達(dá)朗貝爾原理

理論力學(xué)TheoreticalMechanicsWednesday,February1,2023主講教師：祝瑛第6章達(dá)朗貝爾原理綜合實(shí)驗(yàn)樓508Tel51682724第6章達(dá)朗貝爾原理§6-1質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理§6-2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理§6-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化§6-4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力

§6-1質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理－慣性力一原理的描述如果在質(zhì)點(diǎn)上除作用有主動(dòng)力及約束力外，再假想地加上慣性力，則這些力構(gòu)成平衡力系。－質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理令FNFmFI主動(dòng)力約束力Inertiaforce牛二定律移項(xiàng)a二慣性力對(duì)于非平衡質(zhì)點(diǎn)（有加速度），受到外力作用時(shí)將被迫改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)受力質(zhì)點(diǎn)將對(duì)施力物體產(chǎn)生反作用力，來維持自身的慣性運(yùn)動(dòng)，該力即為慣性力；對(duì)于質(zhì)點(diǎn)本身，慣性力是假想的，無施力物體。慣性力反映了物體維持自身慣性運(yùn)動(dòng)的能力。大小等于ma，方向永遠(yuǎn)與加速度a的方向相反。二慣性力問題在一輛公共汽車上，站著兩個(gè)人，他們的身高相等，一個(gè)胖、另一個(gè)瘦。請(qǐng)問在車子猛然間啟動(dòng)和急剎車時(shí)，誰更容易摔倒？使人摔倒的汽車加速度應(yīng)滿足什么條件？問題北半球兩輛南北方向相向而行的列車，應(yīng)該安排在哪條車道上行駛？北半球兩輛南北方向同向而行的列車，超車應(yīng)該在哪條車道？左右左右科氏慣性力問題東西走向的鐵路上，對(duì)于由東向西行駛的列車和由西向東行駛的列車，哪個(gè)可以高速行駛，哪個(gè)不可以。東科氏慣性力X由法國科學(xué)家J.Ler.達(dá)朗貝爾于1743年提出的,該原理建立在牛頓第二定律的基礎(chǔ)上。質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理表明，如果在運(yùn)動(dòng)著的質(zhì)點(diǎn)上加上假想的慣性力，則質(zhì)點(diǎn)處于平衡，因而可將動(dòng)力學(xué)問題轉(zhuǎn)化成靜力學(xué)問題－動(dòng)靜法。求解慣性力就是求解運(yùn)動(dòng)；求解FN就是求解未知的約束力（包括動(dòng)反力）。在已知運(yùn)動(dòng)求約束力的問題中，動(dòng)靜法往往十分方便。三達(dá)朗貝爾原理（動(dòng)靜法）四動(dòng)靜法基本解題步驟取研究對(duì)象，分析質(zhì)點(diǎn)受力，畫出質(zhì)點(diǎn)受到的所有主動(dòng)力F和約束力FN

；——先畫真實(shí)力分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，特別是加速度，對(duì)質(zhì)點(diǎn)施加慣性力FI

；——再畫慣性力利用達(dá)朗貝爾原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式F+FN+FI=0

求解未知量。——列達(dá)朗貝爾方程并求解lOq例1單擺擺長(zhǎng)l，擺錘質(zhì)量m，求單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及繩的約束力。解：以擺錘為研究對(duì)象，分析受力，mganatFTFItFIn由質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理有：例2設(shè)垂直振動(dòng)篩的運(yùn)動(dòng)方程為y=asinωt，試求顆粒與臺(tái)面脫離的最小振動(dòng)頻率ωmin。

解：顆粒上慣性力列平衡方程脫離條件取顆粒為研究對(duì)象§6-2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理一原理的描述質(zhì)點(diǎn)i:質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力系、約束力系和慣性力系組成平衡力系各質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力系、約束力系和慣性力系在形式上組成平衡力系。－質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。力系主矢力系主矩例1如圖所示,滑輪的半徑為r,可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量m均勻分布在輪緣上，輪緣上跨過的軟繩的兩端各掛質(zhì)量為m1和m2的重物，且m1>m2。繩的重量不計(jì),繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，軸承摩擦不計(jì)。求重物的加速度。二應(yīng)用舉例解:分析整體OxyRAB解：由對(duì)稱性，取1/4輪緣研究由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱，任一橫截面張力相同例2飛輪質(zhì)量為m，均勻分布在較薄的輪緣上，半徑為R，以等角速度w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。不考慮重力的影響。求輪緣橫截面的張力。qiDqiFIiFAFB考慮其上的一微弧段ain張力不相同會(huì)怎樣？例3如圖所示，電動(dòng)機(jī)定子及其外殼總質(zhì)量為m1，質(zhì)心位于O處。轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m2，質(zhì)心位于Ｃ處，偏心矩ＯＣ＝e,圖示平面為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量對(duì)稱面。電動(dòng)機(jī)用地角螺釘固定于水平基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)O與水平基礎(chǔ)間的距離為h。運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，轉(zhuǎn)子質(zhì)心Ｃ位于最低位置，轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。求：基礎(chǔ)與地角螺釘給電動(dòng)機(jī)總的約束力。解：畫電機(jī)整體的受力圖，加慣性力列達(dá)朗貝爾方程，求解未知量其中解得例4長(zhǎng)為l、重為P的均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿，以等角速度ω繞固定鉸（球鉸）轉(zhuǎn)動(dòng)，形成一錐擺，試計(jì)算桿偏離鉛垂線的角度φ及O鉸約束力。解：以O(shè)A桿為研究對(duì)象，F(xiàn)IRP瞬時(shí)平面力系xFIRPzxOjwXOZO§6-3剛體慣性力系的簡(jiǎn)化1.剛體作平動(dòng)力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，結(jié)果得到一主矢和一主矩Ci平動(dòng)剛體的慣性力可以簡(jiǎn)化為通過質(zhì)心的合力，其大小等于剛體的質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度方向相反。向質(zhì)心簡(jiǎn)化換言之：平動(dòng)剛體的慣性力“作用點(diǎn)”為質(zhì)心C，與加速度方向相反。研究對(duì)剛體如何施加慣性力zmiOriaxyqi2.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)取任意一點(diǎn)i，向轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，結(jié)果為：一主矢+一主矩主矢：主矩：慣性力riri按第一行展開，并考慮：——對(duì)z軸的慣性積（或稱離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）令—?jiǎng)傮w對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也可稱作軸慣性矩，它表示系統(tǒng)繞相應(yīng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的慣性度量；對(duì)軸的慣性積也稱離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或離心慣性矩，表示系統(tǒng)質(zhì)量非平衡性的度量，它描述了相對(duì)坐標(biāo)平面質(zhì)量分布的非對(duì)稱性；軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和離心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于不同點(diǎn)和不同位置、不同方向的軸是不同的。若過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸垂直平面xy為剛體的質(zhì)量對(duì)稱面，則此時(shí)：轉(zhuǎn)軸z稱為慣性主軸若慣性主軸通過質(zhì)心C點(diǎn)：

z軸稱為中心慣性主軸mImIIxyOmI=mII結(jié)論（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體施加慣性力的方法）1、慣性力系向轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)O簡(jiǎn)化即為在O點(diǎn)處加上： 一個(gè)主矢

和一個(gè)空間主矩矢2、慣性力系向轉(zhuǎn)軸與質(zhì)量對(duì)稱面的交點(diǎn)O簡(jiǎn)化即為在O點(diǎn)處加上： 一個(gè)主矢

和一個(gè)平面主矩3、慣性力系向剛體的質(zhì)心C點(diǎn)簡(jiǎn)化即為在點(diǎn)C處加上： 一個(gè)主矢

和一個(gè)對(duì)稱面內(nèi)主矩JC為剛體對(duì)于與轉(zhuǎn)軸z平行的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4、若質(zhì)心C點(diǎn)在轉(zhuǎn)軸z上，則只有平面主矩，而無主矢。簡(jiǎn)化點(diǎn)無論設(shè)在何處,慣性力主矢

3.剛體作平面運(yùn)動(dòng)（平面圖形的運(yùn)動(dòng)平行于剛體的質(zhì)量對(duì)稱面，研究對(duì)稱面的平面運(yùn)動(dòng)）以質(zhì)心C為簡(jiǎn)化中心C分析運(yùn)動(dòng)時(shí)也以C為基點(diǎn)即：剛體的平面運(yùn)動(dòng)將被分解為隨同質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，則對(duì)平面運(yùn)動(dòng)剛體，需在剛體的質(zhì)心C點(diǎn)處加上：

一個(gè)慣性力主矢FIR和一個(gè)慣性力主矩MIC例1如圖所示均質(zhì)桿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w，角加速度為a。求：慣性力系向點(diǎn)Ｏ簡(jiǎn)化的結(jié)果（方向在圖上畫出）。解：在O點(diǎn)施加桿的慣性力求主矢求主矩1、將慣性力向質(zhì)心C簡(jiǎn)化2、將慣性力向轉(zhuǎn)軸A簡(jiǎn)化3、將慣性力向桿上B點(diǎn)簡(jiǎn)化AB慣性力向質(zhì)心C簡(jiǎn)化：ABAB慣性力向轉(zhuǎn)軸A簡(jiǎn)化：思考：已知均質(zhì)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m，角速度為零，角加速度為，AB慣性力向B點(diǎn)簡(jiǎn)化：如何確定慣性力合力的作用線？例2梁及輪盤重W，輪盤半徑為r，對(duì)質(zhì)心O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，重物重P。在輪盤的軸承上裝有驅(qū)動(dòng)力矩為M的電機(jī)。求重物提升的加速度a及支座A與B處的約束力FA和FB。解：動(dòng)靜法1.求加速度：取重物輪盤系統(tǒng)，分析受力及運(yùn)動(dòng)，列達(dá)朗貝爾方程：虛加慣性力，如圖所示解得：2.求支座約束力:取整體，分析受力及虛加慣性力，如圖，列平衡方程，求解3.結(jié)果分析:結(jié)果中前兩項(xiàng)為靜約束力，最后一項(xiàng)為由于加速提升重物而對(duì)支座A、B產(chǎn)生的附加動(dòng)約束力(即動(dòng)反力)，分別為：動(dòng)反力的數(shù)值往往要比靜反力大許多倍，是造成機(jī)組運(yùn)行不穩(wěn)定甚至破壞的主要因素，在工程中應(yīng)引起足夠重視。圓盤平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)輪以加速度a向下運(yùn)動(dòng)COxa例3均質(zhì)圓盤半徑為r,質(zhì)量為m,在重力作用下沿傾角為的斜面向下作純滾動(dòng),求圓盤下降的加速度及斜面的摩擦力。解：例4：已知，均質(zhì)圓盤質(zhì)量m1，半徑R；均質(zhì)桿質(zhì)量m2，桿長(zhǎng)l=2R；輪子純滾動(dòng)。求：F多大，能使桿B端剛好離開地面？純滾動(dòng)的條件？B得解：1、分析桿AB，畫受力圖，列達(dá)朗貝爾方程

剛好離開地面時(shí)，地面約束力為零。2、分析整體，畫受力圖，列達(dá)朗貝爾方程

解得解得由解得解：（1）分析OA、AB桿的運(yùn)動(dòng)：OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB作平面運(yùn)動(dòng)。設(shè)初始瞬時(shí)兩桿的角加速度分別為a1及a2。質(zhì)心加速度分別為aC1及aC2.例5長(zhǎng)均為l，質(zhì)量均為m的均質(zhì)桿OA、AB鉸接于O，在圖所示水平位置由靜止釋放，求初始瞬時(shí)OA、AB的角加速度。（2）取整體分析受力。在OA桿的O點(diǎn)虛加OA桿的慣性力，在AB桿的質(zhì)心C2點(diǎn)虛加AB桿的慣性力。則：（3）加慣性力后，得到平衡剛體系統(tǒng)，于是(4)再考慮AB桿平衡：分析AB桿受力則：聯(lián)立(1),(2)求解:小結(jié)：在用動(dòng)靜法解題時(shí)，可以充分運(yùn)用靜力學(xué)的解題技巧。如讓某些未知力通過某個(gè)矩心，讓某些未知力垂直某個(gè)投影軸，以避免某些未知力在平衡方程中出現(xiàn)，爭(zhēng)取一個(gè)方程求解一個(gè)未知數(shù)等。在本題中，利用動(dòng)靜法中靈活選取矩心，少解了一個(gè)未知數(shù)。例7長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)桿AB的一端焊接于半徑為r的圓盤邊緣上，若已知圖示瞬時(shí)圓盤的角速度ω=0，角加速度為a。求焊縫A處的附加動(dòng)約束力。解：分析桿AB桿以O(shè)為軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)心C加速度為分析桿受力，并將桿的慣性力向轉(zhuǎn)軸O簡(jiǎn)化根據(jù)動(dòng)靜法列平衡方程§6-4繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力將力系向轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O簡(jiǎn)化，得主動(dòng)力系主矢FR和主矩MO

，慣性力系主矢FIR和主矩MIO

：建立直角坐標(biāo)系，列空間力系平衡方程，即可求得軸承全約束力分別為SFx=0,SFy=0,

SFz=0,SMx=0,SMy=0動(dòng)約束力剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸承處除有由主動(dòng)力引起的約束力外，由于剛體質(zhì)量分布不均衡，還可因轉(zhuǎn)動(dòng)引起附加約束反力，此附加部分即稱為軸承動(dòng)約束力。即：必有因此，避免出現(xiàn)軸承動(dòng)反力的條件是：剛體的轉(zhuǎn)軸應(yīng)是剛體的中心慣性主軸。軸z為中心慣性主軸動(dòng)約束力為零的條件為：例如圖所示，輪盤(連同軸)的質(zhì)量m=20kg，轉(zhuǎn)軸AB與輪盤的質(zhì)量對(duì)稱面垂直，但輪盤的質(zhì)心C不在轉(zhuǎn)軸上,偏心距e=0.1mm，當(dāng)輪盤以勻轉(zhuǎn)速n=12000r/min轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)。求：軸承A,B的約束力。解：∵∴其中靜約束力動(dòng)約束力結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是：xC=0，yC=0且Jxz=0，Jyz=0，即：轉(zhuǎn)軸通過質(zhì)心，且剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零或：剛體的轉(zhuǎn)軸是剛體的中心慣性主軸慣性主軸過剛體上任意一點(diǎn)O可有無數(shù)條轉(zhuǎn)軸，若其中有三條軸滿足：

Jxy=Jyz=Jzx=0，則稱x，y，z為剛體過O點(diǎn)的慣性主軸，可以證明三軸兩兩垂直；若僅滿足Jxy=Jyz=0，

則y為慣性主軸，而x，z不是；對(duì)稱軸必是慣性主軸之一；剛體對(duì)慣性主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量稱為主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)所有通過O點(diǎn)的軸來說，剛體對(duì)短慣性主軸的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最大，對(duì)長(zhǎng)軸的最小。靜平衡與動(dòng)平衡的概念軸承動(dòng)反力起因：1、剛體質(zhì)心不在轉(zhuǎn)軸上，使得慣性力主矢不等于零；2、轉(zhuǎn)軸雖過剛體質(zhì)心，但對(duì)轉(zhuǎn)軸的兩個(gè)慣性積不等于零，使得對(duì)兩條轉(zhuǎn)軸垂直軸的慣性力主矩不等于零。靜平衡與動(dòng)平衡： 剛體質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，剛體可在任意位置隨遇平衡的現(xiàn)象稱為靜平衡； 剛體繞任何一條中心慣性主軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其慣性力自成平衡的現(xiàn)象稱為動(dòng)平衡。 達(dá)到動(dòng)平衡的轉(zhuǎn)子，若無外力作用，可繞中心慣性主軸永保勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性。轉(zhuǎn)軸為剛體的中心慣性主軸時(shí)，剛體（轉(zhuǎn)子）是平衡的（圖（a））。當(dāng)轉(zhuǎn)軸不通過質(zhì)心時(shí)（圖（b）），產(chǎn)生軸承動(dòng)約束力，轉(zhuǎn)子不平衡；由于這種不平衡可以用靜力學(xué)的方法發(fā)現(xiàn),故稱靜不平衡。靜平衡實(shí)驗(yàn)用以