第3節(jié)半群與幺半群的同態(tài)與同構(gòu)

第3節(jié)半群與幺半群的同態(tài)與同構(gòu)主要內(nèi)容:代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)半群的同態(tài)與同構(gòu)幺半群的同態(tài)與同構(gòu)1代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)定義1

設(shè)(A,°)和(B,)是兩個代數(shù)系統(tǒng)，如果存在映射f:AB，且x,yA

有

f(x°y)=f(x)f(y),則稱f是A到B的同態(tài)映射(簡稱同態(tài))，稱(A,°)與(B,)同態(tài)(有時簡稱A與B同態(tài)).f(A)稱為同態(tài)象.2代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)同態(tài)分類：(1)

如果f是單射，則稱為單同態(tài).(2)如果f是滿射，則稱為滿同態(tài)，這時稱B是A的同態(tài)像，記作AB.(3)如果f是雙射，則稱為同構(gòu)，也稱代數(shù)系統(tǒng)A同構(gòu)于B，記作AB.(4)如果A=B，則稱作自同態(tài).3實例(1)設(shè)(Z,+),(Zn,)．其中Z為整數(shù)集，+為普通加法；Zn={[0],[1],…,[n1]}，為模n加.令

f:Z→Zn，f(x)=[x]

則f是Z到Zn的滿同態(tài)．(2)設(shè)(R,+),(R*,·)，其中R和R*分別為實數(shù)集與非零實數(shù)集，+和·分別表示普通加法與乘法．令f:R→R*，f(x)=ex則f是R到R*的單同態(tài).4實例(3)設(shè)(Z,+)，其中Z為整數(shù)集，+為普通加法.aZ，令fa:ZZ，fa(x)=ax，那么fa

是Z的自同態(tài).當(dāng)a=0時稱f0為零同態(tài)；當(dāng)a=1時，稱fa為自同構(gòu)；除此之外其他的fa都是單自同態(tài).

5滿同態(tài)映射保持運算的規(guī)律定理1設(shè)V1,V2是代數(shù)系統(tǒng).o,?是V1上的二元運算，o’,?’是V2上的二元運算.如果f：V1V2是滿同態(tài)，則(1)若運算o滿足交換律(結(jié)合律)，則運算o’也滿足交換律(結(jié)合律).(2)若運算o對運算?滿足分配律，則運算o’對運算?’也滿足分配律.6滿同態(tài)映射保持運算的特異元素定理2

設(shè)V1,V2是代數(shù)系統(tǒng).o,?是V1上的二元運算，o’,?’是V2上的二元運算.如果f：V1V2是滿同態(tài)，則(1)若e為運算o的單位元，則f(e)為運算o’的單位元.(2)若為運算o的零元，則f()為運算o’的零元.(3)設(shè)uV1，若u1是

u

關(guān)于運算o的逆元，則f(u1)是

f(u)關(guān)于運算o’的逆元，即[f(u)]-1=f(u1).7定義2

設(shè)(A,°)和(B,)是兩個半群，如果存在f:AB，對x,yA

有

f(x°y)=f(x)f(y),則稱(A,°)與(B,)同態(tài)，f稱為

A到B的一個同態(tài)映射(簡稱同態(tài))，f(A)稱為同態(tài)象.半群的同構(gòu)與同態(tài)8同態(tài)分類：半群的同構(gòu)與同態(tài)如果同態(tài)f是單射，則稱f是A到B的一個單同態(tài)(映射)，而稱半群A

與B單同態(tài).如果同態(tài)f是滿射，則稱f是A到B的一個滿同態(tài)(映射)，而稱半群A與B

滿同態(tài)，并記為A

~B.如果同態(tài)f是雙射，則稱f是A到B的一個同構(gòu)(映射)，而稱半群A與B

同構(gòu)，并記為A

B.如果同態(tài)f是雙射，且A=B，則稱f是A的一個自同構(gòu)(映射)，而稱半群A自同構(gòu).9(1)設(shè)(Z,+),(Zn,)．其中Z為整數(shù)集，+為普通加法；Zn={[0],[1],…,[n1]}，為模n加.令

f:Z→Zn，f(x)=[x]那么f是Z到Zn的滿同態(tài)．(3)設(shè)(Z,+)，其中Z為整數(shù)集，+為普通加法.aZ，令fa:ZZ，fa(x)=ax，那么fa

是Z的自同態(tài).當(dāng)a=0時稱f0為零同態(tài)；當(dāng)a=1時，稱fa為自同構(gòu)；除此之外其他的fa都是單自同態(tài).(2)設(shè)(R,+),(R*,·)，其中R和R*分別為實數(shù)集與非零實數(shù)集，+和·分別表示普通加法與乘法．令f:R→R*，f(x)=ex則f是R到R*的單同態(tài).實例10定理4

設(shè)(A,°)是一個半群，(B,)是一個代數(shù)系。如果存在一個從A到B的滿射f，使得x,yA有

f(x°y)=f(x)

f(y),則(B,)是一個半群.定理3(半群的Cayley定理)

任意一個半群都同構(gòu)于某個變換半群。(成立嗎?)定理5

設(shè)f是半群(S1,°)到半群(S2,)的同態(tài)，g是半群(S2,)到半群(S3,)的同態(tài)，則f與g的合成gf是(S1,°)到(S3,)的同態(tài).半群的同構(gòu)與同態(tài)11設(shè)(A,°)和(B,)是兩個半群，f是A到B的同態(tài).則可由f確定A上的一個等價關(guān)系Ef：x,yA

xEfy(或(x,y)Ef)f(x)=f(y)下面利用A上的運算“°”定義A/Ef上的一個代數(shù)運算“?”：[x],[y]A/Ef

，[x]?[y]=[x°y]為了證明“?”是二元代數(shù)運算，有兩種途徑：(1)證明a[x],b[y]，總有[a°b]=[x°y]，即[x]?[y]與[x],[y]的表示方式無關(guān)(實質(zhì)上就是證明映射的“單值性”).(2)證明Ef是同余關(guān)系(隨后給出定義及結(jié)論).12同余關(guān)系定義3

設(shè)是代數(shù)系(A,°)上的等價關(guān)系.a,b,c,dA，如果ab，cd，則必有a°cb°d，那么稱是A上的同余關(guān)系.[說明]簡單的說，同余關(guān)系就是可乘的等價關(guān)系.定理6

設(shè)是代數(shù)系(A,°)上的等價關(guān)系.定義：[x],[y]A/

，[x]?[y]=[x°y]，則“?”是二元代數(shù)運算是A上的同余關(guān)系.13商半群定義4設(shè)(A,°)和(B,)是兩個半群，f是A到B的同態(tài).

半群(A/Ef

,?)稱為商半群.定義5令γ:AA/Ef

，aA，γ(a)=[a]，則稱γ為A到商半群A/Ef的自然同態(tài).14定義6設(shè)(M1,°,e1)和(M2,,e2)是兩個幺半群，如果存在f:M1M2

，對x,yM1有

f(e1)=e2，f(x°y)=f(x)f(y)，則稱(M1,°,e1)與(M2,,e2)是同態(tài)，f稱為M1到M2的一個同態(tài)映射(簡稱同態(tài))，f(M1)稱為同態(tài)象.[注意](1)同態(tài)分類：同半群同態(tài).(2)兩個幺半群((M1,°,e1)和(M2,,e2))同構(gòu)定義中的條件f(e1)=e2

可以去掉，因為它可以從f(x°y)=f(x)f(y)推出.幺半群的同構(gòu)與同態(tài)15定理7(幺半群的Cayley定理)

任意一個幺半群都同構(gòu)于某個變換幺半群。定理8

設(shè)(A,°,e)是一個幺半群，(B,)是一個代數(shù)系。如果存在一個從A到B的滿射f，使得x,yA有

f(x°y)=f(x)

f(y),則f(e)是(B,)的單位元，從而(B,)是一個幺半群.幺半群的同構(gòu)與同態(tài)16定理9

設(shè)(M1,°,e1)和(M2,,e2)是兩個幺半群。如果有從M1到M2的同態(tài)f

，則M1

的可逆元素x的象f(x)也可逆且

f(x-1)=[f(x)]-1.定理10

設(shè)f是幺半群(M1,°,e1)到幺半群(M2,,e2)的同態(tài)，g是幺半群(M2,,e2)到幺半群(M3,,e3)的同態(tài)，則f與g的合成gf是(M1,°,e1)到(M3,,e3)的同態(tài).幺半群的同構(gòu)與同態(tài)17定理11(幺半群的同態(tài)基本定理)設(shè)f是幺半群(M1,°,e1)到幺半群(M2,,e2)的同態(tài)，則(1)同態(tài)象f(M1)是M2的一個子幺半群；(2)由f確定的等價關(guān)系Ef是同余關(guān)系，于是

(M1/Ef,?,[e1])是幺半群；(3)存在唯一的M1/Ef到M2的單同態(tài)β使f=βγ，

其中γ為M1到M1/Ef的自然同態(tài).(4)如果f是滿同態(tài)，則M1/Ef

M2.幺半群的同態(tài)基本定理18練習(xí)設(shè)G為非0實數(shù)集R*關(guān)于普通乘法構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)，判斷下述函數(shù)是否為G的自同態(tài)？如果不是，說明理由.如果是，判別它們是否為單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu).