江蘇2023高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與解三角形

第1講弧度制與任意角的三角函數(shù)考試要求1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度與角度的互化，A級(jí)要求；2.任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，B級(jí)要求．知識(shí)梳理1．角的概念的推廣(1)正角、負(fù)角和零角：一條射線繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作負(fù)角；如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個(gè)角，叫作零角．(2)象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，這樣，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角．終邊落在坐標(biāo)軸上的角(軸線角)不屬于任何象限．(3)終邊相同的角：與角α的終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα續(xù)表各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線診斷自測(cè)1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角．()(2)銳角是第一象限角，反之亦然．()(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是30°.()(4)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則tanα＞α＞sinα.()(5)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等．()解析(1)銳角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)第一象限角不一定是銳角．(3)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的角是負(fù)角．(5)終邊相同的角不一定相等．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．若角α與角eq\f(8π,5)的終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與角eq\f(α,4)終邊相同的角是________．解析由題意知，α＝2kπ＋eq\f(8π,5)，k∈Z，∴eq\f(α,4)＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(2π,5)，k∈Z，又eq\f(α,4)∈[0,2π]，∴k＝0，α＝eq\f(2π,5)；k＝1，α＝eq\f(9π,10)；k＝2，α＝eq\f(7π,5)；k＝3，α＝eq\f(19π,10).答案eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)3．(必修4P15習(xí)題6改編)若tanα>0，sinα<0，則α在第________象限．解析由tanα>0，得α在第一或第三象限，又sinα<0，得α在第三或第四象限或終邊在y軸的負(fù)半軸上，故α在第三象限．答案三4．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，則cosα＝________.解析∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(－4,3)，∴x＝－4，y＝3，r＝5.∴cosα＝eq\f(x,r)＝－eq\f(4,5).答案－eq\f(4,5)5．(必修4P10習(xí)題8改編)一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為________弧度．答案eq\f(π,3)考點(diǎn)一角的概念及其集合表示【例1】(1)若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角．(2)終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內(nèi)的角α的集合為________．解析(1)∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ＜eq\f(α,2)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第三象限角．(2)如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線y＝eq\r(3)x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是eq\f(π,3)，在[0,2π)內(nèi)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角有兩個(gè)：eq\f(π,3)，eq\f(4,3)π；在[－2π，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：－eq\f(2,3)π，－eq\f(5,3)π，故滿足條件的角α構(gòu)成的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).答案(1)一或三(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))規(guī)律方法(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角．(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．【訓(xùn)練1】(1)設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，則下列結(jié)論：①M(fèi)＝N；②M?N；③N?M；④M∩N＝?.其中正確的是________(填序號(hào))．(2)集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是________(填序號(hào))．解析(1)法一由于M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，顯然有M?N.法二由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N.(2)當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時(shí)α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(3π,2)，此時(shí)α表示的范圍與eq\f(5π,4)≤α≤eq\f(3π,2)表示的范圍一樣．答案(1)②(2)③考點(diǎn)二弧度制及其應(yīng)用【例2】已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積是4cm2，求扇形的圓心角；(3)若扇形周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解(1)α＝60°＝eq\f(π,3)rad，∴l(xiāng)＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).))故扇形圓心角為eq\f(1,2).(3)由已知得，l＋2R＝20.所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l＝10，α＝2.規(guī)律方法應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．【訓(xùn)練2】已知一扇形的圓心角為α(α>0)，所在圓的半徑為R.(1)若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？解(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，則α＝90°＝eq\f(π,2)，R＝10，l＝eq\f(π,2)×10＝5π(cm)，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×5π×10－eq\f(1,2)×102＝25π－50(cm2)．(2)扇形周長(zhǎng)C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)α·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))2＝eq\f(C2α,2)·eq\f(1,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16).當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時(shí)，扇形面積有最大值eq\f(C2,16).考點(diǎn)三三角函數(shù)的概念【例3】(1)(2023·揚(yáng)州一中月考)已知角α的終邊與單位圓x2＋y2＝1交于點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y0))，則cos2α＝________.(2)(2023·泰州模擬)已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為________．(3)若sinα·tanα<0，且eq\f(cosα,tanα)<0，則角α是第________象限角．解析(1)根據(jù)題意可知，cosα＝eq\f(1,2)，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\f(1,4)－1＝－eq\f(1,2).(2)∵r＝eq\r(64m2＋9)，∴cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，∴m>0，∴eq\f(4m2,64m2＋9)＝eq\f(1,25)，即m＝eq\f(1,2).(3)由sinα·tanα<0可知sinα，tanα異號(hào)，從而α為第二或第三象限的角，由eq\f(cosα,tanα)<0，可知cosα，tanα異號(hào)，從而α為第三或第四象限角．綜上，α為第三象限角．答案(1)－eq\f(1,2)(2)eq\f(1,2)(3)三規(guī)律方法(1)利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.(2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x，y的符號(hào)來確定各象限內(nèi)三角函數(shù)的符號(hào)，理解并記憶：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．(3)利用三角函數(shù)線解三角不等式時(shí)要注意邊界角的取舍，結(jié)合三角函數(shù)的周期性正確寫出角的范圍．【訓(xùn)練3】(1)(2023·無錫期末)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα＝________.(2)滿足cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合為________．解析(1)由|OP|2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，y＝±eq\f(\r(3),2).當(dāng)y＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此時(shí)，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).當(dāng)y＝－eq\f(\r(3),2)時(shí)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此時(shí)，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).(2)作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)))).答案(1)－eq\f(3,2)(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))[思想方法]1．在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)．|OP|＝r一定是正值．2．三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解決簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧．[易錯(cuò)防范]1．注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角．2．角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況．基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)1．給出下列四個(gè)命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為________．解析－eq\f(3π,4)是第三象限角，故①錯(cuò)誤.eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，從而eq\f(4π,3)是第三象限角，②正確．－400°＝－360°－40°，從而③正確．－315°＝－360°＋45°，從而④正確．答案32．已知點(diǎn)P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第________象限．解析由題意知tanα＜0，cosα＜0，∴α是第二象限角．答案二3．(2023·蘇州期末)已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，m)，且sinθ＝eq\f(3,5)，則m＝________.解析sinθ＝eq\f(m,\r(16＋m2))＝eq\f(3,5)，解得m＝3.答案34.已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為________．解析在[0,2π)內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，所以，所求角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)5．設(shè)P是角α終邊上一點(diǎn)，且|OP|＝1，若點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是________．解析由已知P(cosα，sinα)，則Q(－cosα，－sinα)．答案(－cosα，－sinα)6．已知扇形的圓心角為eq\f(π,6)，面積為eq\f(π,3)，則扇形的弧長(zhǎng)等于________．解析設(shè)扇形半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))答案eq\f(π,3)7．點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)eq\f(2π,3)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________．解析由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))8．設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是第________象限角．解析由θ是第三象限角，知eq\f(θ,2)為第二或第四象限角，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)≤0，綜上知eq\f(θ,2)為第二象限角．答案二9．若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角α∈(0，π)的弧度數(shù)為________．解析設(shè)圓半徑為r，則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為eq\r(3)r，所以eq\r(3)r＝α·r，∴α＝eq\r(3).答案eq\r(3)10．已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝________.解析由題意知，tanθ＝2，即sinθ＝2cosθ，將其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝eq\f(1,5)，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(3,5).答案－eq\f(3,5)11．給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；④若sinα＝sinβ，則α與β的終邊相同；⑤若cosθ<0，則θ是第二或第三象限的角．其中正確命題的個(gè)數(shù)是________．解析舉反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí)，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯(cuò)；③正確；由于sineq\f(π,6)＝sineq\f(5π,6)，但eq\f(π,6)與eq\f(5π,6)的終邊不相同，故④錯(cuò)；當(dāng)cosθ＝－1，θ＝π時(shí)既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤錯(cuò)．綜上可知只有③正確．答案112．(2023·蘇北四市期末)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3.答案(－2,3]能力提升題組(建議用時(shí)：15分鐘)13．已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)M沿圓O順時(shí)針運(yùn)動(dòng)eq\f(π,2)弧長(zhǎng)到達(dá)點(diǎn)N，以O(shè)N為終邊的角記為α，則tanα＝________.解析圓的半徑為2，eq\f(π,2)的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角為eq\f(π,4)，故以O(shè)N為終邊的角為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))，故tanα＝1.答案114．(2023·泰州模擬)設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝________.解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).答案－eq\f(4,3)15．函數(shù)y＝eq\r(2sinx－1)的定義域?yàn)開_______．解析∵2sinx－1≥0，∴sinx≥eq\f(1,2).由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示)．∴x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)，當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．解析如圖，作CQ∥x軸，PQ⊥CQ,Q為垂足．根據(jù)題意得劣?。?，故∠DCP＝2，則在△PCQ中，∠PCQ＝2－eq\f(π,2)，|CQ|＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝sin2，|PQ|＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))＝－cos2，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2－|CQ|＝2－sin2，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1＋|PQ|＝1－cos2，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2－sin2,1－cos2)，故eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2－sin2,1－cos2)．答案(2－sin2,1－cos2)第2講同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式考試要求1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα，B級(jí)要求；2.eq\f(π,2)±α，π±α，－α的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式，B級(jí)要求.知識(shí)梳理1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限診斷自測(cè)1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()(2)六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角．()(3)誘導(dǎo)公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化．()(4)若sin(kπ－α)＝eq\f(1,3)(k∈Z)，則sinα＝eq\f(1,3).()解析(1)對(duì)于α∈R，sin(π＋α)＝－sinα都成立．(4)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，sinα＝eq\f(1,3)，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，sinα＝－eq\f(1,3).答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．sin600°的值為________．解析sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).答案－eq\f(\r(3),2)3．(2023·蘇北四市摸底)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝eq\f(1,5)，那么cosα＝________.解析∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，∴cosα＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)4．(2023·南通調(diào)研)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則sinθ－cosθ＝________.解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(7,18).又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，∴sinθ－cosθ＝eq\f(\r(2),3)或－eq\f(\r(2),3).又∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).答案－eq\f(\r(2),3)5．(必修4P23習(xí)題11改編)已知tanα＝2，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)的值為________．解析原式＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(2＋1,2－1)＝3.答案3考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應(yīng)用【例1】(1)(2023·福建卷改編)若sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，則tanα的值等于________．(2)(2023·鹽城模擬)已知sinαcosα＝eq\f(1,8)，且eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，則cosα－sinα的值為________．(3)(2023·全國Ⅲ卷改編)若tanα＝eq\f(3,4)，則cos2α＋2sin2α＝________.解析(1)∵sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12).(2)∵eq\f(5π,4)<α<eq\f(3π,2)，∴cosα<0，sinα<0且cosα>sinα，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)，∴cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2).(3)tanα＝eq\f(3,4)，則cos2α＋2sin2α＝eq\f(cos2α＋2sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋4tanα,1＋tan2α)＝eq\f(64,25).答案(1)－eq\f(5,12)(2)eq\f(\r(3),2)(3)eq\f(64,25)規(guī)律方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．(2)應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(3)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【訓(xùn)練1】(1)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，則tanα＝________.(2)(2023·鹽城調(diào)研)若3sinα＋cosα＝0，則eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)＝________.解析(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα－cosα＝\r(2)，,sin2α＋cos2α＝1，))得：2cos2α＋2eq\r(2)cosα＋1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)cosα＋1))2＝0，∴cosα＝－eq\f(\r(2),2).又α∈(0，π)，∴α＝eq\f(3π,4)，∴tanα＝taneq\f(3π,4)＝－1.(2)3sinα＋cosα＝0?cosα≠0?tanα＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(cos2α＋sin2α,cos2α＋2sinαcosα)＝eq\f(1＋tan2α,1＋2tanα)＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2,1－\f(2,3))＝eq\f(10,3).答案(1)－1(2)eq\f(10,3)考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用【例2】(1)化簡(jiǎn)：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)；(2)求值：設(shè)f(α)＝eq\f(2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))的值．解(1)原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.(2)∵f(α)＝eq\f(－2sinα－cosα＋cosα,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα1＋2sinα,sinα1＋2sinα)＝eq\f(1,tanα)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6)))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\r(3).規(guī)律方法(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了．②化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．(2)含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【訓(xùn)練2】(1)已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是________．(2)化簡(jiǎn)：eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α＋\f(3π,2))),cos－α－πsin－π－α)＝______.解析(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝2；k為奇數(shù)時(shí)，A＝eq\f(－sinα,sinα)－eq\f(cosα,cosα)＝－2.(2)原式＝eq\f(－tanα·cosα·－cosα,cosπ＋α·[－sinπ＋α])＝eq\f(tanα·cosα·cosα,－cosα·sinα)＝eq\f(\f(sinα,cosα)·cosα,－sinα)＝－1.答案(1){2，－2}(2)－1考點(diǎn)三誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式的綜合應(yīng)用【例3】(1)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))＝________.(2)(2023·南京、鹽城模擬)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))＝eq\f(1,3)，且－π<α<－eq\f(π,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝________.解析(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝π，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).(2)因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝eq\f(π,2)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α)).因?yàn)椋?lt;α<－eq\f(π,2)，所以－eq\f(7π,12)<α＋eq\f(5π,12)<－eq\f(π,12).又coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))＝eq\f(1,3)>0，所以－eq\f(π,2)<α＋eq\f(5π,12)<－eq\f(π,12)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋α)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).答案(1)－eq\f(\r(3),3)(2)－eq\f(2\r(2),3)規(guī)律方法(1)常見的互余的角：eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α等．(2)常見的互補(bǔ)的角：eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等．【訓(xùn)練3】(1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝________.(2)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，當(dāng)0≤x<π時(shí)，f(x)＝0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝________.解析(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(π,2)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).(2)由f(x＋π)＝f(x)＋sinx，得f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23,6)π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)π＋2π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(5,6)π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π))＋sineq\f(5,6)π.因?yàn)楫?dāng)0≤x<π時(shí)，f(x)＝0.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23,6)π))＝0＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(1,2)[思想方法]1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系可用于統(tǒng)一函數(shù)；誘導(dǎo)公式主要用于統(tǒng)一角，其主要作用是進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明，已知一個(gè)角的某一三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其它三角函數(shù)值時(shí)，要特別注意平方關(guān)系的使用．2．三角求值、化簡(jiǎn)是三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在求值與化簡(jiǎn)時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝eq\f(sinx,cosx)進(jìn)行切化弦或弦化切，如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切．(2)和積轉(zhuǎn)換法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．(3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan2θ)))＝taneq\f(π,4)＝….[易錯(cuò)防范]1．利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，可利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳．特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定．2．在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào)．3．注意求值與化簡(jiǎn)后的結(jié)果一般要盡可能有理化、整式化.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)1．(2023·四川卷)sin750°＝________.解析sin750°＝sin(720°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)2．(2023·鎮(zhèn)江期末)已知α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，則tanα＝________.解析因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?，sinα＝－eq\f(12,13)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(5,13)，故tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).答案－eq\f(12,5)3．已知tanα＝eq\f(1,2)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則sinα＝________.解析∵tanα＝eq\f(1,2)＞0，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinα＜0，∴sin2α＝eq\f(sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α,tan2α＋1)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,4)＋1)＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(\r(5),5).答案－eq\f(\r(5),5)4.eq\r(1－2sinπ＋2cosπ－2)＝________.解析eq\r(1－2sinπ＋2cosπ－2)＝eq\r(1－2sin2cos2)＝eq\r(sin2－cos22)＝|sin2－cos2|＝sin2－cos2.答案sin2－cos25．(2023·全國Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.解析由題意，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,4).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))＝－eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(4,3).答案－eq\f(4,3)6．(2023·揚(yáng)州中學(xué)質(zhì)檢)向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，tanα))，b＝(cosα，1)，且a∥b，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝________.解析∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，tanα))，b＝(cosα，1)，且a∥b，∴eq\f(1,3)×1－tanαcosα＝0，∴sinα＝eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq\f(1,3).答案－eq\f(1,3)7．(2023·廣州二測(cè)改編)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝eq\f(1,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝________.解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)8．(2023·泰州模擬)已知tanα＝3，則eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)的值是________．解析原式＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,sinα＋cosαsinα－cosα)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(3＋1,3－1)＝2.答案29．已知α為鈍角，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(3,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝________.解析因?yàn)棣翞殁g角，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(\r(7),4)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(\r(7),4).答案－eq\f(\r(7),4)10．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為________．解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝eq\f(2,5)－1＝－eq\f(3,5).答案－eq\f(3,5)11．化簡(jiǎn)：eq\f(sin2α＋π·cosπ＋α·cos－α－2π,tanπ＋α·sin3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·sin－α－2π)＝________.解析原式＝eq\f(sin2α·－cosα·cosα,tanα·cos3α·－sinα)＝eq\f(sin2αcos2α,sin2αcos2α)＝1.答案112．(2023·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2017)的值為________．解析∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，∴f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3.答案－3能力提升題組(建議用時(shí)：15分鐘)13．已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，則θ＝________.解析∵sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，∴tanθ＝eq\r(3)，∵|θ|＜eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)14．若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩根，則m的值為________．解析由題意知sinθ＋cosθ＝－eq\f(m,2)，sinθ·cosθ＝eq\f(m,4).又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ))2＝1＋2sinθcosθ，∴eq\f(m2,4)＝1＋eq\f(m,2)，解得m＝1±eq\r(5).又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－eq\r(5).答案1－eq\r(5)15．(2023·蘇州調(diào)研)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,6)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))的值為________．解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,6)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－π))＋sin2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋1－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)16．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝________.解析∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.答案0第3講三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)考試要求1.y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象及周期性，A級(jí)要求；2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值及與x軸的交點(diǎn)等)，B級(jí)要求；3.正切函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性，B級(jí)要求．知識(shí)梳理1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))單調(diào)減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無診斷自測(cè)1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝sineq\f(π,6)知，eq\f(2π,3)是正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)的一個(gè)周期．()(2)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸是y軸．()(3)正切函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù)．()(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.()(5)y＝sin|x|是偶函數(shù)．()解析(1)函數(shù)y＝sinx的周期是2kπ(k∈Z)．(2)余弦函數(shù)y＝cosx的對(duì)稱軸有無窮多條，y軸只是其中的一條．(3)正切函數(shù)y＝tanx在每一個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故不是增函數(shù)．(4)當(dāng)k>0時(shí)，ymax＝k＋1；當(dāng)k<0時(shí)，ymax＝－k＋1.答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(必修4P33例4改編)函數(shù)y＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的定義域?yàn)開_______．解析∵x－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴x≠kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))).答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))3．(2023·蘇州一模)若函數(shù)f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函數(shù)，則φ＝________.解析由已知f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)是偶函數(shù)，可得eq\f(φ,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，即φ＝3kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝eq\f(3π,2).答案eq\f(3π,2)4．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為________．解析由已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，故函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為－eq\f(\r(2),2).答案－eq\f(\r(2),2)5．(2023·南通調(diào)研)若函數(shù)y＝2cosωx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上單調(diào)遞減，且有最小值1，則ω的值為________．解析因?yàn)閥＝cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，所以必有ω>0，且eq\f(2π,3)·ω≤eq\f(π,2).所以0<ω≤eq\f(3,4).當(dāng)x＝eq\f(2π,3)時(shí)，2coseq\f(2ω,3)π＝1，coseq\f(2ω,3)π＝eq\f(1,2).所以ω＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域及簡(jiǎn)單的三角不等式【例1】(1)函數(shù)f(x)＝－2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的定義域是________．(2)不等式eq\r(3)＋2cosx≥0的解集是________．(3)函數(shù)f(x)＝eq\r(64－x2)＋log2(2sinx－1)的定義域是________．解析(1)由正切函數(shù)的定義域，得2x＋eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)，即x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．(2)由eq\r(3)＋2cosx≥0，得cosx≥－eq\f(\r(3),2)，由余弦函數(shù)的圖象，得在一個(gè)周期[－π，π]上，不等式cosx≥－eq\f(\r(3),2)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,6)≤x≤\f(5,6)π))，故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,6)π＋2kπ≤x≤\f(5,6)π＋2kπ，k∈Z)).(3)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64－x2≥0，①,2sinx－1>0，②))由①得－8≤x≤8，由②得sinx>eq\f(1,2)，由正弦曲線得eq\f(π,6)＋2kπ<x<eq\f(5,6)π＋2kπ(k∈Z)．所以不等式組的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π，－\f(7,6)π))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5,6)π))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)，8)).答案(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)，k∈Z))(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,6)π＋2kπ≤x≤\f(5,6)π＋2kπ，k∈Z))(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)π，－\f(7,6)π))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5,6)π))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(13π,6)，8))規(guī)律方法(1)三角函數(shù)定義域的求法①以正切函數(shù)為例，應(yīng)用正切函數(shù)y＝tanx的定義域求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的定義域．②轉(zhuǎn)化為求解簡(jiǎn)單的三角不等式求復(fù)雜函數(shù)的定義域．(2)簡(jiǎn)單三角不等式的解法①利用三角函數(shù)線求解．②利用三角函數(shù)的圖象求解．【訓(xùn)練1】(1)函數(shù)y＝tan2x的定義域?yàn)開_______．(2)函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域?yàn)開_______．解析(1)由2x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，∴y＝tan2x的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z)).(2)法一要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示．在[0,2π]內(nèi)，滿足sinx＝cosx的x為eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)))，k∈Z)).法二利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)．所以定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).法三sinx－cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))≥0，將x－eq\f(π,4)視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù)y＝sinx的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x－eq\f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)．所以定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).答案(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)≤x≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z))))考點(diǎn)二三角函數(shù)的值域【例2】(1)函數(shù)y＝－2sinx－1，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)π，\f(13,6)π))的值域是________．(2)(2023·全國Ⅱ卷改編)函數(shù)f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的最大值為________．(3)函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)開_______．解析(1)由正弦曲線知y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,6)π，\f(13,6)π))上，－1≤sinx<eq\f(1,2)，所以函數(shù)y＝－2sinx－1，x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13,6)π))的值域是(－2,1]．(2)由f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝1－2sin2x＋6sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))2＋eq\f(11,2)，所以當(dāng)sinx＝1時(shí)函數(shù)的最大值為5.(3)設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝eq\f(1－t2,2)，且－eq\r(2)≤t≤eq\r(2).∴y＝－eq\f(t2,2)＋t＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(t－1)2＋1.當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；當(dāng)t＝－eq\r(2)時(shí)，ymin＝－eq\f(1,2)－eq\r(2).∴函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\r(2)，1)).答案