第5講逆運(yùn)動(dòng)學(xué)與速度雅可比

第五講機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)及速度分析5.1工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡介運(yùn)動(dòng)方程末端執(zhí)行器(對(duì)多數(shù)機(jī)器人常表現(xiàn)為夾持型工具)上的坐標(biāo)系(也稱標(biāo)架)相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位姿矩陣Te0，就是操作機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程。正解已知各桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)和關(guān)節(jié)變量，求末端執(zhí)行器的空間位置和姿態(tài)，稱作機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正問題；對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，取d為關(guān)節(jié)變量。逆解已知作業(yè)要求時(shí)，末端執(zhí)行器的空間位置和姿態(tài)以及各桿的結(jié)構(gòu)求關(guān)節(jié)變量

5.1.1工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡介這兩個(gè)問題，是機(jī)器人應(yīng)用中極為重要的問題，是對(duì)機(jī)器人進(jìn)行位置控制的關(guān)鍵。由于末端執(zhí)行器類型復(fù)雜，為了便于研究，下面以末桿的位姿矩陣T0n取代T0e作為研究對(duì)象。5.1.2反向運(yùn)動(dòng)學(xué)及實(shí)例位姿逆解法可分為3類：代數(shù)法幾何法數(shù)值解法。方法步驟若已知末桿某一特定的位姿矩陣T06：用qi代替θi或di表示關(guān)節(jié)變量(qi稱作廣義關(guān)節(jié)變量)一般的遞推解題步驟如下：例：已知T06，求例PUMA560的位姿逆解。即：已知以及A1，A2，A3，A4，A5，A6求：

θ1，θ2，…θ6（代數(shù)法）開鏈操作機(jī)位姿逆解實(shí)例解：1）求θ1

2）求θ33）求θ2求逆小結(jié)求逆解：1)

方法：等號(hào)兩端的矩陣中對(duì)應(yīng)元素相等；2)

步驟：利用矩陣方程進(jìn)行遞推，每遞推一次可解一個(gè)或多于一個(gè)的變量公式；3)

技巧：利用三角方程進(jìn)行置換關(guān)于關(guān)節(jié)角(θ)的多解(多值)問題代數(shù)法和幾何法進(jìn)行位姿逆解時(shí)，關(guān)節(jié)角的解都是多解(多值的)的。如用幾何法，這種多值可以方便地由解圖直接判定。為達(dá)到目標(biāo)點(diǎn)，操作機(jī)的上臂(桿2)和下臂(桿3)可有兩種位形關(guān)系。對(duì)于下臂，可在基座右面，轉(zhuǎn)到基座的左面。這樣，到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，就可有4種不同的位形。

關(guān)于關(guān)節(jié)角(θ)的多解(多值)問題5.2工業(yè)機(jī)器人速度分析

1.工業(yè)機(jī)器人速度雅可比矩陣數(shù)學(xué)上,雅可比矩陣(JacobianMatrix)是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣。假設(shè)有六個(gè)函數(shù),每個(gè)函數(shù)有六個(gè)變量,即(3.36)可寫成

Y=F(X)

將其微分,得

(3.37)可簡寫成

式中,(6×6)矩陣稱為雅可比矩陣。

對(duì)于工業(yè)機(jī)器人速度分析和靜力分析中遇到類似的矩陣,我們稱為機(jī)器人的雅可比矩陣,簡稱雅可比。

以二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)器人為例,如圖3.14所示,機(jī)器人的手部坐標(biāo)(x,y)相對(duì)于關(guān)節(jié)變量(θ1,θ2)有即

求微分有

寫成矩陣為

令

則式(3.41)可簡寫為

dX=Jdθ

其中,由此可求得

對(duì)于n自由度機(jī)器人,關(guān)節(jié)變量q=［q1q2…qn］T,當(dāng)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí),qi=θi;當(dāng)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí),qi=di,則dq=dq1dq2…dqn］T反映關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。由X=X(q)可知,dX=J(q)dq

其中J(q)是(6×n)的偏導(dǎo)數(shù)矩陣.(X=[x,y,z,φx,φy,φz]T

dX=[dx,dy,dz,δφx,δφy,δφz]T),稱為n自由度機(jī)器人速度雅可比矩陣。

3轉(zhuǎn)角表示的姿態(tài)矩陣用連桿坐標(biāo)系之間的變換矩陣A確定的T6建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的方法.其中n,o,a共9個(gè)元素表示手部姿態(tài).實(shí)際只有三個(gè)獨(dú)立的.這種方法對(duì)坐標(biāo)變換運(yùn)算十分方便,但利用它做手部姿態(tài)描述不方便.如何用3個(gè)獨(dú)立參數(shù)描述姿態(tài)?這3個(gè)獨(dú)立變量可以取作繞3個(gè)軸的轉(zhuǎn)角。機(jī)器人手部位姿的六維列矢量表示:X=[x,y,z,φx,φy,φz]Tφ——滾轉(zhuǎn)角(roll)；θ——俯仰角(pith)；ψ——偏擺角(yaw)

用繞基礎(chǔ)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角為參數(shù)的導(dǎo)航角表示法

x-y-zRPY用繞基礎(chǔ)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角為參數(shù)的導(dǎo)航角表示法

x-y-zRPY用繞動(dòng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)角為參數(shù)的歐拉角表示法

z-y-x歐拉角設(shè)定法用繞動(dòng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)角為參數(shù)的歐拉角表示法三次旋轉(zhuǎn)變換后的得到的姿態(tài)矩陣如何？2.工業(yè)機(jī)器人速度分析把式(3.44)兩邊各除以dt,得

(3.45)或

V=J(q)q

(3.46)其中:V——機(jī)器人末端在操作空間中的廣義速度,V=X;J(q)——速度雅可比矩陣;q——機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度。

若把J(q)矩陣的第1列與第2列矢量記為J1、J2,則有V=J1θ1+J2θ2,說明機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。二自由度手部速度為(3.47)若已知關(guān)節(jié)上θ1與θ2是時(shí)間的函數(shù),θ1=f1(t),θ2=f2(t),則可求出該機(jī)器人手部在某一時(shí)刻的速度V=f(t),即手部瞬時(shí)速度。反之,給定機(jī)器人手部速度,可由V=J(q)q解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度,q=J-1V,式中J-1為機(jī)器人逆速度雅可比矩陣。......逆速度雅可比J-1出現(xiàn)奇異解的情況如下:①工作域邊界上的奇異:機(jī)器人手臂全部伸開