第9章-質點動力學基本方程

動力學曹aowei@第九章動力學動力學一、動力學的任務動力學：研究物體的機械運動與作用力之間的關系的 科學。二、動力學的應用

動力學的形成與發(fā)展是和生產的發(fā)展密切聯(lián)系的，特別是在現(xiàn)代工業(yè)與科學技術迅猛發(fā)展的今天，對動力學提出了更加復雜的課題。例如：高速轉動機械的動力計算、航空航天高技術、動強度分析、機械手、機器人、系統(tǒng)的動力穩(wěn)定性等都需要動力學理論。動力學的應用神州六號飛行機械手汽車懸架的動力學分析汽輪機發(fā)動機等……動力學三、動力學的分類動力學質點動力學質點系動力學動力學的抽象模型：質點、質點系、剛體質點系：由幾個或無限個相互有聯(lián)系的質點組成的系統(tǒng)。剛體：特殊質點系，其中任意兩點之間的距離保持不變。質點：具有一定質量而幾何形狀和尺寸大小可忽略不計的物體。動力學的分類：動力學動力學空氣動力學超高速碰撞動力學結構動力學第九章質點動力學的基本方程§9-1動力學的基本定律牛頓定律，是牛頓在《自然哲學的數學原理》中建立的描述物體機械運動的運動三定律，亦稱為動力學基本定律。第一定律慣性定律第二定律力與加速度之間關系定律第三定律作用與反作用定律§9-1動力學的基本定律第一定律(慣性定律):

不受力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。該定律還定義了慣性參考系，因為該定律涉及到了靜止和勻速直線運動，也就很自然的涉及到了參考系?！?-1動力學的基本定律慣性參考系：

牛頓定律的結論只有在慣性參考系才是正確的。以太陽為原點，三個坐標軸指向三個恒星的日心參考系是慣性參考系。(研究天體的運動、地心的運動等)

以地心為原點，三個坐標軸指向三個恒星的地心參考系是慣性參考系。(人造衛(wèi)星的軌道、洲際導彈的彈道等)

一般的工程問題，把固定于地面的坐標系或相對于地面作勻速直線平移的坐標系為慣性坐標系§9-1動力學的基本定律第二定律（力與加速度之間關系定律）質點受力作用時將產生加速度，加速度的方向與作用力的方向相同，其大小則與力的大小成正比，與質點的質量成反比如果在質點上同時作用了幾個力，該質點所產生的加速度則取決于這些力的合力的大小和方向，即

質點的質量與其加速度的乘積等于作用在此質點上諸力的合力。該定律表明，質量是質點慣性的度量

第三定律(作用與反作用定律):

兩個物體間的作用力與反作用力總是大小相等,方向相反,沿著同一直線,且同時分別作用在這兩個物體上。該定律說明兩個質點不論是靜止平衡的，還是運動的，它們之間的作用力和反作用力總是大小相等，方向相反。牛頓定律的適用條件？§9-1動力學的基本定律§9-1動力學的基本定律說明1.該式稱為質點動力學基本方程。

2.牛頓第一定律和第二定律不是在任何參考系中皆成立的。

只有在慣性參考系下才是正確的。

思考加速度可分為，公式中的指的是什么加速度？§9-2質點的運動微分方程矢量形式直角坐標形式自然形式§9-2質點的運動微分方程一、矢量形式設可以自由運動的質點M，其質量為m，作用力的合力為F，加速度為a，則這是質點運動微分方程的矢量形式§9-2質點的運動微分方程二、直角坐標形式質點運動微分方程的矢量形式把矢徑r和力F在Oxyz軸上投影這是質點運動微分方程的直角坐標形式§9-2質點的運動微分方程二、自然形式(自然軸上投影)質點運動微分方程的矢量形式把矢徑r和力F在Mtnb軸上投影這是質點運動微分方程的自然形式§9-2質點的運動微分方程質點動力學的兩類基本問題：第一類問題：已知運動，求力第一類問題的求解： 已知r=r(t)，對其求導，代入左邊公式，即可求得力F§9-2質點的運動微分方程質點動力學的兩類基本問題：第二類問題的求解：是積分過程 在求解第二類問題時，方程的積分中要出現(xiàn)積分常數，為了完全確定質點的運動，必須根據運動的初始條件定出這些積分常數。第一類問題：已知運動，求力第二類問題：已知力，求運動§9-2質點的運動微分方程質點動力學的兩類基本問題：第一類問題：已知運動，求力第二類問題：已知力，求運動綜合問題：已知部分力和運動求其它力和運動例題9-1

設電梯以不變的加速度

a上升,求放在電梯地板上重

W

的物塊

M

對地板的壓力?！?-2質點的運動微分方程解：分析物體M，它受重力W和地板反力FN的作用根據可得因為代入上式，得地板反力例題9-1§9-2質點的運動微分方程例題9-1所以地板所受的壓力為上式第一部分稱為靜壓力第二部分稱為附加動壓力

稱為動壓力

討論1、n>1

動壓力大于靜壓力，這種現(xiàn)象稱為超重

2、n<1

動壓力小于靜壓力，這種現(xiàn)象稱為失重

質點動力學解題步驟：明確研究對象，確定坐標系；2.進行受力分析，并畫出受力圖；3.進行運動分析，并畫出相應的運動學量，如速度、加速度、角速度、角加速度等；4.選擇動力學定理進行分析求解。§9-2質點的運動微分方程

例9-2

曲柄連桿機構如圖所示.曲柄OA以勻角速度轉動,OA=r,AB=l,當比較小時,以O

為坐標原點,滑塊B

的運動方程可近似寫為

如滑塊的質量為m,忽略摩擦及連桿AB的質量,試求當和時,連桿AB所受的力.例題10-220pwj==t§9-2質點的運動微分方程解:研究滑塊其中已知:則求:例題9-2§9-2質點的運動微分方程有得這屬于動力學第一類問題。當得例題9-2§9-2質點的運動微分方程§9-2質點的運動微分方程例題9-3

單擺M的擺錘重W，繩長

l

，懸于固定點O

繩的質量不計。設開始時繩與鉛垂線成偏角,并被無初速釋放，求繩中拉力的最大值例題9-3§9-2質點的運動微分方程例題9-3解：擺錘M在繩的約束下，只能沿已知圓弧運動，用自然形式的運動微分方程求解較方便。以擺錘M為研究對象，選擇如圖的自然軸系任意瞬時，質點的加速度在切向和法向的投影為寫出質點的自然形式的運動微分方程§9-2質點的運動微分方程例題9-3考慮到則式(1)化為對上式采用定積分，把初條件定為積分下限，有從而得把式(3)代入式(2)，得當擺球M到達最低位置時，繩拉力有最大值，故§9-2質點的運動微分方程例題9-4例9-4：小車載著質量為m物體以加速度a沿著斜坡上行，如果物體不捆扎，也不至于掉下，物體與小車接觸面的摩擦系數至少應為多少？解：取物體為研究對象解得§9-2質點的運動微分方程例題9-4要保證物體不下滑，根據靜摩擦定律，應有即§9-2質點的運動微分方程例題9-5例9-5：粉碎機滾筒半徑為Ｒ，繞通過中心的水平軸勻速轉動，筒內鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使小球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應在時才掉下來。求滾筒每分鐘的轉數n

?！?-2質點的運動微分方程例題9-5解：取鐵球為質點。鐵球被旋轉的滾筒帶著沿圓弧向上運動，當鐵球到達某一高度時，會脫離筒壁而沿拋物線下落。鐵球在上升過程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。列出質點的運動微分方程在主法線上的投影式鐵球在未離開筒壁前的速度，等于筒壁上與其重合點的速度。即§9-2質點的運動微分方程例題9-5解得當時，鐵球將落下，這時，于是的滾筒轉速

討論1、顯然，越小，要求n越大。2、當時，鐵球就會緊貼筒壁轉過最高點而不脫離筒壁下落，起不到粉碎礦石的作用?！?-2質點的運動微分方程例題9-6例9-6：彈簧-質量系統(tǒng)，物塊的質量為m，彈簧的剛度系數為k，物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運動方程。解：這是已知力(彈簧力)求運動規(guī)律，故為第二類動力學問題。以彈簧未變形時的平衡位置為原點建立Ox坐標系，將物塊至于任意位置x>0處。物塊在x方向只受彈簧力。根據直角坐標系中的質點運動微分方程§9-2質點的運動微分方程例題9-6§9-2質點的運動微分方程例題9-7例9-7：彈簧-質量系統(tǒng)，物塊的質量為m，彈簧的剛度系數為k，物塊自平衡位置的初始速度為v0。求物塊的運動方程。解：這是已知力(彈簧力)求運動規(guī)律，故為第二類動力學問題。以彈簧在靜載mg作用下變形后的平衡位置(稱為靜平衡位置)為原點建立建立Ox坐標系，將物塊至于任意位置x>0處。列出物塊的運動微分方程§9-2質點的運動微分方程例題9-7因為所以初始條件故可得物塊的運動方程§9-2質點的運動微分方程例題9-7

討論1、重力mg只改變了系統(tǒng)的平衡位置，對運動規(guī)律并無影響2、物塊垂直懸掛時，坐標原點選擇不同，運動微分方程不同。第九章質點動力學的基本方程本章小結1、牛頓三定律適用于慣性參考系

(1)質點具有慣性，其質量是慣性的度量

(2)作用于質點的力與其所產生的加速度成比例

(3)作用力與反作用力等值、方向、共線，分別作用于兩物體上2、質點動力學的基本方程為，應用時取投影形式。第九章質點動力學的基本方程3、質點動力學的兩類基本問題

(1)已知質點的運動，求作用于質點的力