第5章互感與變壓器

第5章互感與變壓器5.2耦合電路的去耦等效5.1耦合互感元件5.3變壓器本章教學(xué)目的及要求了解互感、耦合系數(shù)的含義，掌握具有互感的兩個(gè)線圈中電壓與電流之間的關(guān)系；理解同名端的意義，掌握互感線圈串聯(lián)、并聯(lián)的計(jì)算及互感的等效；理解理想變壓器的概念、掌握含有理想變壓器電路的計(jì)算方法。5.1耦合互感元件5.1.1互感現(xiàn)象兩個(gè)相鄰的閉合線圈L1和L2，若一個(gè)線圈中的電流發(fā)生變化時(shí)，在本線圈中引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象稱為自感，在相鄰線圈中引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象稱為互感。i1ψ1L1L2在本線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電壓稱為自感電壓，用uL表示；在相鄰線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電壓稱為互感電壓，用uM表示。uL1uM2ψ12注腳中的12是說(shuō)明線圈1的磁場(chǎng)在線圈2中的作用。5.1.2互感電壓通過(guò)兩線圈的電流是交變的電流，交變電流產(chǎn)生交變的磁場(chǎng)，當(dāng)交變的磁鏈穿過(guò)線圈L1和L2時(shí)，引起的自感電壓：

兩線圈套在同一個(gè)芯子上，因此它們電流的磁場(chǎng)不僅穿過(guò)本線圈，還有相當(dāng)一部分穿過(guò)相鄰線圈，因此這部分交變的磁鏈在相鄰線圈中也必定引起互感現(xiàn)象，由互感現(xiàn)象產(chǎn)生的互感電壓：i1ψ1L1L2uL1uM2ψ12i2ψ2ψ21uL2uM1i1ψ1L1L2uL1uM2ψ12i2ψ2ψ21uL2uM1由圖中所示參考方向可列出兩線圈端電壓的相量表達(dá)式：自感電壓總是與本線圈中通過(guò)的電流取關(guān)聯(lián)參考方向，因此前面均取正號(hào)；互感電壓前面的正、負(fù)號(hào)要依據(jù)兩線圈電流的磁場(chǎng)是否一致。如上圖所示兩線圈電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一致，因此兩線圈中的磁場(chǎng)相互增強(qiáng)，這時(shí)它們產(chǎn)生的互感電壓前面取正號(hào)；若兩線圈電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互消弱時(shí)，它們產(chǎn)生的互感電壓前面應(yīng)取負(fù)號(hào)?；ジ须妷褐械摹癕”稱為互感系數(shù)，單位和自感系數(shù)L相同，都是亨利[H]。由于兩個(gè)線圈的互感屬于相互作用，因此對(duì)任意兩個(gè)相鄰的線圈總有：互感系數(shù)簡(jiǎn)稱互感，其大小只與相鄰兩線圈的幾何尺寸、線圈的匝數(shù)、相互位置及線圈所處位置媒質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)?；ジ械拇笮》从沉藘上噜従€圈之間相互感應(yīng)的強(qiáng)弱程度。i1ψ1L1L2uL1uM2ψ12i2ψ2ψ21uL2uM1練習(xí)：寫出右圖兩線圈端電壓的解析式和相量表達(dá)式。互感現(xiàn)象的應(yīng)用和危害互感現(xiàn)象在電工電子技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，變壓器就是互感現(xiàn)象應(yīng)用的重要例子。變壓器一般由繞在同一鐵芯上的兩個(gè)匝數(shù)不同的線圈組成，當(dāng)其中一個(gè)線圈中通上交流電時(shí)，另一線圈中就會(huì)感應(yīng)出數(shù)值不同的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，輸出不同的電壓，從而達(dá)到變換電壓的目的。利用這個(gè)原理，可以把十幾伏特的低電壓升高到幾萬(wàn)甚至幾十萬(wàn)伏特。如高壓感應(yīng)圈、電壓、電流互感器等?；ジ鞋F(xiàn)象的主要危害：由于互感的存在，電子電路中許多電感性器件之間存在著不希望有的互感場(chǎng)干擾，這種干擾影響電路中信號(hào)的傳輸質(zhì)量。5.1.3耦合系數(shù)和同名端兩互感線圈之間電磁感應(yīng)現(xiàn)象的強(qiáng)弱程度不僅與它們之間的互感系數(shù)有關(guān)，還與它們各自的自感系數(shù)有關(guān)，并且取決于兩線圈之間磁鏈耦合的松緊程度。我們把表征兩線圈之間磁鏈耦合的松緊程度用耦合系數(shù)“K”

來(lái)表示：1.耦合系數(shù)通常一個(gè)線圈產(chǎn)生的磁通不能全部穿過(guò)另一個(gè)線圈，所以一般情況下耦合系數(shù)K<1；若漏磁通很小且可忽略不計(jì)時(shí)：K=1；若兩線圈之間無(wú)互感，則M=0，K=0。因此，耦合系數(shù)的變化范圍：0

≤

K≤

1同名端：同一變化電流在本線圈中產(chǎn)生的自感電壓和在另一線圈中產(chǎn)生的互感電壓的實(shí)際極性相同端。2.同名端實(shí)際應(yīng)用中，電氣設(shè)備中的線圈都是密封在殼體內(nèi)，一般無(wú)法看到線圈的繞向，因此在電路圖中常常也不采用將線圈繞向繪出的方法，通常采用“同名端標(biāo)記”表示繞向一致的兩相鄰線圈的端子。如：··**?

電流同時(shí)由兩線圈上的同名端流入(或流出)時(shí)，兩互感線圈的磁場(chǎng)相互增強(qiáng)；否則相互消弱。

同名端統(tǒng)一用“·”或“*”標(biāo)識(shí)3.確定同名端的方法當(dāng)兩個(gè)線圈中電流同時(shí)由同名端流入(或流出)時(shí)，兩個(gè)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)相互增強(qiáng)。當(dāng)隨時(shí)間增大的時(shí)變電流從一線圈的一端流入時(shí)，將會(huì)引起另一線圈相應(yīng)同名端的電位升高。（1）在已知線圈繞向時(shí)，用右手螺旋法則確定當(dāng)i1、i2分別由端紐a和d流入（或流出）時(shí)，它們各自產(chǎn)生的磁通相互增強(qiáng)，因此a端和d端是同名端（b端和c端也是同名端）；a端與c端（或b端與d端）稱異名端。+–V（2）同名端的實(shí)驗(yàn)測(cè)定i11'22'**電壓表正偏。如圖電路，當(dāng)閉合開關(guān)S

時(shí)，i

增加，當(dāng)兩組線圈裝在黑盒里，只引出四個(gè)端線組，要確定其同名端，就可以利用上面的結(jié)論來(lái)加以判斷。RS+-i11’22’1i111'22'例分析··i22判斷下列線圈的同名端假設(shè)電流同時(shí)由1和2流入，

兩電流的磁場(chǎng)相互增強(qiáng)，因此可以判斷：1和2是一對(duì)同名端；同理，1'和2'也是一對(duì)同名端。**·*·例判斷下列線圈的同名端分析線圈的同名端必須兩兩確定2'3'1'1231和2'

同時(shí)流入電流時(shí)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一致，是一對(duì)同名端；2

和3'同時(shí)流入電流時(shí)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一致，也是一對(duì)同名端；*Δ3和1'

同時(shí)流入電流時(shí)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一致，同樣也是一對(duì)同名端。Δ例分析判斷下圖兩線圈的同名端。已知在開關(guān)S閉合時(shí)，線圈2兩端所接電壓表的指針正偏。開關(guān)S閉合時(shí)，電流由零增大由1流向1'，由于線圈2與線圈1之間存在互感，所以*+M－US122'1'+－VS正偏當(dāng)線圈1中的電流變化時(shí)，首先要在線圈1中引起一個(gè)自感電壓，這個(gè)自感電壓的極性和線圈中的電流成關(guān)聯(lián)方向（吸收電能、建立磁場(chǎng)）；由于兩個(gè)線圈之間存在互感，所以線圈1中的電流變化必定在線圈2中也要引起互感電壓，這個(gè)互感電壓正是電壓表所指示的數(shù)值，因電壓表正偏，所以互感電壓的極性與電壓表的極性相符，可以判斷：uL－＋*1和2是一對(duì)同名端！

5.1.4耦合電感元件及其伏安關(guān)系有了同名端，表示兩個(gè)線圈相互作用時(shí)，就不需考慮實(shí)際繞向，而只畫出同名端及u、i參考方向即可。i1**u21+–Mi1**u21–+M例：i1**L1L2+_u1+_u2i2Mi1**L1L2+_u1+_u2i2M

例：

如圖所示電路中，M=0.025H，解：互感電壓u21與電流i1的參考方向?qū)ν艘恢缕湎嗔啃问綖椋?/p>

求：互感電壓u21

例：圖示互感電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)打開，求t>0+時(shí)開路電壓u2(t)。**0.2H0.4HM=0.1H+–1040Vu2+－10510解：副邊開路，對(duì)原邊回路無(wú)影響，開路電壓u2(t)中只有互感電壓。先應(yīng)用三要素法求電流i(t)i**0.2H0.4HM=0.1H10u2+－10例：圖示互感電路中，ab端加10V的正弦電壓，已知電路的參數(shù)為R1=R2=3Ω，

ωL1=ωL2=4Ω,ωM=2Ω。

求：cd端的開路電壓解：當(dāng)cd端開路時(shí)，線圈2中無(wú)電流，因此在線圈1中沒(méi)有互感電壓。以ab端電壓為參考電壓，aI1．＋R2cbd－Uab．L2L1R1MUcd．＋－由于線圈2中沒(méi)有電流，因此L2上無(wú)自感電壓。但L1上有電流，因此線圈2中有互感電壓，根據(jù)電流對(duì)同名端的方向可知，cd端的電壓：+-UM2·5.2耦合電路的去耦等效5.2.1耦合線圈的串聯(lián)耦合線圈L1和L2相串聯(lián)時(shí)有兩種情況：

(1)一對(duì)異名端相聯(lián)，另一對(duì)異名端與電路相接，此連接方法稱為順接串聯(lián)（順串），下左圖所示；L1L2i*uL1M*uM2uL2uM1L1L2i*uL1M*uM2uL2uM1

(2)一對(duì)同名端相聯(lián)，另一對(duì)同名端與電路相接，此連接方法稱為反接串聯(lián)（反串），下右圖所示。兩線圈順串時(shí)，電流同時(shí)由同名端流入（或流出)，因此它們的磁場(chǎng)相互增強(qiáng)，自感電壓和互感電壓同方向，總電壓為：即兩線圈順串時(shí)等效電感量為：L1L2i*uL1M*uM2uL2uM1兩線圈反串時(shí)，電流同時(shí)由異名端流入（或流出)，因此它們的磁場(chǎng)相互消弱，自感電壓和互感電壓反方向，總電壓為：即兩線圈反串時(shí)等效電感量為：L1L2i*uL1M*uM2uL2uM1*順接一次，反接一次，就可以測(cè)出互感：互感的測(cè)量方法例：將兩個(gè)線圈串聯(lián)接到50Hz、60V的正弦電源上，順向串聯(lián)時(shí)的電流為2A，功率為96W，反向串聯(lián)時(shí)的電流為2.4A。求：互感M解：順向串聯(lián)時(shí)，等效電感為L(zhǎng)順=L1+L2+2M反向串聯(lián)時(shí)，線圈電阻不變，由已知條件可求出反向串聯(lián)時(shí)的等效電感：所以得：5.2.2耦合線圈的并聯(lián)兩對(duì)同名端分別相聯(lián)后并接在電路兩端，稱為同側(cè)相并，如圖所示；L1L2i*uM*i1i2根據(jù)圖中電壓、電流參考方向可得：i=i1+i2解得u、i關(guān)系為：得同側(cè)相并的等效電感量：

2.兩對(duì)異名端分別相聯(lián)后并接在電路兩端，稱為異側(cè)相并，如圖所示：L1L2i*uM*i1i2根據(jù)圖中電壓、電流參考方向可得：i=i1+i2

解得u、i關(guān)系為：得異側(cè)相并的等效電感量：5.2.3耦合線圈的

T型（一端并）等效兩個(gè)互感線圈只有一端相聯(lián)，另一端與其它電路元件相聯(lián)時(shí)，為了簡(jiǎn)化電路的分析計(jì)算，可根據(jù)耦合關(guān)系找出其無(wú)互感等效電路，稱去耦等效法。兩線圈上電壓分別為：L1L2i1u1M*i2a*u2bcd將兩式通過(guò)數(shù)學(xué)變換可得：L1－MMi1u1i2au2bcdL2－M由此可畫出原電路的T型等效電路如圖所示：圖中3個(gè)電感元件相互之間是無(wú)互感的，它們的等效電感量分別為L(zhǎng)1-M，L2-M和M，由于它們連接成T型結(jié)構(gòu)形式，因此稱之為互感線圈的T型去耦等效電路。同理可推出兩個(gè)異名端相聯(lián)時(shí)的去耦等效電路為：L1L2i1u1M*i2a*u2bcdL1+M－Mi1u1i2au2bcdL2+M例：Lab=5HLab=6H解：9H7H-3H2H0.5Hab4H3H2H1Hab3HM=3H6H2H0.5H4Hab＊＊M=4H6H2H3H5HabM=1H＊＊＊＊解：

利用互感消去法，得去耦等效電路圖b，其相量模型如圖c例：如圖a所示具有互感的正弦電路中，已知XL1=10Ω，

XL2=20Ω，XC=5Ω，耦合線圈互感抗XM=10Ω，電源電壓，RL=30Ω。M(a)L1L2I1．CI2．RL＋－US．(b)L1＋MI1．CI2．RL＋－US．－ML2＋M(c)I1．I2．30W＋－US．－j10Wj20Wj30W－j5W求：電流

I2·應(yīng)用阻抗并聯(lián)分流關(guān)系求得：利用阻抗串、并聯(lián)等效變換，求得：(c)I1．I2．30W＋－US．－j10Wj20Wj30W－j5W5.3變壓器常用的實(shí)際變壓器有空心變壓器和鐵芯變壓器兩種類型。

變壓器是利用電磁感應(yīng)原理傳輸電能或電信號(hào)的器件。通常有一個(gè)初級(jí)線圈和一個(gè)次級(jí)線圈，初級(jí)線圈接電源，次級(jí)線圈接負(fù)載，能量可以通過(guò)磁場(chǎng)的耦合由電源傳遞給負(fù)載。因變壓器是利用電磁感應(yīng)原理而制成的，故可以用耦合電感來(lái)構(gòu)成它的模型。這一模型常用于分析空心變壓器電路。L1L2i1uSM*i21*u201'22'R2R1圖示為空心變壓器的電路模型。左端為空心變壓器的初級(jí)回路，右端為空心變壓器的次級(jí)回路。5.3.1空心變壓器

空心變壓器，是由兩個(gè)具有互感的線圈繞在非鐵磁材料制成的芯子上所組成，其耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。圖中uS為信號(hào)源電壓，u20為次級(jí)回路的開路電壓。L1L2i1uSM*i21*u201'22'R2R1ZL分析由圖可列出空心變壓器的電壓方程式為：若次級(jí)回路接上負(fù)載ZL，則回路方程為：jωL1jωL2jωM*1*＋1'22'R2R1ZLI1USI2－左圖為空心變壓器的相量模型圖，其中令：稱為空心變壓器初、次級(jí)回路的自阻抗；為空心變壓器回路的互阻抗則空心變壓器的回路電壓方程式：聯(lián)立方程式可得：令為次級(jí)對(duì)初級(jí)的反映阻抗反映阻抗

Z1f

反映了空心變壓器次級(jí)回路通過(guò)互感對(duì)初級(jí)回路產(chǎn)生的影響。注意：Z1f不受變壓器同名端的影響，且與電壓電流參考方向無(wú)關(guān)。

引入反映阻抗的概念之后，次級(jí)回路對(duì)初級(jí)回路的影響就可以用反映阻抗來(lái)計(jì)算。這樣可得到如圖所示的由電源端看進(jìn)去的空心變壓器的等效電路。當(dāng)只需求解初級(jí)電流時(shí)，可利用這一等效電路求得結(jié)果。jωL11＋1'R1I1US－Z22ω2M2反映阻抗的算法不難記憶：用ω2M2除以次級(jí)回路的總阻抗Z22即可。注意：反映阻抗的概念不能用于次級(jí)回路含有獨(dú)立源的空心變壓器電路！例:

已知US=20V,初級(jí)等效電路的反映阻抗Z1f=10–j10求:

ZL及負(fù)載獲得的有功功率解**j10j10j2+–10ZL+–Z11=10+j10Z1f=10–j10實(shí)際是最佳匹配有功功率：例：耦合電路如圖，求初級(jí)端ab的等效阻抗。解1解2畫出去耦等效電路**L1aM+–bL2L1－M

L2－M+–

Mab(1)耦合系數(shù)K=1，即為全耦合；(2)自感系數(shù)L1、L2為無(wú)窮大，但L1/L2為常數(shù)；無(wú)任何損耗，這意味著繞線圈的金屬導(dǎo)線無(wú)任何電阻，做芯的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無(wú)窮大。理想變壓器是鐵芯變壓器的理想化模型。理想變壓器的惟一參數(shù)就是稱為變比的常數(shù)n，而不是L1、L2和M等參數(shù)，理想變壓器滿足以下3個(gè)理想條件：

5.3.2理想變壓器理想變壓器的電路模型：N1*N2i1u1－n:1*i2＋u2－＋變比匝數(shù)比：

1.變換電壓5.3.3理想變壓器的主要性能在圖示參考方向下，理想變壓器初級(jí)和次級(jí)端電壓有效值之比為：u1/u2=N1/N2=nN1*N2i1u1－n:1*i2＋u2－＋

2.變換電流理想變壓器在變換電壓的同時(shí)也在變換電流，其電流變換關(guān)系為：i1/i2=N2/N1=-1/n

N1*N2i1u1－n:1*i2＋u2-+左圖理想變壓器的初級(jí)和次級(jí)端電壓對(duì)同名端不一致，這時(shí)

u1/u2=N1/N2=-n

i1

/i2=N2

/N1=1/n

3.變換阻抗*n:1＋－ZL*＋－+–n2ZL式中Zin是理想變壓器次級(jí)對(duì)初級(jí)的折合阻抗。（1）若在理想變壓器的次級(jí)并聯(lián)阻抗，則可把它等效到初級(jí)。改變理想變壓器的匝數(shù)比，折合阻抗Zin也隨之改變。利用改變變壓器匝數(shù)比來(lái)改變輸入電阻，實(shí)現(xiàn)與電源的阻抗匹配，可使負(fù)載上獲得最大功率。例：（2）若在理想變壓器的初級(jí)回路串聯(lián)阻抗，則可轉(zhuǎn)移到次級(jí)。理想變壓器的阻抗變換只改變阻抗的大