第3章 位姿描述和齊次變換

第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示第2節(jié)坐標變換第3節(jié)齊次坐標變換第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式

第三章

位姿描述和齊次變換機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示第2節(jié)坐標變換第3節(jié)齊次坐標變換第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式

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位姿描述和齊次變換機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示ZXYzxyOo需要推導(dǎo)坐標系o-xyz在坐標系O-XYZ中如何表示！3機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示為描述機器人各個連桿之間、機器人和環(huán)境之間的運動關(guān)系，通常將它們都當(dāng)成剛體，研究各個剛體之間的關(guān)系。因此構(gòu)件的空間位置和姿態(tài)可用其上任一點在空間的位置和與構(gòu)件固接的坐標系相對于參考坐標系的方位來描述。XAZAYAXBYBZBPOA固接在構(gòu)件上的動坐標系{B}參考坐標系{A}AP4機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示位置描述（DescriptionofPosition）圖1位置表示Ap：p點在坐標系{A}中的表示，也稱作位置矢量。5機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示姿態(tài)描述（DescriptionofOrientation）圖2方位表示：坐標系{B}相對于坐標系{A}的方位，也稱作旋轉(zhuǎn)矩陣。6機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示姿態(tài)描述（DescriptionofOrientation）圖2方位表示旋轉(zhuǎn)矩陣是單位正交矩陣。7機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示姿態(tài)描述（DescriptionofOrientation）繞x軸、y軸和z軸旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣為：圖3繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角

表示

；

表示8機器人研究所9坐標系描述（DescriptionofFrames）

相對參考系{A}，坐標系{B}的原點位置和坐標軸的方位，分別由位置矢量(PositionVector)和旋轉(zhuǎn)矩陣(RotationMatrix)描述。這樣，剛體的位姿（位置和姿態(tài)）可由坐標系{B}來描述，即第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示9機器人研究所10機器人手抓坐標系描述與機器人手爪固接的坐標系叫手爪坐標系。原點：機器人手爪指尖中點，由位置矢量P表示；Z軸：設(shè)在手指接近物體的方向，稱接近矢量a(approach)；Y軸：設(shè)在兩手指的聯(lián)線方向，稱方位矢量o(orientation)；X軸：由右手法則確定：n＝oⅹa，稱為法向矢量n(normal)。第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示a(zB)o(yB)n(xB)10機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示第2節(jié)坐標變換第3節(jié)齊次坐標變換第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式

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位姿描述和齊次變換機器人研究所第2節(jié)坐標變換平移坐標變換(TranslationTransform)坐標系{B}與{A}方向相同，但原點不重合。圖4平移變換此式稱為平移方程。其中是{B}系原點OB在{A}系中的表示。P12機器人研究所第2節(jié)坐標變換旋轉(zhuǎn)坐標變換(RotationTransform){B}與{A}有共同的坐標原點，但方位不同。圖5旋轉(zhuǎn)變換P13機器人研究所第2節(jié)坐標變換復(fù)合變換(CompositeTransform)圖6復(fù)合變換P14機器人研究所例2.1已知坐標系{B}的初始位姿與{A}重合，首先{B}相對于坐標系{A}的zA軸轉(zhuǎn)30°，再沿{A}的xA軸移動12單位，并沿{A}的yA軸移動6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點p在坐標系{B}的描述為Bp=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述Ap。15解：yAoA{A}yBzBxB30°xAzA第2節(jié)坐標變換15機器人研究所例2.1已知坐標系{B}的初始位姿與{A}重合，首先{B}相對于坐標系{A}的zA軸轉(zhuǎn)30°，再沿{A}的xA軸移動12單位，并沿{A}的yA軸移動6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點p在坐標系{B}的描述為Bp=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述Ap。16解：yAoA{A}30°xAzA12yBzBxB第2節(jié)坐標變換16機器人研究所例2.1已知坐標系{B}的初始位姿與{A}重合，首先{B}相對于坐標系{A}的zA軸轉(zhuǎn)30°，再沿{A}的xA軸移動12單位，并沿{A}的yA軸移動6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點p在坐標系{B}的描述為Bp=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述Ap。17解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB6第2節(jié)坐標變換17機器人研究所例2.1已知坐標系{B}的初始位姿與{A}重合，首先{B}相對于坐標系{A}的zA軸轉(zhuǎn)30°，再沿{A}的xA軸移動12單位，并沿{A}的yA軸移動6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點p在坐標系{B}的描述為Bp=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述Ap。18解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB6第2節(jié)坐標變換18機器人研究所例2.1已知坐標系{B}的初始位姿與{A}重合，首先{B}相對于坐標系{A}的zA軸轉(zhuǎn)30°，再沿{A}的xA軸移動12單位，并沿{A}的yA軸移動6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點p在坐標系{B}的描述為Bp=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述Ap。19解：yAoA{A}xAzA12yBzBxB6第2節(jié)坐標變換19機器人研究所P20解：例2.1已知坐標系{B}的初始位姿與{A}重合，首先{B}相對于坐標系{A}的zA軸轉(zhuǎn)30°，再沿{A}的xA軸移動12單位，并沿{A}的yA軸移動6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點p在坐標系{B}的描述為Bp=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述Ap。yAxAzAoA{A}oB{B}ApBoBpApBxBzBy第2節(jié)坐標變換20機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示第2節(jié)坐標變換第3節(jié)齊次坐標變換第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式

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位姿描述和齊次變換機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換齊次坐標和齊次變換坐標變換，式中對于點是非齊次的，將其等價為齊次變換形式：等價于齊次變換直角坐標齊次坐標22機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換齊次坐標和齊次變換稱為齊次變換矩陣，對它有以下物理理解：描述坐標系{B}相對于坐標系{A}的位姿；代表同一點P在兩個坐標系{A}和{B}中描述之間的映射關(guān)系；表示同一坐標系中，點P運動前后的位姿關(guān)系。23機器人研究所例2.1已知坐標系{B}的初始位姿與{A}重合，首先{B}相對于坐標系{A}的zA軸轉(zhuǎn)30°，再沿{A}的xA軸移動12單位，并沿{A}的yA軸移動6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點p在坐標系{B}的描述為Bp=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述Ap。24第3節(jié)齊次坐標變換解：24機器人研究所例2.1已知坐標系{B}的初始位姿與{A}重合，首先{B}相對于坐標系{A}的zA軸轉(zhuǎn)30°，再沿{A}的xA軸移動12單位，并沿{A}的yA軸移動6單位。求位置矢量ApB0和旋轉(zhuǎn)矩陣。假設(shè)點p在坐標系{B}的描述為Bp=[3,7,0]T，求它在坐標系{A}中的描述Ap。25第3節(jié)齊次坐標變換解：25機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換例2.2齊次變換矩陣描述坐標系{B}相對于{A}的位姿，可解釋為：{B}坐標原點相對于{A}的位置：[1,-3,4,1]T;{B}坐標原點相對于{A}的方向分別為：{B}的X軸與{A}的Y軸同向[0,1,0,0]T;{B}的Y軸與{A}的Z軸同向[0,0,1,0]T;{B}的Z軸與{A}的X軸同向[1,0,0,0]T.26機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換平移齊次變換(HomogeneousTransformationofTranslation){A}分別沿{B}的X、Y、Z坐標軸平移a、b、c距離的平移齊次變換矩陣寫為：27機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換平移齊次變換(HomogeneousTransformationofTranslation)對已知矢量u=[x,y,z,1]T進行平移變換所得的矢量v為：28機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換旋轉(zhuǎn)齊次變換(HomogeneousTransformationofRotation)29機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換多次變換給定坐標系{A}，{B}和{C}，已知{B}相對{A}的描述為，{C}相對{B}的描述為，則有同理可有：即一個坐標系變換至另一坐標系的齊次變換矩陣等于依次經(jīng)歷中間坐標系各齊次變換矩陣的連乘積。30機器人研究所31例2.3已知點u=[7,3,2]T

，將u繞z

軸旋轉(zhuǎn)90°得到點v，再將點v繞y軸旋轉(zhuǎn)90°得到點w，求點v、w的坐標。解：第3節(jié)齊次坐標變換旋轉(zhuǎn)變換31機器人研究所32例2.3已知點u=[7,3,2]T

，將u繞z

軸旋轉(zhuǎn)90°得到點v，再將點v繞y軸旋轉(zhuǎn)90°得到點w，求點v、w的坐標。解：如果把上述兩變換組合在一起第3節(jié)齊次坐標變換旋轉(zhuǎn)變換32機器人研究所若改變旋轉(zhuǎn)次序，首先使u繞y軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞z軸旋轉(zhuǎn)90°，會使u變換至與w不同的位置w1。第3節(jié)齊次坐標變換旋轉(zhuǎn)次序?qū)Y(jié)果的影響33機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換例2.4已知點u=[7,3,2]T，將u繞z軸旋轉(zhuǎn)90°得到點v，再將點v繞y軸旋轉(zhuǎn)90°得到點w，最后進行平移變換[4,-3,7]T，求最終的坐標。解：將上述三個變換組合在一起平移變換和旋轉(zhuǎn)變換組合v?w?u????nzoyx34機器人研究所第3節(jié)齊次坐標變換例2.4已知點u=[7,3,2]T，將u繞z軸旋轉(zhuǎn)90°得到點v，再將點v繞y軸旋轉(zhuǎn)90°得到點w，最后進行平移變換[4,-3,7]T，求最終的坐標。解：將上述三個變換組合在一起平移變換和旋轉(zhuǎn)變換組合zoyxv?w?u????n35機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示第2節(jié)坐標變換第3節(jié)齊次坐標變換第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式

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位姿描述和齊次變換機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)1、變換過程的相對性繞固定坐標系依次進行的坐標系轉(zhuǎn)換，各齊次變換矩陣按“從右向左”依次相乘原則進行運算（右乘）.321

坐標系的運動方式：{B}的初始方位與坐標系{A}重合，首先使{B}繞xA旋轉(zhuǎn)角，再繞yA轉(zhuǎn)角，最后繞zA轉(zhuǎn)角。37機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)1、變換過程的相對性繞動坐標系依次進行的齊次變換，按“從左向右”的原則依次相乘(左乘）。

坐標系的運動方式：{B}的初始方位與坐標系{A}重合，首先使{B}繞zB旋轉(zhuǎn)角，再繞yB轉(zhuǎn)角，最后繞xB轉(zhuǎn)角。38機器人研究所相對于固定坐標系運動相對于活動坐標系運動第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)1、變換過程的相對性結(jié)論：1）變換順序從右至左，運動是相對于固定參考系而言的；2）變換順序從左至右，運動是相對于運動坐標系而言的。39機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)2、變換過程的可逆性齊次變換過程是可逆的，逆變換就是使被變換的動坐標系返回到固定坐標系中。例如：40機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)從逆方向去看圖，固定系的x軸與動系的z軸方向一致，故x軸在動系中可表示為[0,0,1,0]T，同樣固定系的y軸可表示為[1,0,0,0]T，z軸可表示為[0,1,0,0]T，而固定系的原點可表示為[3,-7,-4,1]T。2、變換過程的可逆性T表示{B}與{A}之間的變換，也即{B}在{A}中的描述；下面從另一角度分析一下{A}在{B}中的描述。41機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)2、變換過程的可逆性于是，{A}在{B}系中的描述為：兩者互為逆矩陣42機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)2、變換過程的可逆性求逆矩陣的方法：已知，求由旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性：43機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)2、變換過程的可逆性求逆矩陣的方法已知變換矩陣為:其逆變換矩陣為：44機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)2、變換過程的可逆性向量的點乘與叉乘若向量a和b為：則45機器人研究所第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)2、變換過程的可逆性例題：已知齊次矩陣為：求A-1解：-P·n=-0×1-0×2-(-1)×3=3-P·o=-0×1-1×2-0×3=-2-P·a=-1×1-0×2-0×3=-1則有46機器人研究所第1節(jié)位置和姿態(tài)的表示第2節(jié)坐標變換第3節(jié)齊次坐標變換第4節(jié)齊次變換的性質(zhì)第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式

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位姿描述和齊次變換機器人研究所第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式1、旋轉(zhuǎn)變換通式一般旋轉(zhuǎn)變換指旋轉(zhuǎn)軸線不與參考坐標系中的任何軸線重合，而是參考系中過原點的某一矢量，該矢量的方向用單位矢量表示。令是過{A}系原點的單位矢量，求繞K旋轉(zhuǎn)θ角到{B}系的旋轉(zhuǎn)矩陣R(K,θ)，即48機器人研究所第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式1、旋轉(zhuǎn)變換通式設(shè)K是某坐標系{C}的Z軸的單位向量，并設(shè)：這樣，繞矢量K旋轉(zhuǎn)就等于繞坐標系{C}的Z軸旋轉(zhuǎn)，即

Rot(K,θ)=Rot(ZC,θ)

49機器人研究所第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式1、旋轉(zhuǎn)變換通式在動坐標系{B}上取一點P，它繞參考坐標系{A}中K旋轉(zhuǎn)θ角1）將{B}上的P點坐標變換到{A}中，其坐標為：2）直接計算繞K旋轉(zhuǎn)的坐標為：目前上式無法直接求解，采用如下步驟：50機器人研究所第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式1、旋轉(zhuǎn)變換通式3）建立輔助坐標系{C}，使其Z軸與K重合。這樣問題變?yōu)槔@ZC軸旋轉(zhuǎn)。將{B}中的點P變換到{C}中，變換為：4）在{C}中繞ZC軸旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后P點在坐標系{C}中的表示：51機器人研究所第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式1、旋轉(zhuǎn)變換通式5）將{C}中P點坐標變回到{A}中，有：步驟2）和5）中的結(jié)果應(yīng)該相同，變換前52機器人研究所第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式1、旋轉(zhuǎn)變換通式由于{C}的Z軸與K重合，所以53機器人研究所第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式1、旋轉(zhuǎn)變換通式根據(jù)坐標軸的正交性，有：方向余弦的平方和為154機器人研究所第5節(jié)旋轉(zhuǎn)變換通式1、旋轉(zhuǎn)變換通式當(dāng)kx=1,ky=kz=0時，即K為x軸，此時其中：55機器人