運(yùn)籌學(xué)-第十章-多目標(biāo)決策

第十章多目標(biāo)決策多目標(biāo)決策問(wèn)題及其有效解偏愛(ài)和多目標(biāo)決策問(wèn)題的求解評(píng)價(jià)函數(shù)法目標(biāo)規(guī)劃層次分析法軟件應(yīng)用10.1多目標(biāo)決策問(wèn)題及其有效解多目標(biāo)決策問(wèn)題引例

多目標(biāo)決策問(wèn)題的有效解

例1（投資決策問(wèn)題）公司有50萬(wàn)元資金，打算向兩個(gè)項(xiàng)目投資。已知項(xiàng)目1的利潤(rùn)為投資額的10%，但風(fēng)險(xiǎn)小；項(xiàng)目2的利潤(rùn)為投資額的20%，但風(fēng)險(xiǎn)大。由于其他原因，公司對(duì)項(xiàng)目1的投資不能少于10萬(wàn)元。試問(wèn)：如何投資，才能兼顧利潤(rùn)和風(fēng)險(xiǎn)？x1

+x2

50

x1

10

x1，x2

0

maxz1=0.1x1

+0.2x2maxz2=x1

-x2s.t.設(shè)x1為項(xiàng)目1的投資額，x2為項(xiàng)目2的投資額

常用的風(fēng)險(xiǎn)度量：VaR&CVaR例2（生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題）某工廠生產(chǎn)5種產(chǎn)品：1號(hào)品，…，5號(hào)品。該廠生產(chǎn)i號(hào)品的生產(chǎn)能力是ai

件/小時(shí)，每件i號(hào)品可獲利

元。根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，下一季度3,4,5號(hào)品的最大銷(xiāo)售量為bi噸，而市場(chǎng)對(duì)1和2號(hào)品的需求是盡可能多的。工廠下一季度的生產(chǎn)能力為T(mén)小時(shí)。試問(wèn)：如何安排下一季度的生產(chǎn)計(jì)劃，在避免開(kāi)工不足的條件下，使工人加班時(shí)間盡量地少、工廠獲利最大、滿足市場(chǎng)對(duì)1號(hào)品和2號(hào)品盡可能多的需求？設(shè)該廠下一季度生產(chǎn)i號(hào)品的時(shí)間為xi小時(shí)（i=1,…,5）多目標(biāo)最優(yōu)化模型

(MultiobjectiveOptimization/VectorOptimization)

其中多目標(biāo)決策問(wèn)題的共同特點(diǎn)目標(biāo)之間的不可公度性：指各個(gè)目標(biāo)一般沒(méi)有統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)，因而很難進(jìn)行比較目標(biāo)之間的沖突性：大部分多目標(biāo)決策問(wèn)題存在著沖突。即如果采用某種方案去改進(jìn)一個(gè)目標(biāo)值，很可能會(huì)使另一目標(biāo)值變壞多目標(biāo)線性規(guī)劃分層多目標(biāo)最優(yōu)化模型第1優(yōu)先層，…，第L優(yōu)先層與偏好有關(guān)多目標(biāo)決策問(wèn)題的有效解對(duì)于一個(gè)可行解，如果不存在“優(yōu)于”它的可行解，則稱其為有效解（帕累托最優(yōu)解；非劣解）設(shè)。若不存在使得且至少有一個(gè)是嚴(yán)格不等式，則稱是（VP）的有效解例1的有效解P3(10,40)P1(10,0)x10x2決策空間P’2(5,50)P’1(1,10)P’3(9,-30)A(7,10)z2z1目標(biāo)空間設(shè)。若不存在使得則稱是弱有效解找不到一個(gè)解，使得各目標(biāo)值都比的嚴(yán)格小若，則它是有效解的充要條件是為的最優(yōu)解有效解判別方法之一對(duì)多目標(biāo)線性規(guī)劃如何判斷一個(gè)可行解是否為有效解？

結(jié)論：若為L(zhǎng)P的最優(yōu)解，則必為有效解若不是LP的最優(yōu)解，而是y，則y即是有效解例已知一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題（Max問(wèn)題）可行解(2,0,0)是否為有效解?

構(gòu)建線性規(guī)劃有效解存在定理設(shè)X?Rn.若f(x)=(f1(x),…,fp(x))中的各函數(shù)fk(x)(k=1,…,p)在X上連續(xù)，并存在使集合是有界閉集，則（VP）存在有效解

有效解判別方法之二對(duì)若wk>0，是(Pw)的最優(yōu)解，則它是有效解若wk≥0且至少有一個(gè)>0，是(Pw)的最優(yōu)解，則它是弱有效解

有效解判別方法之三10.2偏愛(ài)和多目標(biāo)決策問(wèn)題的求解

偏愛(ài)與價(jià)值函數(shù)多目標(biāo)決策問(wèn)題的偏愛(ài)結(jié)構(gòu)

多目標(biāo)決策問(wèn)題的求解思路

偏愛(ài)例某公司準(zhǔn)備提升一位部門(mén)經(jīng)理，由人事部門(mén)對(duì)三個(gè)候選人就能力、合作精神、進(jìn)取心進(jìn)行評(píng)優(yōu)，給出分?jǐn)?shù)如下：

得分候選人1(x1)候選人2(x2)候選人3(x3)能力789合作897進(jìn)取978該公司總裁在選拔干部時(shí)，注意特長(zhǎng)，他喜歡在某一方面比別人分?jǐn)?shù)高的人，當(dāng)某人一項(xiàng)指標(biāo)高過(guò)另一人2分，他就認(rèn)為前者好，因此他的看法是：

該公司副總裁則注意合作精神和進(jìn)取心，他認(rèn)為這兩項(xiàng)評(píng)分之和高者是優(yōu)秀人才，因此他的看法是：

每個(gè)人有不同的偏愛(ài)，因而產(chǎn)生不同的選擇

價(jià)值函數(shù)

U(x1)>U(x2),A(7,10)B(6,45)C(8,-20)z2z1偏愛(ài)結(jié)構(gòu)

多目標(biāo)決策問(wèn)題的求解利用決策者偏愛(ài)結(jié)構(gòu)確定價(jià)值函數(shù)，將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題線性加權(quán)法理想點(diǎn)法極大極小法參考目標(biāo)法10.3評(píng)價(jià)函數(shù)法線性加權(quán)法最簡(jiǎn)單、最基本的方法（其中)若決策者認(rèn)為某可行解是一個(gè)比較好的選擇，則例某公司有A,B,C三種產(chǎn)品，利用兩種資源I,II,數(shù)據(jù)如下：ABC總量I756250II695210價(jià)格系數(shù)10.80.9產(chǎn)量111外銷(xiāo)總量0.40.60.2

理想點(diǎn)法理想點(diǎn)：通過(guò)定義目標(biāo)與理想點(diǎn)之間的距離，將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題來(lái)求解距離定義可采用幾種方式：距離模評(píng)價(jià)函數(shù)p-模評(píng)價(jià)函數(shù)極大模評(píng)價(jià)函數(shù)幾何平均評(píng)價(jià)函數(shù)例（極大模評(píng)價(jià)函數(shù)）權(quán)重確定方法α－法均差排序法專家小組法判斷矩陣法其他求解多目標(biāo)規(guī)劃的方法交互規(guī)劃法逐步寬容約束法權(quán)衡比替代法逐次線性加權(quán)和法混合優(yōu)選法－－多目標(biāo)混合最優(yōu)化模型分目標(biāo)乘除法功效函數(shù)法選擇法分層求解法－－分層模型完全分層法，分層評(píng)價(jià)法，分層單純形法目標(biāo)規(guī)劃法10.4目標(biāo)規(guī)劃目標(biāo)規(guī)劃的產(chǎn)生與發(fā)展目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)規(guī)劃的產(chǎn)生與發(fā)展目標(biāo)規(guī)劃由美國(guó)學(xué)者查恩斯與庫(kù)伯于1961年首次提出，基本思想是求盡可能接近某個(gè)目標(biāo)值的解1965年，艾吉里在處理多目標(biāo)問(wèn)題、分析各類(lèi)目標(biāo)的重要性時(shí)，引入了賦予各目標(biāo)一個(gè)優(yōu)先因子及加權(quán)系數(shù)的概念，進(jìn)一步完善了目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型求解目標(biāo)規(guī)劃的方法則由杰斯基萊恩和?！だ钐岢霾⒓右愿倪M(jìn)目標(biāo)規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)企業(yè)經(jīng)營(yíng)管理中多目標(biāo)決策的需要而逐步發(fā)展起來(lái)的。目標(biāo)規(guī)劃是一種數(shù)學(xué)方法基本含義：在一定約束條件下，要求多個(gè)目標(biāo)達(dá)到或盡可能接近于給定的對(duì)應(yīng)目標(biāo)值特點(diǎn)：既保持了線性規(guī)劃易于計(jì)算的特點(diǎn)，又克服了線性規(guī)劃只能解決單一目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的局限性目標(biāo)規(guī)劃模型目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)值引入距離得到目標(biāo)規(guī)劃模型分層目標(biāo)規(guī)劃模型不一定是理想值

距離的若干種定義

fk

關(guān)于的正偏差fk

關(guān)于的負(fù)偏差

由定義知一般目標(biāo)規(guī)劃為

可以略去r=1距離定義下的目標(biāo)規(guī)劃模型

r=∞距離定義下的目標(biāo)規(guī)劃模型x1

+x2

50

x1

10

x1，x2

0

max(0.1x1

+0.2x2,x1

-x2)s.t.例1

令目標(biāo)點(diǎn)f＊=(9,15)，得到r=1距離定義下的目標(biāo)規(guī)劃模型

安全度，理想點(diǎn)(9,50)仍令目標(biāo)點(diǎn)f*=(9,15)，可得r=∞距離定義下的目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型仍令目標(biāo)點(diǎn)f*=(9,15).決策者希望，若安全度比15小，則盡量接近15；若超過(guò)15，則多少均無(wú)差別.對(duì)利潤(rùn)目標(biāo)亦然.即要求負(fù)偏差盡可能地小若決策者對(duì)各目標(biāo)的偏差有不同偏重，可以適當(dāng)添加權(quán)重目標(biāo)規(guī)劃的形式：Minf(d+,d-)

要求盡量接近目標(biāo)值，即正負(fù)偏差都要盡可能地小。則有Minf(d+,d-)要求不超過(guò)目標(biāo)值，即允許達(dá)不到目標(biāo)值，但盡量不超過(guò)目標(biāo)值，即正偏差盡可能地小。則有

Minf(d+)要求超過(guò)目標(biāo)值，超過(guò)量不限，即負(fù)偏差變量要盡可能地小。則有Minf(d-)對(duì)具體問(wèn)題，可根據(jù)決策者的要求來(lái)構(gòu)造適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)規(guī)劃若決策者對(duì)各目標(biāo)偏差劃分不同等級(jí)，也可以對(duì)目標(biāo)賦予優(yōu)先因子，得到分層的目標(biāo)規(guī)劃例某廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，具體情況如表：現(xiàn)管理部門(mén)提出三級(jí)目標(biāo)：第一級(jí)目標(biāo)：每班產(chǎn)值達(dá)到750元第二級(jí)目標(biāo)：充分利用兩個(gè)車(chē)間的工時(shí)第三級(jí)目標(biāo)：盡量減少加班時(shí)間

試?yán)媚繕?biāo)規(guī)劃法在爭(zhēng)取上述管理目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的條件下，擬訂一個(gè)滿意生產(chǎn)規(guī)劃單位消耗A產(chǎn)品B產(chǎn)品生產(chǎn)能力（小時(shí)/班）加工車(chē)間1360裝配車(chē)間1140產(chǎn)值（元/件）1525設(shè)x1,

x2

分別為兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，正偏差變量dk+表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量dk-

表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。則分層目標(biāo)規(guī)劃模型為分層多目標(biāo)規(guī)劃……例某電視機(jī)廠裝配黑白和彩色兩種電視機(jī)，每裝配一臺(tái)電視機(jī)需占用裝配線1小時(shí)，裝配線每周計(jì)劃開(kāi)動(dòng)40小時(shí)，預(yù)計(jì)市場(chǎng)每周彩色電視機(jī)的銷(xiāo)售量是24臺(tái)，每臺(tái)獲利80元；黑白電視機(jī)的銷(xiāo)售量是30臺(tái)，每臺(tái)獲利40元。該廠確定的目標(biāo)是：第一優(yōu)先級(jí)：充分利用裝配線每周計(jì)劃開(kāi)動(dòng)40小時(shí)第二優(yōu)先級(jí)：允許裝配線加班，但每周加班時(shí)間盡量不超過(guò)10小時(shí)第三優(yōu)先級(jí)：裝配電視機(jī)的數(shù)量盡量滿足市場(chǎng)的需要試建立該問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型設(shè)x1,x2

分別表示彩色和黑白電視機(jī)的產(chǎn)量，引進(jìn)正負(fù)偏差變量，得目標(biāo)規(guī)劃為練習(xí)

某工廠生產(chǎn)I、II兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)表。試求：獲利最大的生產(chǎn)方案III擁有量原材料（kg）2111設(shè)備（hr）1210利潤(rùn)（萬(wàn)元/件）810解：設(shè)x1,x2

分別為生產(chǎn)I、II的件數(shù)，則這是一個(gè)單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題，不難求得最優(yōu)決策方案為x1*=4，x2*=3，z*=62在實(shí)際中，決策時(shí)需要考慮一系列其它因素，例如：（1）根據(jù)市場(chǎng)信息，產(chǎn)品I的銷(xiāo)售量有下降的趨勢(shì)，故考慮產(chǎn)品I的產(chǎn)量不大于產(chǎn)品II的產(chǎn)量（2）超過(guò)計(jì)劃供應(yīng)的原材料，需用高價(jià)采購(gòu)，這就使成本增加（3）應(yīng)盡可能充分利用設(shè)備的臺(tái)時(shí)，但不希望加班（4）應(yīng)盡可能達(dá)到并超過(guò)計(jì)劃利潤(rùn)指標(biāo)56元這樣在考慮產(chǎn)品決策時(shí)，便成為多目標(biāo)決策問(wèn)題。目標(biāo)規(guī)劃的方法是解這類(lèi)決策問(wèn)題的方法之一設(shè)x1,

x2

分別為兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，正偏差變量dk+表示決策值超過(guò)目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量dk-

表示決策值未達(dá)到目標(biāo)值的部分。則分層目標(biāo)規(guī)劃模型為目標(biāo)規(guī)劃與線性規(guī)劃相比有以下優(yōu)點(diǎn)1.線性規(guī)劃只能處理一個(gè)目標(biāo)，而現(xiàn)實(shí)問(wèn)題往往要處理多個(gè)目標(biāo)。目標(biāo)規(guī)劃即能統(tǒng)籌兼顧地處理多個(gè)目標(biāo)的關(guān)系，求得更切合實(shí)際要求的解2.線性規(guī)劃立足于求滿足所有約束條件的最優(yōu)解。而在實(shí)際問(wèn)題中，可能存在相互矛盾的約束條件。目標(biāo)規(guī)劃可以在相互矛盾的約束條件下找到滿意解3.目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解指的是盡可能地達(dá)到或接近一個(gè)或若干個(gè)已給定的指標(biāo)值

4.線性規(guī)劃的約束條件是不分主次地同等對(duì)待，而目標(biāo)規(guī)劃可根據(jù)實(shí)際的需要給予輕重緩急的考慮

10.5層次分析法

（AHP,AnalyticHierarchyProcess)概述具體原理與步驟應(yīng)用舉例判斷矩陣的一致性矩陣特征向量計(jì)算法概述層次分析法是由美國(guó)匹茲堡大學(xué)教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。其基本思想是把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解為各個(gè)組成因素，并將這些因素按支配關(guān)系分組，從而形成一個(gè)有序的遞階層次結(jié)構(gòu)。通過(guò)兩兩比較的方式確定層次中諸因素的相對(duì)重要性，然后綜合人的判斷以確定決策諸因素相對(duì)重要性的總排序?qū)哟畏治龇ǖ某霈F(xiàn)給決策者解決那些難以定量描述的決策問(wèn)題帶來(lái)了極大的方便，從而使它的應(yīng)用幾乎涉及任何科學(xué)領(lǐng)域步驟建立層次結(jié)構(gòu)模型兩兩比較構(gòu)造判斷矩陣層次單排序及其一致性檢驗(yàn)層次總排序?qū)哟慰偱判虻囊恢滦詸z驗(yàn)(1)建立層次結(jié)構(gòu)模型明確目標(biāo)建立層次結(jié)構(gòu)(多階層次結(jié)構(gòu))比如：（選人才的四標(biāo)準(zhǔn)）德、勤、能、績(jī)、（?。﹤€(gè)人能力，組織能力進(jìn)取心，執(zhí)行力；業(yè)績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)如何，效率如何，戰(zhàn)略舉措如何，人才培養(yǎng)如何。A型B型C型例：人才甄選指標(biāo)體系潛質(zhì)思想素質(zhì)知識(shí)水平能力素質(zhì)專業(yè)相關(guān)度學(xué)歷企業(yè)經(jīng)歷競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)創(chuàng)新意識(shí)人才意識(shí)基礎(chǔ)和專業(yè)知識(shí)培訓(xùn)和學(xué)習(xí)交流經(jīng)濟(jì)管理水平?jīng)Q策能力判斷能力協(xié)調(diào)能力應(yīng)變能力進(jìn)而轉(zhuǎn)換成層次結(jié)構(gòu)模型兩兩比較構(gòu)造判斷矩陣?yán)?/p>

B=具體標(biāo)度見(jiàn)下頁(yè)長(zhǎng)相

品質(zhì)財(cái)富長(zhǎng)相品質(zhì)

財(cái)富111判斷矩陣標(biāo)度確定方法標(biāo)度含

義1甲乙相比，具有同樣重要性。3甲乙相比，甲比乙稍微重要。5甲乙相比，甲比乙明顯重要。7甲乙相比，甲比乙顯得很重要。9甲乙相比，甲比乙顯得極重要。2，4，6，8表示上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)（如1/3）表示甲與乙相比，乙比甲稍重要。例如：某單位擬從3名干部中選拔一人擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)職務(wù)，選拔標(biāo)準(zhǔn)是:(1)健康水平、(2)業(yè)務(wù)知識(shí)、(3)寫(xiě)作能力、(4)口才、(5)政策水平、(6)工作作風(fēng)。調(diào)查得到判斷矩陣如下：

按行求積開(kāi)方根規(guī)一化（3）層次單排序及其一致性檢驗(yàn)層次單排序方法和積法按列規(guī)一化(以一列為例)按行求和(以一行為例）對(duì)向量規(guī)一化(例)方根法：按行求積——求n(階）方根——規(guī)一化存在眾多方法。。。。。。階數(shù)(n)123456789RI000.580.91.121.241.321.411.45一致性檢驗(yàn)(R.I見(jiàn)下頁(yè))檢驗(yàn)準(zhǔn)則；若C.R<0.1,則滿足一致性；若C.R>=0.1,則不滿足一致性，就必須重新確定（4）層次總排序（5）層次總排序的一致性檢驗(yàn)舉例:(一般)應(yīng)用舉例某廠有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)，要由廠領(lǐng)導(dǎo)和職代會(huì)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：作為獎(jiǎng)金發(fā)給職工；擴(kuò)建職工宿舍、食堂、托兒所等福利設(shè)施；辦職工業(yè)余技術(shù)學(xué)校；建圖書(shū)館、俱樂(lè)部和文體工隊(duì)；引進(jìn)新技術(shù)設(shè)備進(jìn)行企業(yè)技術(shù)改造等。從調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性，提高職工文化技術(shù)水平和改善職工物質(zhì)文化生活狀況來(lái)看，這些方案都各有其合理的因素。如何使工廠這筆企業(yè)留成利潤(rùn)更合理地使用，進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展，這是廠領(lǐng)導(dǎo)和職代會(huì)所面臨需要分析的問(wèn)題。準(zhǔn)則層C措施層PA：合理使用企業(yè)利潤(rùn)促進(jìn)企業(yè)新發(fā)展C1：調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性C2：提高企業(yè)技術(shù)水平C3：改善職工物質(zhì)文化生活P1：發(fā)獎(jiǎng)金P2：擴(kuò)建集體福事業(yè)P3：辦職工業(yè)余技校P4：建圖書(shū)館、俱樂(lè)部P5：引進(jìn)新設(shè)備目標(biāo)層A判斷矩陣A—C

（相對(duì)于企業(yè)發(fā)展的總目標(biāo)，各準(zhǔn)則之間的相對(duì)重要性比較）AC1C2C3C111/51/3C2513C331/31判斷矩陣C1—P