2022年廣西梧州市高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取得最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)，全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯(cuò)誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B．隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D．我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值3．已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球（），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．24．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．5．使得的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A． B． C． D．6．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．7．已知l，m是兩條不同的直線，m⊥平面α，則“”是“l(fā)⊥m”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為（）.A．432 B．576 C．696 D．9609．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．若，，則或B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸；③臺(tái)體的體積公式）.A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸11．若數(shù)列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．12．已知表示兩條不同的直線，表示兩個(gè)不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)且斜率為的直線交橢圓于，若三角形的面積等于，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______.14．若函數(shù)與函數(shù)，在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)___________.16．設(shè)向量，，且，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn).（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點(diǎn)，求證：弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對(duì)于（Ⅰ）中的曲線，若直線過(guò)點(diǎn)交曲線于點(diǎn)，求面積的最大值.19．（12分）班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績(jī)進(jìn)行分析，決定從本班24名女同學(xué)，18名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本進(jìn)行分析.（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個(gè)不同的樣本？（寫出算式即可，不必計(jì)算出結(jié)果）（2）如果隨機(jī)抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué)，物理成績(jī)（單位：分）對(duì)應(yīng)如下表：學(xué)生序號(hào)1234567數(shù)學(xué)成績(jī)60657075858790物理成績(jī)70778085908693①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué)，記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績(jī)關(guān)于數(shù)學(xué)成績(jī)的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6分，預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)槎嗌俜?？附：線性回歸方程，其中，.768381252620．（12分）在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛(ài)之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)（），不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，，，且，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解．2．D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由圖象可知，隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在月日及以前，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.3．B【解析】由題意或4，則，故選B．4．A【解析】

選取中間值和，利用對(duì)數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.5．B【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，若展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)，則，解得，當(dāng)r取2時(shí)，n的最小值為5，故選B【考點(diǎn)定位】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．6．A【解析】

求出集合，然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵，，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)m⊥平面α?xí)r，若l∥α”則“l(fā)⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，則l∥α或l?α，即必要性不成立，則“l(fā)∥α”是“l(fā)⊥m”充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題8．B【解析】

先把沒(méi)有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時(shí)，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.9．D【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷，所成的二面角為；D中有可能，即得解.【詳解】選項(xiàng)A：若，，根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有或，故A正確；選項(xiàng)B：若，，，由線面平行的判定定理，有，故B正確；選項(xiàng)C：若，，，故，所成的二面角為，則，故C正確；選項(xiàng)D，若，，有可能，故D不正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.10．B【解析】試題分析：根據(jù)題意可得平地降雨量，故選B.考點(diǎn)：1.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題；2.圓臺(tái)的體積.11．C【解析】因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．12．B【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及充要條件的判斷，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.解決充要條件判斷問(wèn)題，關(guān)鍵是要弄清楚誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題得直線的方程為，代入橢圓方程得：，設(shè)點(diǎn)，則有，由，且解出，進(jìn)而求解出離心率.【詳解】由題知，直線的方程為，代入消得：，設(shè)點(diǎn)，則有，，而，又，解得：，所以離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計(jì)算與離心率的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力14．【解析】

函數(shù)的定義域?yàn)?，求出?dǎo)函數(shù)，利用曲線與曲線公共點(diǎn)為由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，解得，，聯(lián)立解得的值．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，，設(shè)曲線與曲線公共點(diǎn)為，由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，∴，解得，．由，可得．聯(lián)立，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．15．1【解析】

直接用表示出，然后由不等式性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】由題意，又，∴，即，∴的最大值為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的計(jì)算，以及向量的平方，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：且由所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)計(jì)算，主要考查計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，結(jié)合可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）計(jì)算出直線截圓所得弦長(zhǎng)，并計(jì)算出原點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）由得，故直線的普通方程是.由，得，代入公式得，得，故曲線的直角坐標(biāo)方程是；（2）因?yàn)榍€的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng).又到直線的距離為，所以.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線與圓中三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18．（Ⅰ）和.；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得：，利用，根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，證明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，且，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面釈計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】(Ⅰ)由題意：，，解得，則曲線的方程為：和.(Ⅱ)證明：由題意曲線的漸近線為：，設(shè)直線，則聯(lián)立，得，，解得：，又由數(shù)形結(jié)合知.設(shè)點(diǎn)，則，，，，，即點(diǎn)在直線上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，得：，，設(shè)，，，，面積，令，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問(wèn)題、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理論證能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.19．（1）不同的樣本的個(gè)數(shù)為.（2）①分布列見(jiàn)解析，.②線性回歸方程為.可預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?6分.【解析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理計(jì)算不同的樣本數(shù).（2）名學(xué)生中物理和數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有3名學(xué)生，任取3名學(xué)生，都優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)服從超幾何分布，故可得其概率分布列及其數(shù)學(xué)期望.而線性回歸方程的計(jì)算可用給出的公式計(jì)算，并利用得到的回歸方程預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī).【詳解】（1）依據(jù)分層抽樣的方法，24名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名，18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為名，故不同的樣本的個(gè)數(shù)為.（2）①∵7名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績(jī)均為優(yōu)秀的人數(shù)為3名，∴的取值為0，1，2，3.∴，，，.∴的分布列為0123∴.②∵，.∴線性回歸方程為.當(dāng)時(shí)，.可預(yù)測(cè)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?6分.【點(diǎn)睛】在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí)，注意利用常見(jiàn)的概率分布列來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）．20．（1）點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或（2）【解析】

（1）令，由此求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的極坐標(biāo).（2）設(shè)出兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）