)力，應(yīng)指明是哪一點在哪一方向面

上的應(yīng)力。· 應(yīng)力狀態(tài)的概念過一點的不同方向面上的應(yīng)力的集合，稱為這一點的應(yīng)力狀態(tài)。8· 應(yīng)力狀態(tài)的概念過一點的不同方向面上的應(yīng)力的集合，稱為這

一點的應(yīng)力狀態(tài)。93 一點應(yīng)力狀態(tài)的描述· 單元體·

單元體的特點。

單元體的邊長

dx,

dy,

dz

均為無窮小量；10。

單元體的邊長

dx,

dy,

dz

均為無窮小量；。

單元體的每一個面上，應(yīng)力均勻分布；·

單元體的特點。

單元體中相互平行的兩個面上，應(yīng)力相同。4 主應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)的分類·

主應(yīng)力和主平面切應(yīng)力全為零時的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；114 主應(yīng)力及應(yīng)力狀態(tài)的分類·

主應(yīng)力和主平面切應(yīng)力全為零時的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；主應(yīng)力所在的平面稱為主平面；主平面的外法線方向稱為主方向。主應(yīng)力用1,

2

,

3

表示

(1

2

3

)

。·

應(yīng)力狀態(tài)分類

。

單向應(yīng)力狀態(tài)12·

應(yīng)力狀態(tài)分類。

單向應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài))。

三向應(yīng)力狀態(tài)(空間應(yīng)力狀態(tài))yxz

x

yxy

z

zx

yx

yz

zy

xz。

簡單應(yīng)力狀態(tài)。

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)

xxxyyy

yx13§7.

2 二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實例1 二向應(yīng)力狀態(tài)的實例·

薄壁圓筒已知：p,D,t。。

求'端部總壓力4

D2P

p

P

A

Dt

D2p4

pD4t14。

求'A

P

Dtp

D424t

pD。

求''取研究對象如圖。15。

求''計算N力Y

0D2N

p

l d

sin

20

plDN

plD2即：內(nèi)壓力在y方向的投影等于內(nèi)壓乘以投影面積。162N

plD所以

N

NA t

l

pD2t174t 2t可以看出：軸向應(yīng)力

是環(huán)向應(yīng)力的一半。對于薄壁圓筒，有：t

?

D

pD20

pD

,

＞

5

p,

＞

10

p所以，可以忽略內(nèi)表面受到的內(nèi)壓p和外表面受到的大氣壓強，近似作為二向應(yīng)力狀態(tài)處理。182 三向應(yīng)力狀態(tài)的實例· 滾珠軸承

3

019例

2

(書例8.1)已知：蒸汽鍋爐，

t=10mm,

D=1m,p=3MPa

。求：三個主應(yīng)力。

解：前面已得到

pD

75

MPa,

pD

150

MPa2t4t1

150

MPa,

2

75

MPa,20例

3

(書例8.2)已知：球形容器，t

,

D,

p

。求：容器壁內(nèi)的應(yīng)力。解：

取研究對象如圖。與薄壁圓筒的情況類似，有：

pD4t所以：1

2

,4

D2P

p

Y

0

Dt

P

p

3

04

D221§7.

3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析??

解析法·二向應(yīng)力狀態(tài)的表示。 切應(yīng)力的下標

x

y· 應(yīng)力狀態(tài)分析在已知過一點的某些截面上的應(yīng)力時，求出過該點的任一截面上的應(yīng)力，從而求出主應(yīng)力和主平面。作用面的法線 切應(yīng)力的方向22·二向應(yīng)力狀態(tài)的表示。 切應(yīng)力的下標

x

y作用面的法線 切應(yīng)力的方向。正負號規(guī)定正應(yīng)力（

x

x

x拉為正壓為負

x外法線n的正向的角為正;反之為負。23（切應(yīng)力使單元體順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。x'y'

yx

xy（截面的方向角由x正向逆時針轉(zhuǎn)到截面的nyx24·

方向角為的截面上的應(yīng)力以單元體的一部分為研究對象。由平衡條件

0

Fn

d

A

(

xy

d

A

cos

)

sin

(

x

d

A

cos

)

cos(

yx

d

Asin

)

cos(

y

d

Asin

)

sin

0

0

Ft25

0

Fn

d

A

(

xy

d

A

cos

)

sin

(

x

d

A

cos

)

cos(

yx

d

Asin

)

cos(

y

d

Asin

)

sin

0

0

Ft

d

A

(

xy

d

A

cos

)

cos(

x

d

A

cos

)

sin(

y

d

Asin

)

cos(

yx

d

Asin

)

sin

026

0

Ft

d

A

(

xy

d

A

cos

)

cos(

x

d

A

cos

)

sin(

y

d

Asin

)

cos(

yx

d

Asin

)

sin

0由切應(yīng)力互等定理，xy與

yx

大小相等。cos2

sin

2

x

y

x

y

2 2

x

yxysin

2

xy

cos2

227·

最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力sin

2cos2

x

y

x

y

22

x

yxycos2sin

2

2xy

2( x

y

sin

2

dd令：

x

y2

xytan

20

可以看出：當

=0

時，

0取極值的正應(yīng)力為主應(yīng)力。cos2)

22xy

0dd28令：

x

y2

xytan

20

可以看出：當

=0

時，

0取極值的正應(yīng)力為主應(yīng)力。若

0

滿足上式，則

0

+90o也滿足上式，代入公式可得：

0dd

22

min

?

max22xy

x y ?

x y ?????????29若

0

滿足上式，則

0

+90o也滿足上式，代入公式可得：

22

min

?

max22xy

x y ?

x y ?????????·

正應(yīng)力的不變量30·

正應(yīng)力的不變量截面上的正應(yīng)力為:sin

2cos2

x

y

x

y

2 2xy

+90o

截面上的正應(yīng)力為:sin(2

)y

cos(2

)

2 290

x y

xxysin

2y cos2

2 2xyxx y

90

x

y任意兩個互相垂直的截面上的正應(yīng)力之和為常數(shù).31·

最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力cos2sin

2

x

y

2xy

(

)

cos2

2d

dd令：2

xy

x

ytan

21

yx

0dsin

2xy若

1

滿足上式，則

1

+90o也滿足上式，代入

22公式可得：

max??

min

?2xy

?

x y ???????

32若

1

滿足上式，則

1

+90o也滿足上式，代入公式可得：

22

min

?

max2xy

?

x y ???

????

??

22

min

?

max

x

y22xy

?

x y ???

??????

(

)21minmax。切應(yīng)力的極值稱為主切應(yīng)力

主切應(yīng)力所在的平面稱為主剪平面。。主剪平面上的正應(yīng)力33。切應(yīng)力的極值稱為主切應(yīng)力。主切應(yīng)力所在的平面稱為主剪平面

主剪平面上的正應(yīng)力。sin

2cos2

x

y

x

y

2 2xy2

xy

tan

2

x

y1將

1

和

1

+90o

代入公式可得：

9011)

(

max

min21

(

)

21x y即：

主剪平面上的正應(yīng)力為平均正應(yīng)力。342

xy

, tan

2

x

y1將

1

和

1

+90o

代入公式可得：

9011)

(

max

min21

(

)

21x y即：

主剪平面上的正應(yīng)力為平均正應(yīng)力?！?/p>

主平面與主剪平面的關(guān)系2

xytan

2

0

x

y由

0

和

1

的公式可得：

tan

20

tan

21

1221

20

401

即：主平面與主剪平面的夾角為45o。35例

4

(書例8.3)已知：

圓軸受扭轉(zhuǎn)。求：應(yīng)力狀態(tài)及分析鑄鐵件受扭時的破壞現(xiàn)象。解：。

最大切應(yīng)力

T取單元體ABCD

純切應(yīng)力狀態(tài)Wt

x

0,

y

0,

xy36取單元體ABCD

純切應(yīng)力狀態(tài)

x

0,

y

0,

xy。

主應(yīng)力

2

2

min

?

max22xy

?

x y ?

x y????????。

主方向

x

yxy2tan

2

0

0

45或0

13537。

主應(yīng)力max?

min

??。

主方向

x

yxy2tan

2

0

或0

450

135。

主應(yīng)力排序1

max

,

2

0,。

鑄鐵件破壞現(xiàn)象

3

min

38例

5

(書例8.4)已知:

A點應(yīng)力

=

-70MPa,

=

50MPa。求：A點主應(yīng)力和主平面，及其它點的應(yīng)力狀態(tài)。解：。

A點單元體。

取x軸向上為正

x

0,

y

70

MPa,

50

MPa

xy39。

取x軸向上為正

x

0,

y

70

MPa,

50

MPa

xy。

主應(yīng)力

22

min

?

max22xy

?

x y

?

x y????????

26

MPa,

max

(50)222

min0

(70)?

?

0

(70)

2??

??

96

MPa40。

主應(yīng)力max

26MPa,min

96MPa1

26MPa,3

96MPa。

主方向2

0,

x

y0

27.52

xytan

2

0或0

117.50

(70)

2

(50)

1.429。

其它幾點的應(yīng)力狀態(tài)41。

其它幾點的應(yīng)力狀態(tài)單向拉伸單向壓縮純剪切42主拉應(yīng)力1跡線。

主應(yīng)力跡線主壓應(yīng)力

跡線343§7.

4 二向應(yīng)力狀態(tài)分析??

圖解法1 應(yīng)力圓

(莫爾圓)

方程由公式sin

2cos2

x

y

x

y

2 2

x

y

x

yxycos2sin

2

2

x

y

2xysin

2cos2

2xy平方相加，得

y

?

2

?

x

y

?

22222xy

x????

?????????44

y

?

2

?

x

y

?

2222 2xy

x????

??

??

?

????這是以、為變量的圓的方程。

x

y2R

1

2

4

22 x y xyROC45

x

y2D

(x,xy)O2 應(yīng)力圓的畫法

y

yx

xyDDRCD(y,yx)R

1

2

4

22 x y xy463 應(yīng)力圓上的點與單元體面上的應(yīng)力的對應(yīng)關(guān)系(1)

點面對應(yīng)應(yīng)力圓上某一點的坐標值對應(yīng)著單元體某一方向面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力;47(2)

基準相當D點和x面是基準;(3)

轉(zhuǎn)向一致半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；48(3)

轉(zhuǎn)向一致半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致；(4)

角度成雙

半徑轉(zhuǎn)過的角度是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。494 應(yīng)力圓的應(yīng)用·

確定主應(yīng)力、主方向應(yīng)力圓與橫軸的交點

A1、B1處，剪應(yīng)力為零。它們的橫坐標即為主應(yīng)力。從半徑CD轉(zhuǎn)到CA1的角度即為從x軸轉(zhuǎn)到主平面的角度的兩倍。50。

主應(yīng)力即為A1,

B1處的正應(yīng)力。

22

min

?

max22xy

?

x y ?

x y????????圓心坐標應(yīng)力圓半徑51。

主方向CA

DA0tan

2(

x

y

)

/

22

xy

xy

x

y

52·

確定面內(nèi)最大切應(yīng)力主剪面對應(yīng)于應(yīng)力圓上的G1和G2點。面內(nèi)最大切應(yīng)力的值等于應(yīng)力圓的半徑。

22max2xy

?

x y ?

??????

1

(

)2minmax53xexADdoacx'yy'E·

單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓45o xbB2×45o2×45o54BE’’x'y'aodcbex2×45o2×45oxBE55o·

純切應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓a(0,

)＝d(0,-

)Dbec2×45o2×45o'＝BE56例

3

(書例8.5)已知：x=80MPa,

y=-40MPa,xy

=

-60MPa,yx

=

60MPa

。求：用應(yīng)力圓求主應(yīng)力和主方向。解：

作應(yīng)力圓:由

x

80,

xy

60由

y

40,

yx

60畫出應(yīng)力圓D點D'點57由

x

80,

xy

60D點由

y

40,

yx

60D'點畫出應(yīng)力圓582

OC

x

y。

圓心坐標2

80

(40)

20。

半徑

222xy

?

x y ?R??

????

(60)22280

(40)?

?????

84.85

85591

OA1

OC

R

105

MPa3

OC

R

65

MPa。

主平面由幾何關(guān)系從D點(x軸)逆時針轉(zhuǎn)45o至A1點，

0

22.520

45。

圓心坐標。

半徑OC

20R

85ECE

OE

OC

80

20

60

xED

xy

6060E。

主平面由幾何關(guān)系從D點(x軸)逆時針轉(zhuǎn)45o至A1點，

0

22.520

45CE

OE

OC

80

20

60ED

xy

6061例

4

(書例8.6)已知：x=

0,

y=

-40MPa,xy

=

0

。求：斜截面de上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。解：作應(yīng)力圓:O點B1點由

x

0,

xy

0由

y

40,

yx

0畫出應(yīng)力圓62由

x

0,

xy

0O點由

y

40,

yx

0B1點畫出應(yīng)力圓。

圓心坐標OC

OB1

/

2

20。

半徑R

OC

2063

(OC

CD)

(R

R

cos

60)

30

MPa

DE

R

sin

60

17.3

MPa。

圓心坐標OC

20。

半徑R

20。

單元體上0=

-60o的面所對應(yīng)的點為E點D64§7.

5 三向應(yīng)力狀態(tài)· 三向應(yīng)力狀態(tài)三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)。zyx

x

y

yxxy

zy

yz

z

zx

xz65· 特例至少有一個主應(yīng)力的大小方向為已知。zxyxyyxyxyyxxz平面應(yīng)力狀態(tài)即為這種特例之一。66123· 三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓設(shè)三個主應(yīng)力均已知。平平行于3的方向面－其上之應(yīng)力與3

3III任一方向面上的應(yīng)力位于陰影區(qū)內(nèi)。III32I1平行于1的方向面－其上之應(yīng)力與1無關(guān)，于是由2

、

3可作出應(yīng)力圓

I行于2的方向面－其上之應(yīng)力與2關(guān)，于是由1

、3可作出應(yīng)力圓

II2II13III2321167· 最大切應(yīng)力在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)

'' I1 IIIII

'''=

max32最大切應(yīng)力,即：2

1

22

2

32

1

3231max

68200300o5032· 平面應(yīng)力狀態(tài)作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例max1

1

3

12 2max692

1

3max

可能是1,

也可能是2或3.平面應(yīng)力狀態(tài)作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例，應(yīng)注意：(1)

按三個主應(yīng)力的代數(shù)值排序確定1,

2,

3。(2)

0(3)70§7.

6 位移與應(yīng)變分量§7.

7 平面應(yīng)變狀態(tài)分析· 任一方向的應(yīng)變比較sin

2

xycos2

x

y

x

y

22 2x

ycos2

xysin

2

22

2sin

2cos2

22

x

yxyyxx ycos2sin

2

2xy71· 主要結(jié)論。

主應(yīng)變方向與主應(yīng)力方向相同。

主應(yīng)變

1、2、3與主應(yīng)力

1、2、3一一對應(yīng)。

與應(yīng)力圓類似，存在應(yīng)變圓，與應(yīng)力圓有相同的特點，不同點是

的坐標有系數(shù)

1/272· 實驗應(yīng)力分析：應(yīng)變片與應(yīng)變花73§7.

8 廣義胡克定律· 單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律

E或· 純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的剪切胡克定律E

G或

x

x ,EG y

· 橫向變形與泊松比

xxy

x

Ex74yx

x

y

yxxy· 廣義胡克定律。 三向應(yīng)力狀態(tài)可看作是三組單向應(yīng)力狀態(tài)和三組純剪切的組合。。 疊加原理用疊加原理的條件：zzzy

yzzx

xz(1)

各向同性材料；

(2)

小變形；(3)

變形在線彈性范圍內(nèi)。。 x方向的線應(yīng)變

xx引起的部分:

x1

E

x75yxz

x

yxy

z

zx

yx

zy

yz

xz。 x方向的線應(yīng)變

xx引起的部分:

xEx1y引起的部分:Eyx

2

引起的部分:zEzx3

疊加得：

E

xxE

yE

z

)]

(

1[zyxxEG76疊加得：E

xxE

yE

z

)]

(

1[zyxxE同理可得：

)]

(

1[xzyyE

)]

(

1[yxzzE剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

xy

,G Gxy

yz ,

zxyzzx這六個公式即為廣義胡克定律。77

)]

1[

(321 1E

(

3

1

)]

1[22E

(1

2

)]

1

[33E

xy

0,

yz

0,

zx

0從前三式中可解出三個主應(yīng)力。

用主應(yīng)力表示的廣義胡克定律78

)]

([(1

)(1

)(1

2

)E3211

E

)]

([(1

)(1

)(1

2

)E1322

)]

([(1

)(1

)(1

2

)2133

從前三式中可解出三個主應(yīng)力79例

5已知:

受扭圓軸，d,E,

,

測得

45o

。求：外加扭矩的值。解：在測點取單元體。

純切應(yīng)力狀態(tài)Wt切應(yīng)力為

T1

,

2

0,

3

要求出45o方向的應(yīng)變，需先求出

45o方向的應(yīng)力。45o方向為主應(yīng)力方向3

16T

d??

測扭矩的方法80Wt

d

T

16T1

,

2

0,切應(yīng)力為

3

45o方向為主應(yīng)力方向由廣義胡克定律

45

1

[1

(

2

3

)]

1E1

E3

45

1

1

16TE E

d

316(1

)

d

345ET

81· 體積胡克定律。

單元體變形前體積變形后體積略去高階微量V

d

x

d

y

d

zV1

(1

1

)(1

2

)(1

3

)

d

x

d

y

d

zV1

(1

1

2

3

)

d

x

dy

d

z單位體積的改變82變形前體積變形后體積略去高階微量V

d

x

d

y

d

zV1

(1

1

)(1

2

)(1

3

)

d

x

d

y

d

zV1

(1

1

2

3

)

d

x

dy

d

z單位體積的改變V

V1

V

1 2 3

??

體積應(yīng)變將廣義胡克定律1

(1/

E)[1

(

2

3

)]

2

(1/

E)[

2

(

3

1

)]3

(1/

E)[

3

(1

2

)]代入上式得1 2 3

1

2

(

)321E?

體積胡克定律83單位體積的改變V

V1

V

1 2 3

??

體積應(yīng)變將廣義胡克定律代入上式得

1

2

3

(1

2

3

)1

2E又可寫成

3(12)

1

2

3E 3K

mE

3(1

2)

記3(1

2)E?

體積彈性模量K

m84例已知:

受扭圓軸，d,E,

,

測得

45o

。求：外加扭矩的值。解：在測點取單元體。

純切應(yīng)力狀態(tài)Wt切應(yīng)力為

T1

,

2

0,

3

要求出45o方向的應(yīng)變，需先求出

45o方向的應(yīng)力。45o方向為主應(yīng)力方向3

16T

d??

測扭矩的方法85Wt

d

T

16T1

,

2

0,切應(yīng)力為

3

45o方向為主應(yīng)力方向由廣義胡克定律

45

1

[1

(

2

3

)]

1E1

E3

45

1

1

16TE E

d

316(1

)

d

345ET

86例1

(書例7.9)已知:

孔:

d1=50.01mm柱:

d2=50mm,

P=300kN, 鋼塊不變形。E=200GPa,

=0.3。求：圓柱的主應(yīng)力。解：。

柱受到的壓應(yīng)力

3

153MPAP87

3

153MPPA2

5.001

5

0.000251

??2233

1

??

1

?

p

p ?EE

??p

3

E2

8.43MP1

徑向的應(yīng)變由廣義胡克定律可得88p

3

E2

8.43MP1

圓柱的主應(yīng)力為：1

2

p

8.43MP3

153MP89§7.

9 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的變形比能1單向應(yīng)力狀態(tài)下的比能u

1

22三向應(yīng)力狀態(tài)下的比能·

功能原理dydxdz2

1

3·

變形能與加載方式無關(guān)U

W1 1 2 2 3 32 2 2u

1

1

1

為將變形能用主應(yīng)力表示，將廣義胡克定律3 1902三向應(yīng)力狀態(tài)下的比能1 1 2 2 3 32 2 2為將變形能用主應(yīng)力表示，將廣義胡克定律1

(1/

E)[1

(

2

3

)]

2

(1/

E)[

2

(

3

1

)]3

(1/

E)[

3

(1

2

)]代入上式，化簡得u

1

1

1

u

1

2

2

2

2

2 31 2 3 1 22E913 體積改變比能和形狀改變比能2E

m

m

m1

m2

m3

m+

21

3u

1

2

2

2

2

2 3 3 11 2 3 1 2體積改變,

形狀不變；

體積不變,

形狀改變923 體積改變比能和形狀改變比能

m

m

m1

m2

m3

m+

21

3體積改變,

形狀不變；

體積不變,

形狀改變因體積改變而貯存的變形能

?

體積改變比能

uv因形狀改變而貯存的變形能

?

形狀改變比能

u

f93·

體積改變比能

m

m

m

mm

mm

uv

2 2 211

mm1m

[

m

(

m

m

)]E1

mm

E1

2

mm

uv

3222E3(1

2)

m2(1

2

3

)uv

1

26E942(1

2

3

)uv

·

形狀改變比能u

f6E1

2u

1

2

2

2

2

2 3 3 11 2 3 1 22E

u

uv1

2

3

1

2

23

31)1

(u

f

3E或2 2 2

)2

(

)2

]3 3 1u

1

[(

)2

(6E21 2f95例

2

(書例8.10)已知:

純剪切應(yīng)力狀態(tài)。求：導出E,

G,

之間的關(guān)系。解：第3章已求出純剪切時。

用本節(jié)公式求純剪時的應(yīng)變能2Gu

21

,

2

0,

3

純剪切時u

1

2

2

2

2

2 3 3 11 2 3 1 22E96。

用本節(jié)公式求純剪時的應(yīng)變能1

,

2

0,

3

純剪切時u

1

2

2

2

2

1 2 3 1 2 2 3 3 12E

1

2

0

(

)2

20

0

(

)

2E

1 2

2

2

2

1

22EE第3章已求出純剪切時2Gu

2

1

1

2G

EG

E 2(1

)97強度理論研究材料失效的判據(jù)，從而建立強度條件?！?/p>

不同材料在相同的加載情況下，破壞(失效)的形式不同。。

塑性材料：屈服失效。。

脆性材料：斷裂失效?！?.10 強度理論概述98·

相同材料在不同的加載情況下，破壞(失效)的形式不同。。

塑性材料：當有深切槽時，發(fā)生斷裂。應(yīng)力集中導致根部出現(xiàn)三向應(yīng)力狀態(tài)。99。

脆性材料：100· 對單向應(yīng)力狀態(tài)和純剪切通過實驗建立強度

條件· 對復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)無法通過實驗建立強度條件強度理論

??

根據(jù)部分實驗結(jié)果，提出的假說。從而可根據(jù)單向應(yīng)力狀態(tài)的實驗結(jié)果，建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件。101強度理論分為兩類：§7.11 四種常用的強度理論1最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)·

基本觀點不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達到材料的某一極限，就發(fā)生脆性斷裂?！?/p>

失效準則。

適用于斷裂失效情況。

適用于屈服失效情況1

b

,

2

0,

3

0。

單向拉伸失效時。

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，令1

b1021最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)·

基本觀點不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力達到材料的某一極限，就發(fā)生脆性斷裂?！?/p>

失效準則·

強度條件nb

[

]

b1·

相當應(yīng)力

r1

11

b

,

2

0,

3

0。

單向拉伸失效時。

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，令1

b103·

強度條件·

相當應(yīng)力·

適用對象脆性材料受拉，塑性材料受三向拉伸且

1、

2

、

3相近?！?/p>

缺點

沒有考慮

2和

3

的影響，且無法應(yīng)用于沒有拉應(yīng)力的情況。2最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)·

基本觀點不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長線應(yīng)變達到材料的某一極限，就發(fā)生脆性斷裂。1

r1

1nb

[

]

b1042最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)·

基本觀點不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長線應(yīng)變達到材料的某一極限，就發(fā)生脆性斷裂。E

b1·

失效準則。

單向拉伸失效時。

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，令

)]

b

1

[

(321 1E1

(

2

3

)

bE105·

強度條件·

相當應(yīng)力·

適用對象·

缺點1

(

2

3

)

[

]

r

2

1

(

2

3

)脆性材料受壓。1

(

2

3

)

bnbb對脆性材料受拉與試驗符合不好。

)]

b

1

[

(2 31 1EE·

失效準則。

單向拉伸失效時E

b1。

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，令1063最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)·

基本觀點不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大切應(yīng)力達到材料的某一極限，就發(fā)生塑性屈服。·

失效準則。

單向拉伸失效時

2maxs2

1

3

smax。

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時21

3

s·

強度條件1

3

[

]

nss1071

3

s·

失效準則·

強度條件·

相當應(yīng)力·

適用對象·

缺點1

3

[

]

r

3

1

3ns

s塑性材料的一般受力狀態(tài)。偏于安全；沒有考慮

2的影響。4形狀改變比能理論(第四強度理論)·

基本觀點不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能達到材料的某一極限，就發(fā)生塑性屈服?！?/p>

失效準則1084形狀改變比能理論(第四強度理論)·

基本觀點不論是什么應(yīng)力狀態(tài)，只要形狀改變比能達到材料的某一極限，就發(fā)生塑性屈服?！?/p>

失效準則。

單向拉伸失效時1

s

,

2

0,

3

0

)2

(

)2

]3 3 1u

1

[(

)2

(6E21 2f代入上式得1

2u

f

(2

)6Es[(

)2

(

)2

(

)2

]

1 2 2 3 3 1 s109·

失效準則。

單向拉伸失效時1

s

,

2