朱慈勉結(jié)構(gòu)力學(xué) 第五章 虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計(jì)算1

第五章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

本章是靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的聯(lián)結(jié)部分，一方面有相對(duì)的獨(dú)立性，另一方面又是學(xué)習(xí)超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。本章的理論基礎(chǔ)是虛功原理，重點(diǎn)是單位荷載法和圖乘法的應(yīng)用。變形與變形能材料力學(xué)知識(shí)：拉壓變形（應(yīng)變）：彎曲變形（曲率）：剪切變形（剪切角均值）：扭轉(zhuǎn)變形（扭轉(zhuǎn)角）：結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述a）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度；b）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打基礎(chǔ)；c）建筑起拱。↓↓↓↓↓↓↓↓↓-t+t不產(chǎn)生內(nèi)力，產(chǎn)生變形產(chǎn)生位移b）溫度改變和材料脹縮；c）支座沉降和制造誤差不產(chǎn)生內(nèi)力和變形產(chǎn)生剛體移動(dòng)位移是幾何量，自然可用幾何法來(lái)求，βΔ但最好的方法是虛功法。其理論基礎(chǔ)是虛功原理。a）荷載作用；2、產(chǎn)生位移的主要原因：

計(jì)算位移時(shí)，常假定：1）σ=Eε；2）小變形。即：線彈性體系。荷載與位移成正比，計(jì)算位移可用疊加原理。1、計(jì)算位移目的：舉例l如屋架在豎向荷載作用下，下弦各結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生虛線所示位移。將各下弦桿做得比實(shí)際長(zhǎng)度短些，拼裝后下弦向上起拱。在屋蓋自重作用下，下弦各桿位于原設(shè)計(jì)的水平位置。建筑起拱返回虛功原理荷載由零增大到P1，其作用點(diǎn)的位移也由零增大到Δ11，對(duì)線彈性體系P與Δ成正比。元功dT=P·dΔ在Δ12過(guò)程中，P1的值不變，Δ12與P1無(wú)關(guān)ΔPP1Δ11dTOAB一、靜力加載過(guò)程T=P·Δ12121ΔPP1Δ12OAB

二、實(shí)功與虛功

實(shí)功：是力在自身引起的位移上所作的功。實(shí)功恒為正。

虛功：是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如力與位移同向，虛功為正，如力與位移反向，虛功為負(fù)Δkj位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因三、廣義力與廣義位移

作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)因素，稱為廣義力S；與位有關(guān)的因素，稱為廣義位移Δ。廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：T=SΔT=P·Δ/211111T=P·Δ12121P廣義力廣義位移單個(gè)力力作用點(diǎn)沿力作用方向上的線位移單個(gè)力偶力偶作用截面的轉(zhuǎn)角等值反向共線的一對(duì)力兩力作用點(diǎn)間距的改變，即兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移Δ一對(duì)等值反向的力偶兩力偶作用截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角ΔβmPPttABΔBΔAT=PΔA+PΔB=P（

ΔA+ΔB）=PΔABΔmmABT=mA+mB=m（

A+B）=mΔ

虛功原理的應(yīng)用1）需設(shè)位移求未知力（虛位移原理）2）需設(shè)力系求位移（虛力原理）

剛體在外力作用下處于平衡的充分必要條件是，對(duì)于任意微小的虛位移，外力所作的虛功之和等于零。四、剛體虛功原理§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移

目的：理解虛功原理在位移計(jì)算中的應(yīng)用——虛力原理，能利用單位荷載法正確的計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)下的位移。1、推導(dǎo)位移計(jì)算一般公式的基本思路支座移動(dòng)引起的位移局部變形引起的位移剛體體系的虛力原理整體變形引起的位移疊加原理結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式整零已知求由虛功方程設(shè)虛力狀態(tài)如圖所示，根據(jù)平衡條件得：結(jié)論：在擬求位移的方向上虛設(shè)單位荷載，利用平衡條件求支反力，利用虛力原理列出虛功方程進(jìn)行求解。由于在所求位移處設(shè)置單位荷載，這種解法又稱為單位荷載法。如圖所示的靜定粱，支座A向上移動(dòng)了一個(gè)已知距離c1,現(xiàn)在求B處的位移Δ。abABCP=1ABCab4支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)中支座移動(dòng)并不引起內(nèi)力及應(yīng)變，其位移計(jì)算屬剛體體系的位移計(jì)算問(wèn)題，可用剛體體系的虛功原理求解。單位位移法：虛設(shè)擬求力的對(duì)偶位移，如單位線位移、單位轉(zhuǎn)角位移單位荷載法：虛設(shè)擬求位移的對(duì)偶荷載，如單位豎向荷載、單位力偶荷載（1）C點(diǎn)的豎向位移（2）桿CD的轉(zhuǎn)角ABCDABCD1ABCD1例：已知位移cA求:

所得正號(hào)表明位移方向與假設(shè)的單位力方向一致。求解步驟（1）沿所求位移方向加單位荷載，求出虛支反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虛功方程例題三鉸剛架，支座B發(fā)生如圖所示的位移:a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角A。解：在要求位移方向上加單位力（圖2），求出支座反力后依求位移公式計(jì)算位移：（圖1）（圖2）§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般屬于變形體體系的位移計(jì)算問(wèn)題，仍采用虛功法。推導(dǎo)位移計(jì)算公式的兩種途徑{由變形體虛功原理來(lái)推導(dǎo)；由剛體虛功原理來(lái)推導(dǎo)－局部到整體。1局部變形時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算舉例設(shè)靜定結(jié)構(gòu)的某微段出現(xiàn)局部變形，微段兩端截面發(fā)生相對(duì)位移，其余部分仍為剛體。BABA

例1、圖示懸臂梁在B處兩個(gè)相鄰截面產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角d，試求A點(diǎn)在i－i方向的位移。鉸B實(shí)際位移狀態(tài)剛體體系位移狀態(tài)§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式1AB虛功方程：由虛設(shè)單位力1，得：BABA1A例2、圖示懸臂梁在B處兩個(gè)相鄰截面產(chǎn)生相對(duì)剪位移d，試求A點(diǎn)在i－i方向的位移△Q

。定向支座

例3、圖示懸臂梁在B截面產(chǎn)生軸向位移d，試求A點(diǎn)在ｉ－ｉ方向的位移BABABA1由平衡條件：虛功方程：

當(dāng)截面B同時(shí)產(chǎn)生三種相對(duì)位移時(shí)，在i－i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式2局部變形時(shí)的位移計(jì)算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種變形：在剛性桿中，取微段ds為變形體，分析局部變形所引起的位移?！?-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式（2）微段兩端相對(duì)位移：BRds1續(xù)基本思路：

設(shè)ds→0

，將微段變形集中化，以截面B左右兩端的相對(duì)位移的形式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應(yīng)用剛體虛功原理求位移d－即前例的結(jié)論。或B§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式由疊加原理，一根桿件各個(gè)微段變形引起的位移總和：如果結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件組成，則整個(gè)結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式對(duì)桿長(zhǎng)積分對(duì)各桿求和力的疊加原理變形的疊加原理

？←內(nèi)虛功Wi適用范圍與特點(diǎn)：2）形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類：各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理?！?-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式4位移計(jì)算的一般步驟:K1實(shí)際變形狀態(tài)虛力狀態(tài)(1)建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位荷載；(2)求虛力狀態(tài)下的內(nèi)力及支反力;(3)用位移公式計(jì)算所求位移，注意正負(fù)號(hào)問(wèn)題?！?-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式5廣義位移的計(jì)算擬求位移△可引申為廣義位移，線位移、角位移及相對(duì)位移。與廣義位移相共軛的為廣義單位荷載F。（課本表5-1示例）廣義荷載和廣義位移互為共軛指廣義荷載在廣義位移上所作的功：

W=F

△§5-3荷載作用下的位移計(jì)算研究對(duì)象：靜定結(jié)構(gòu)、彈性材料。重點(diǎn)在于解決由荷載引起的應(yīng)變的表達(dá)式,計(jì)算順序?yàn)楹奢d內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變1計(jì)算步驟（1）根據(jù)荷載P計(jì)算各截面的（2）由上面的內(nèi)力計(jì)算應(yīng)變，其表達(dá)式由材料力學(xué)知k--為截面形狀系數(shù)1.2(3)荷載作用下的位移計(jì)算公式§5-3荷載作用下的位移計(jì)算內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定：軸力——拉力為正剪力——微段順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)為正彎矩——乘積的正負(fù)號(hào)。使桿件同側(cè)受拉乘積為正2各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式（1）梁與剛架（2）桁架（3）拱§5-3荷載作用下的位移計(jì)算§5-3荷載作用下的位移計(jì)算3截面平均切應(yīng)變和系數(shù)剪切變形虛功課本p138§5-3荷載作用下的位移計(jì)算舉例1.梁的位移計(jì)算試計(jì)算懸臂梁A點(diǎn)的豎向位移△，并比較彎曲變形與剪切變形對(duì)位移的影響qACB(a)實(shí)際狀態(tài)P=1ACB(b)虛設(shè)狀態(tài)AC段CB段1）列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程：AB段§5-3荷載作用下的位移計(jì)算舉例2)將上面各式代入位移公式分段積分計(jì)算AC段在荷載作用下的內(nèi)力均為零，故積分也為零。CB段設(shè)梁為矩形截面k=1.2§5-3荷載作用下的位移計(jì)算舉例3）討論比較剪切變形與彎曲變形對(duì)位移的影響。設(shè)材料的泊松比,由材料力學(xué)公式。設(shè)矩形截面的寬度為b、高度為h，則有代入上式2.

桁架的位移計(jì)算§5-3荷載作用下的位移計(jì)算舉例PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P0.25l0.25l0.222l0.278lADCEFGB1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料桿件lA鋼筋砼鋼筋CEAEEGABCDEF