第三章復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和羅朗級(jí)數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類

復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和羅朗級(jí)數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(P35)第三章2/1/20231第三章基本內(nèi)容：函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念、冪級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)、羅朗級(jí)數(shù)、孤立奇點(diǎn)分類基本運(yùn)算：將給定函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)級(jí)數(shù)理論是分析復(fù)變函數(shù)的有力工具，它不但在理論上有意義，而且有很重要的實(shí)用價(jià)值，故本章也是復(fù)變函數(shù)論的重要內(nèi)容之一簡介2/1/20232第三章1復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念

2復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)

3絕對(duì)收斂性的判別法

§3.1復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)和解析函數(shù)級(jí)數(shù)2/1/20233第三章1復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念

，前n項(xiàng)和

在某點(diǎn)z存在，則稱（3.1）在z點(diǎn)收斂，該極限稱為級(jí)數(shù)在z點(diǎn)的和，否則稱為在z點(diǎn)發(fā)散.

其中（3.1）（3.2）若級(jí)數(shù)2/1/20234第三章

復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件（3.3）2/1/20235第三章任意給定一個(gè)小的正數(shù)

>0，總存在充分大的正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)對(duì)于任何自然數(shù)P，恒有柯西判據(jù)：收斂的充要條件絕對(duì)收斂：

若在z點(diǎn)收斂，則

在該點(diǎn)絕對(duì)收斂

一致收斂：設(shè)(k=1,2,…)定義在域D(或曲線l)上,若對(duì)任意給定

>0存在與z無關(guān)的正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),對(duì)任何自然數(shù)P,(3.4)恒成立，稱級(jí)數(shù)（3.1）在D(或l)上一致收斂2/1/20236第三章定理一：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，一定是收斂級(jí)數(shù)

定理二：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積也是絕對(duì)收斂的，乘積的和等于和的乘積(且與排列次序無關(guān))定理三：

在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且

在D內(nèi)一致收斂級(jí)數(shù)和在D內(nèi)也是連續(xù)的.2復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)2/1/20237第三章定理四：若在曲線l上連續(xù)，且

則級(jí)數(shù)和S(z)在l上也是連續(xù)的，且可在l上逐項(xiàng)積分，即在l上一致收斂，定理五：

若在區(qū)域D內(nèi)滿足實(shí)常數(shù)且收斂，則在D內(nèi)是絕對(duì)且一致收斂的.2/1/20238第三章魏爾斯特拉斯(Weierstrass)定理:若

在閉區(qū)域上是單值解析的，

在l上是一致收斂的，則(ⅰ)在上一致收斂；(ⅱ)級(jí)數(shù)和S(z)在D內(nèi)是解析的(ⅲ)在D內(nèi)有==(n=1,2,…),且該級(jí)數(shù)在D內(nèi)任何閉區(qū)域上都一致收斂.2/1/20239第三章(1)達(dá)朗貝爾(d’Alembert)判別法：如果(至少當(dāng)k充分大時(shí))(2)柯西(Cauchy)判別法如果(至少當(dāng)k充分大時(shí))3絕對(duì)收斂性的判別法2/1/202310第三章(3)高斯判別法：如果(至少當(dāng)k充分大時(shí))(其中μ是常數(shù)）

當(dāng)μ>1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而當(dāng)μ1時(shí)，

發(fā)散.各判據(jù)依次增強(qiáng)，其復(fù)雜程度依次增加.解析、絕對(duì)且一致收斂級(jí)數(shù)，可進(jìn)行四則運(yùn)算、逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)

2/1/202311第三章1冪級(jí)數(shù)的斂散性

2冪級(jí)數(shù)的收斂圓§3.2冪級(jí)數(shù)的收斂性2/1/202312第三章以b為中心的冪級(jí)數(shù)

阿貝爾(Abel)定理：若在數(shù)在圓域內(nèi)絕對(duì)收斂，而且在該圓域內(nèi)的任何閉解析).1冪級(jí)數(shù)的斂散性

收斂，則該級(jí)域上一致收斂.即在絕對(duì)且一致收斂(連續(xù)、2/1/202313第三章證明：在

收斂的必要條件

存在正數(shù)M，

使得(k=0,1,2,…),在區(qū)域

(:)上有，而幾何級(jí)數(shù)是收斂的，則由§3.1定理五

在上是絕對(duì)且一致收斂的.2/1/202314第三章推論一:若在發(fā)散，則該級(jí)數(shù)在圓

外處處發(fā)散.利用Abel定理采用反證法證明.推論二:對(duì)于冪級(jí)數(shù),必存在一個(gè)R0,使得在圓內(nèi)處處收斂，而在圓外處處發(fā)散.2/1/202315第三章收斂圓：

，R為收斂半徑，在該圓內(nèi)處處絕對(duì)且一致收斂，在圓外處處發(fā)散.定理:在收斂圓內(nèi)冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)任意次，收斂半徑不變2冪級(jí)數(shù)的收斂圓2/1/202316第三章證：每一項(xiàng)是冪函數(shù)都解析，必連續(xù)，而級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂可逐項(xiàng)積分或求導(dǎo).反證法證收斂半徑不變：類似可證收斂性的強(qiáng)弱

收斂半徑：運(yùn)用達(dá)朗貝爾或Cauchy判別法或.積分或求導(dǎo)雖不改變收斂半徑，但改變2/1/202317第三章冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)，本節(jié)討論在圓內(nèi)解析的函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的問題

1解析函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)

2多值函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)§3.3解析函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開(P40)2/1/202318第三章定理：若f(z)在1解析函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)內(nèi)是解析的，則f(z)

在該圓域內(nèi)可展開為絕對(duì)且一致收斂的冪級(jí)數(shù)

，且此展開是唯一的2/1/202319第三章證：一致收斂是指在閉域內(nèi)，故對(duì)任何

，證明級(jí)數(shù)在上是絕對(duì)收斂對(duì)如圖(

)，

應(yīng)用Cauchy公式

對(duì)于上任一點(diǎn)z,注意到

，則是絕對(duì)且一致收斂的，可逐項(xiàng)積分，代回上式，得2/1/202320第三章已證得展開式，其絕對(duì)一致收斂性和展開唯一性的論證見書P41-42

2/1/202321第三章a）按定理計(jì)算b）據(jù)展開的唯一性及冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂(且解析)的性質(zhì)，可利用

等函數(shù)的展開式，通過級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、逐項(xiàng)積分、求

導(dǎo)、函數(shù)復(fù)合或宗量代換等.1.1展開方法：、ez、sinz、cosz等初2/1/202322第三章：a）按定理R=展開中心b到與b最鄰近的奇點(diǎn)之間的距離(這是最直觀最方便的方法，實(shí)變函數(shù)的冪級(jí)數(shù)理論中無此結(jié)果)；

b）或求得展開式后，據(jù)

或求.

1.2收斂半徑2/1/202323第三章a）確定b是f(z)的解析點(diǎn)，與b最鄰近的奇點(diǎn)收斂半徑

b）按定理，或?qū)⒋归_的f(z)通過代換、四則運(yùn)算、求導(dǎo)、積分、函數(shù)復(fù)合或宗量代換等同展開式已知的、、、1.3一般步驟ez、sinz、cosz聯(lián)系起來等2/1/202324第三章[例1]證明證：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相乘引入指標(biāo)n=k+l作為新級(jí)數(shù)的編號(hào)，則2/1/202325第三章[例2]證明證：特例：z=x(實(shí)數(shù))則(尤拉公式)2/1/202326第三章2多值函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)

在黎曼面上除支點(diǎn)外，其函數(shù)值是單值確定的，所以支點(diǎn)是多值函數(shù)的奇點(diǎn).[例3]將ln(1+z)在z=0的鄰域內(nèi)展開為泰勒級(jí)數(shù)解:在黎曼面上只有支點(diǎn)性奇點(diǎn)-1和∞則2/1/202327第三章多值函數(shù)在每一葉黎曼面上是一個(gè)單值分支，上式就是第m個(gè)單值分支的展開式，m=0通常稱為主值分支.2/1/202328第三章[例4]將(m為非整數(shù))在z=0的鄰域內(nèi)展開.解:的支點(diǎn)為-1、∞.

(k=0,1,2,…)

k取不同值對(duì)應(yīng)不同的單值分支.2/1/202329第三章

3.函數(shù)(1-z)-1、ez、sinz、cosz在思考與討論題：1.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，該級(jí)數(shù)在絕對(duì)收斂，在內(nèi)上一致收斂，級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)是解析的，所以，可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分，且不改變收斂半徑；在共同收斂區(qū)域上的冪級(jí)數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算.你認(rèn)為呢？2.為什么Taylor級(jí)數(shù)的收斂半徑等于展開中心到被展開函數(shù)的最近的奇點(diǎn)的距離？4.Taylor展開的條件是什么？將函數(shù)以b為中心進(jìn)行

Taylor展開和在z=b的鄰域內(nèi)進(jìn)行Taylor展開有無區(qū)別？作業(yè)：p55：3.1(1)、(3)，3.2(1)，3.4(1)，3.5內(nèi)的Taylor展開式.2/1/202330第三章1Laurent級(jí)數(shù)

2Laurent定理

§3.4解析函數(shù)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)2/1/202331第三章負(fù)冪部分-主要部分正冪部分-解析部分在上收斂令，則負(fù)冪部分收斂上收斂若，則Laurent級(jí)數(shù)發(fā)散若，則Laurent級(jí)數(shù)在上收斂Laurent級(jí)數(shù)在2/1/202332第三章若f(z)在內(nèi)單值解析，則f(z)在該環(huán)域內(nèi)可展開為絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)，（l是環(huán)域內(nèi)繞b一周的任意閉曲線）該展開是唯一的.運(yùn)用復(fù)通域上的Cauchy公式證明，證法類似Taylor定理的證明.1)含有(z-b)的負(fù)冪項(xiàng)，但b不一定是奇點(diǎn)：Laurent定理2/1/202333第三章2)

∵l內(nèi)必有被積函數(shù)的奇點(diǎn)，故Cauchy導(dǎo)數(shù)公式不再成立.特例：R2=0時(shí)，b為奇點(diǎn)沒有導(dǎo)數(shù)；即使b為解析點(diǎn)，k取負(fù)值時(shí)的導(dǎo)數(shù)也無意義.3)環(huán)域的特例

，，4)展開方法：按定理計(jì)算回路積分求展開系數(shù)；依據(jù)Laurent級(jí)數(shù)在環(huán)域內(nèi)絕對(duì)且一致收斂性、展開的唯一性展開.2/1/202334第三章按定理展成Taylor級(jí)數(shù)與實(shí)函冪級(jí)數(shù)展開相似Laurent級(jí)數(shù)較復(fù)雜根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂域上是絕對(duì)一致收斂且解析的性質(zhì)，則可運(yùn)用、ez、sinz、cosz等的展開式和冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算、

逐項(xiàng)求導(dǎo)、

逐項(xiàng)積分、變量代換及函數(shù)的復(fù)合展開

教材中介紹的幾種展開方法的名稱只能作為參考§3.5泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)展開的

幾種常用方法(P47)2/1/202335第三章(1)利用

()[例1]在上2/1/202336第三章[例2],).(解:先部分分式i1-1xyoD12/1/202337第三章2/1/202338第三章(2)利用ez、sinz、cosz

等的展開式如(3)級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分[例3]解:原式=2/1/202339第三章↓

n=k+1

n=k+2

2/1/202340第三章(4)級(jí)數(shù)相乘或相除[例4]cotzP49運(yùn)用級(jí)數(shù)乘法或待定系數(shù)法據(jù)cotz是奇函數(shù)并可知最低冪項(xiàng)為z-1，故設(shè)代入2/1/202341第三章依次令2/1/202342第三章(5)其它展開法

例如：將最右端各項(xiàng)展開，即得的展開式.總之：就是將待展開函數(shù)通過四則運(yùn)算、積分、求導(dǎo)、宗量代換

函數(shù)復(fù)合等方式與展開式已知的函數(shù)聯(lián)系起來，再運(yùn)用級(jí)數(shù)的上述運(yùn)算將其展開.2/1/202343第三章僅討論單值函數(shù)或多值函數(shù)單值分支的奇點(diǎn).設(shè)b為f(z)的孤立奇點(diǎn)，則§3.6孤立奇點(diǎn)的分類和特性(P50)()（3.5.1）2/1/202344第三章b是f(z)的奇點(diǎn)，但展開式中無(z-b)的負(fù)冪項(xiàng)例如：z=0是的可去奇點(diǎn)但f(z)仍不能在展開成泰勒級(jí)數(shù)，∵z=b是f(z)的奇點(diǎn)，若經(jīng)過補(bǔ)充定義可去奇點(diǎn)b成為F(z)的解析點(diǎn)(1)可去奇點(diǎn)2/1/202345第三章，則b是f(z)的m階極點(diǎn)，m=1時(shí)為單極點(diǎn).，則b是f(z)極點(diǎn)，其階數(shù)m:(2)極點(diǎn)若2/1/202346第三章例如：極點(diǎn)∵又∵z=0是單極點(diǎn)，z=n(n=0,1,2…)是二階極點(diǎn).易證：的單極點(diǎn)是0和2/1/202347第三章含有(z--b)的無限多負(fù)冪項(xiàng)(有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，但無限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)就不存在極限了)不存在.如z=0是的本性奇點(diǎn)(3)本性奇點(diǎn)2/1/202348第三章(在z=∞鄰域上展開)其中正冪部分為主要部分，負(fù)冪部分為解析部分.(4)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)2/1/202349第三章例：是可去奇點(diǎn)是可去奇點(diǎn)z=∞是的本性奇點(diǎn)